第5章画数 若A、B是有限集,∫:A→B是双射,则厂定是满射 故B中每个元素至少是一个有向边的终点;f也是单射,故 B中每个像点是且仅是一条有向边的终点。所以,在双射函 数的示意图中,B中每一个元素是且仅是一条有向边的终点。 若A、B是有限集,f:A→B是双射,则∫一定是满射, 所以AB|;f也是单射,所以4图B。于是=B
第5章 函数 若A、B是有限集，f：A→B是双射，则 f一定是满射。 故B中每个元素至少是一个有向边的终点；f 也是单射，故 B中每个像点是且仅是一条有向边的终点。所以，在双射函 数的示意图中，B中每一个元素是且仅是一条有向边的终点。 若A、B是有限集，f：A→B是双射，则 f 一定是满射， 所以|A|≥|B|；f 也是单射，所以|A|≤|B|。于是|A|=|B|
第5章画数 【例56】判断下列函数是否为单射、满射或双射 为什么? (1)f:R→R,八x)=-x2+2x-1,其中,R是实数集合 (2)f:+→R,fx)=nx,其中,Ⅰ+是正整数集合 (3)f:R→,fx)=[x,其中,[x是不大于x的最大整 数 (4)f:R→R,fx)=2x+1 x2+1 (5)f:R+→R+,f(x)= ,其中,R4是正实数集 合
第5章 函数 【例5.6】判断下列函数是否为单射、满射或双射。 为什么？ ⑴ f：R→R，f(x)= - x 2+2x-1，其中，R是实数集合 ⑵ f：I＋→R，f(x)=ln x，其中，I＋是正整数集合 ⑶ f：R→I，f(x)=[x]，其中，[x]是不大于x的最大整 数 ⑷ f：R→R，f(x)= 2x+1 ⑸ f：R＋→R＋，f(x)= ，其中，R＋是正实数集 合 x x 1 2 +
第5章画数 解:(1)(x)=x2+2x-1=-(x-1)2,f是开口向下的抛物线, 不是单调函数,所以不是单射。在x=1处取得极大值0,所 以∫f不是满射。∫既不是单射也不是满射 /(2)厂是单调增加函数。因此是单射,但不是满射,因为 ln1,ln2,…}cR (3)是满射,但不是单射,例如1.5)[1.5]1,而1.2) [1.2]=1 (4),是单调增加函数且ranf=R,它既是单射,也是满射, 因此它是双射。 (5)f不是单射也不是满射。当x→0时,(x)→+∞;而当 x→+∞时,fx)→+。在x=1处函数f(x)取得极小值(1) 2。因此它既不是单射也不是满射
第5章 函数 解：⑴f(x)=-x 2+2x-1= -(x-1)2 ，f 是开口向下的抛物线， 不是单调函数，所以不是单射。在 x =1处取得极大值0，所 以f 不是满射。 f 既不是单射也不是满射。 ⑵ f 是单调增加函数。因此是单射，但不是满射，因为 ran f =ln 1，ln 2，…R ⑶ f是满射，但不是单射，例如f(1.5)=[1.5]=1，而f(1.2) =[1.2]=1 ⑷ f是单调增加函数且ran f =R，它既是单射，也是满射， 因此它是双射。 ⑸ f 不是单射也不是满射。当x→0时，f(x)→＋∞；而当 x→＋∞时，f(x)→＋∞。在x=1处函数f(x)取得极小值f(1) =2。 因此它既不是单射也不是满射
第5章画数 定义5.1.7 (1)设f:A→B,若y∈B,Ⅵx∈A,都有八x)=y,则称f 为常函数 (2)设l是A上的恒等关系,它是A到A的函数,L叫做 A上的恒等函数。常记为y=/(x) (3)设A是任意集合,A'cA,Vx∈A,定义:A→0,1} 如下 x∈A 0x∈A-A xx(x)叫做A的特征函数。 (4)设R是A上的等价关系,[x是x形成的R等价类, A/R是4关于R的商集,f:A→AR,定义为:fx)={x],称 为A到商集A/R的自然函数或自然映射
第5章 函数 定义5.1.7 ⑴设 f：A→B，若yB，xA，都有f(x)=y，则称 f 为常函数。 ⑵设IA是A上的恒等关系，它是A到A的函数，IA叫做 A上的恒等函数。常记为y=IA (x)。 ⑶设A是任意集合，A′A，xA，定义：A→0,1 如下： 叫做A′的特征函数。 ⑷设R是A上的等价关系，[x]R是 x形成的R等价类， A/R是A关于R的商集，f：A→A/R，定义为：f(x)=[x]R，称f 为A到商集A/R的自然函数或自然映射。 x A A x A x x A − = 0 1 ( ) x (x) A
第5章画数 A的特征函数x<a10>,<b1>,<c9·W 例如,设扫=abc},A=b},B=1a,b} B的特征函数x=<an,1>,<b,1>,<c、0>} 显然A的每一个子集都对应一个特征函数 又例如,设A=abc},A上的等价关系R为 R=<aa,<bb>,<bC><cb>,<CC>}, 商集AR=a},bc} f:A→A/R Naar Abc=b, ct 不同的等价关系确定不同的自然映射,其中恒等关 系确定的自然映射是双射,而其它的自然映射一般地说 是满射。 返回章目录
第5章 函数 例如，设A=a,b,c，A′=b，B′=a,b，则 A′的特征函数 xA′ =a,0,b,1,c,0。 B′的特征函数 xB′=a,1,b,1,c,0。 显然A的每一个子集都对应一个特征函数。 又例如，设A=a,b,c，A上的等价关系R为： R=a,a,b,b,b,c,c,b,c,c， 商集A/R=a,b,c f：A→A/R f(a)=a f(b)=f(c)=b,c 不同的等价关系确定不同的自然映射，其中恒等关 系确定的自然映射是双射，而其它的自然映射一般地说 是满射。 返回章目录