沈阳师范大学：《线性代数》课程教学课件（讲稿）第4章 特征值与特征向量 4.2 方阵的特征值与特征向量

特征值与特征向量的求法二求n阶矩阵A的特征值和特征向量的方法（1）写出矩阵 A 的特征多项式 f()=A-E（2）求特征方程A-^E=0的根，由此得到 A的特征值（共n个，这其中可能有重复的根也可能有复数根）：000?

二、特征值与特征向量的求法 求n阶矩阵 A 的特征值和特征向量的方法 （2）求特征方程 的根，由此得到 的特征值（共n个，这其中可能有重复的根， 也可能有复数根）； A E    0 A （1）写出矩阵 A 的特征多项式 f ( )     A E ；

（3）对于每一个特征值孔，求解齐次线性方程组(A-αE)x=0 的基础解系，从而得到属于特征值 的特征向量.设(A-E)x=0的一个基础解系为S,52，,Sr，则矩阵A的属于特征值的全部特征向量为k+k2+..+k,5其中k,k2,,k,不全为零001018

不全为零.  A E x     0   A E x     0 1 2 , , ,    r A  1 1 2 2 r r k k k       1 2 , , , r k k k （3）对于每一个特征值  ，求解齐次线性方程组 的基础解系，从而得到属于特 征值 的特征向量.设 的一个基 础解系为 ，则矩阵 的属于特征值 的全部特征向量为 其中

注意：(1)由求解过程可以注意到，，每个特征向量只能属于唯一的特征值，而许多特征向量可以属于相同的特征值(2)求特征值就是求特征方程的根；求特征向量就是求解相应的齐次线性方程组的非零解

(1)由求解过程可以注意到，每个特征向量只能 注意： (2)求特征值就是求特征方程的根；求特征向 属于唯一的特征值，而许多特征向量可以属 于相同的特征值. 量就是求解相应的齐次线性方程组的非零解

2例2求矩阵 A=的特征值与特征向量-2O解A的特征多项式为21-2(2-3)ZE-25-所以 A的特征值为 ==3

例2 求矩阵 1 2 2 5        A = 的特征值与特征向量. A 的特征多项式为 2 1 2 ( 3) 2 5            A E A 的特征值为 1 2     3 解 所以