第5章画数 定义513设:A→B,g:C→D,若A=C,B=D且 x∈A,有(x)=g(x),则称函数和g相等,记为f=g 例如,函数:N→N,f(x)=x3 函数g:1,2,3}→N,g(x) 虽然函数f和g有相同的表达式x3,但是它们是两个不 同的函数。 如果把和g看成二元关系, fNXN,用列举法表示为: 1<0,0>,<1,1>,<2,8>,<3,27>,<4,64>,…} g1,2,3}×N,用列举法表示为 <0,0>,<1,1>,<2,8>3,27>} 按二元关系相等的条件衡量,它们也是不等的。函 数相等和二元关系相等是一致的
第5章 函数 定义5.1.3 设f：A→B，g：C→D，若A=C，B=D且 xA，有f(x)=g(x)，则称函数f和g相等，记为f =g。 例如，函数f：N→N，f(x)= x 3 函数g：1,2,3 →N，g(x)=x 3 虽然函数f和g有相同的表达式x 3，但是它们是两个不 同的函数。 如果把f和g看成二元关系， fN×N，用列举法表示为： 0,0,1,1,2,8,3,27, 4,64, … g1,2,3 ×N，用列举法表示为： 0,0,1,1,2,8,3,27 按二元关系相等的条件衡量，它们也是不等的。函 数相等和二元关系相等是一致的
第5章画数 定义5.14设f:A→B,若舶值域ranf=B,则称/为满射。 设是4到B的函数,由定义不难看出,如果y∈B,都存 在x∈A,使得(x)=y,则是满射函数。 例如,A=a,b,c;d,B=12,3},/是由A到B的函数, 定义为:f=<a,1>,<b,1>,<C,3>,<d,2> 因为ranA)=1,2,3}=B,所以/是满射。图52是f示 意图。由图52可得出如下的结论: B 若A、B是有限集,f:A→B 是满射,在f示意图中,B中每/ao 个元素至少是一个有向边的终点 且|B O 2 o 3 图5.2
第5章 函数 定义5.1.4 设f：A→B，若f的值域ran f =B，则称f为满射。 设f是A到B的函数，由定义不难看出，如果yB，都存 在xA，使得f(x)=y，则f是满射函数。 例如，A=a,b,c,d，B=1,2,3，f是由A到B的函数， 定义为：f =a,1,b,1,c,3,d,2 因为ran f=f(A)=1,2,3=B，所以f是满射。图5.2是f的示 意图。由图5.2可得出如下的结论： 若A、B是有限集，f：A→B 是满射，在f的示意图中，B中每 个元素至少是一个有向边的终点 且|A|≥|B|
第5章画数 定义515设:A→B,若Vy∈ranf,存在惟一的x∈A, 使得(x)=y,则称/为单射 设是到B的函数,由定义不难看出,如果对于x1∈A, x2EA, f(1=y1, f(x2)=y2 ①当y1=y2时,一定有x1=x2,则是单射函数 ②当x12时,一定有y2,则是单射函数 【例55】设:1ab}-2,46},定义 1<a,2>,<b6>} 函数是否为单射?/是否为满射?
第5章 函数 定义5.1.5 设f：A→B，若yran f，存在惟一的xA， 使得f(x)=y，则称f为单射。 设f是A到B的函数，由定义不难看出，如果对于x1A， x2A，f(x1 )=y1，f(x2 )=y2。 ①当y1 =y2时，一定有x1 =x2，则f是单射函数。 ②当x1≠x2时，一定有y1≠y2，则f是单射函数。 【例5.5】设f：a,b→2,4,6，定义 f =a,2,b,6 函数f是否为单射？f是否为满射？
第5章画数 解:因为a)=2,fb)=6,所以是单射。因为∫的值 域anf=12.6}2,4.6},所以不是满射。图5.3是f的示意 图 由图5.3可得出如下的结论: 若A、B是有限集 f:A→B是单射,在f的 示意图中,B中每个像 点是且仅是一条有向边 的终点且4<B 图5.3
第5章 函数 解：因为f(a)=2，f(b)=6，所以f是单射。因为 f 的值 域ran f =2,6≠2,4,6，所以f不是满射。图5.3是 f 的示意 图。 由图5.3可得出如下的结论： 若A、B是有限集， f：A→B是单射，在 f 的 示意图中，B中每个像 点是且仅是一条有向边 的终点且|A|≤|B|
第5章画数 定义5.1.6设:A→B,若既是单射,又是满射,则 称/为双射 例如:A=1,2,3},B=a,b,c,f=<1,a,<2,∞,<3,b>}, 是A到B的双射函数,图54是的示意图 a o b 图54
第5章 函数 定义5.1.6 设f：A→B，若f既是单射，又是满射，则 称f为双射。 例如：A=1,2,3，B=a,b,c，f =1,a,2,c,3,b， f是A到B的双射函数，图5.4是f的示意图