第5章画数 52反函数和复合函数 521反函数 定理521设f:A→B是双射函数,则f的逆关系 是B到A的双射函数。 证明:先证逆关系fC是B到A的函数 因为f是函数,所以fC是B到A的二元关系。以下证 明B到A的二元关系C是B到A的函数。 (1)vy∈B,因为:A→B是满射,所以,彐x∈A,使 <xJ>∈f,由逆关系的定义得,<yx>∈fC (2)设<y1x1>∈f,<y2x2>∈f,y1=y2,由逆关系的定 义知,<x11>∈f,<x22>∈f,因为是单射,所以x1=x2 故∫C是B到A的函数
第5章 函数 5.2反函数和复合函数 5.2.1 反函数 定理5.2.1 设 f：A→B是双射函数，则 f 的逆关系f C 是B到 A的双射函数。 证明：先证逆关系 f C是B到 A的函数。 因为 f 是函数，所以 f C是B到 A的二元关系。以下证 明B到 A的二元关系f C是B到 A的函数。 ⑴yB，因为 f：A→B是满射，所以，xA，使 x,y f，由逆关系的定义得， y,x f C 。 ⑵设y1 ,x1 f C ，y2 ,x2 f C ，y1 =y2，由逆关系的定 义知，x1 ,y1 f，x2 ,y2 f，因为f是单射，所以x1 =x2 故 f C是B到 A的函数
第5章画数 再证∫C是满射 由定理427 ran fc=domf。又因为f是到B的函数, 所以domf=A。于是 ran fc=A。所以C是B到A的满射。 最后证fC是单射 设<y1x1>∈∫C,<y2x2>∈fC且x1=x2,由逆关系的定义有 <x1y1>∈f,<x2V2>∈/,又因为是函数,必有y1=y2 所以fC是单射 这就证明了fC是双射函数
第5章 函数 再证 f C是满射。 由定理4.2.7有ran f C=dom f。又因为 f 是A到B的函数， 所以dom f =A。于是ran f C=A。所以f C是B到 A的满射。 最后证f C是单射。 设y1 ,x1 f C ，y2 ,x2 f C且x1 =x2，由逆关系的定义有 x1 ,y1 f，x2 ,y2 f，又因为f是函数，必有y1 =y2。 所以 f C是单射。 这就证明了f C是双射函数
第5章画数 定义52.1设:A→B是双射函数,f的逆关系fC是B到A 的双射函数。称双射函数f为的反函数,记为:f1。 例如,设A=12,3},B=1abc} 3.b>} 显然,,是4到B的双射函数。/的逆关系 C=<a1><c,2>,<b,3>} 是B到A的双射函数,记为广1,1是∫的反函数 又如g=<1,a><2,a>,<3,b>}也是A到B的函数,但g不 是满射,也不是单射,因而不是双射。逆关系 g<a,1>,<a,2>,<b,3> 不是B到A的函数
第5章 函数 定义5.2.1 设f：A→B是双射函数，f的逆关系f C是B到 A 的双射函数。称双射函数f C为f的反函数，记为：f -1 。 例如，设A=1,2,3，B=a,b,c。 f=1, a ,2, c ,3, b 显然，f是A到B的双射函数。f的逆关系 f C=a,1,c,2,b,3 是B到A的双射函数，记为f -1 ，f –1是 f 的反函数。 又如 g=1, a ,2, a ,3,b也是A到B的函数，但g不 是满射，也不是单射，因而不是双射。逆关系 g C=a,1,a, 2,b,3 不是B到 A的函数