芝诺的乌龟 公元前5世纪，芝诺提出让阿喀琉斯和乌龟之间举行一 场赛跑，并让乌龟在阿喀琉斯前头000米开始、假定 阿喀琉斯能够跑得比鸟龟快0倍、当比赛开始的时候 ,阿喀琉斯跑了1000米，此时鸟龟仍然前于他00米、 当阿喀琉斯跑了下一个100米时，乌龟依然前于他0米 、芝诺辩解说，阿喀琉斯能够继续逼近乌龟，但他决 不可能追上它、那么，芝诺的理由正确吗？如果阿喀琉 斯追上了乌龟，那么他是在赛程的哪一点追上呢？
芝诺的乌龟 公元前5世纪，芝诺提出让阿喀琉斯和乌龟之间举行一 场赛跑，并让乌龟在阿喀琉斯前头1000米开始．假定 阿喀琉斯能够跑得比乌龟快10倍．当比赛开始的时候 ，阿喀琉斯跑了1000米，此时乌龟仍然前于他100米． 当阿喀琉斯跑了下一个100米时，乌龟依然前于他10米 ．芝诺辩解说，阿喀琉斯能够继续逼近乌龟，但他决 不可能追上它．那么芝诺的理由正确吗？如果阿喀琉 斯追上了乌龟，那么他是在赛程的哪一点追上呢？
欧布利德的沙堆 希腊哲学家欧布利德断言，一个人绝不可能有一堆沙 、他的见解是：一粒沙不能构成一堆沙，如果在一粒 沙上如上一粒沙它们也不能构成一堆、如果你没有一 堆沙，那么，即使给你加上一粒沙，也同样设有一堆， 从而你永远不会有一堆沙、 依着同样的思路，芝诺把眼光瞄在线段上·他断言， 如果点是没有大小的，那么加上另一个点依然不会有 大小、这样人们就绝不可能得到一个有大小的物体， 因为这些物体是由点结合而成的、接着他进一步推断 说，如果一个点有大小，那么，一条线段就必然有无限 的长度，因为它是由无穷数量的点所构成
欧布利德的沙堆 希腊哲学家欧布利德断言，一个人绝不可能有一堆沙 ．他的见解是：一粒沙不能构成一堆沙，如果在一粒 沙上加上一粒沙它们也不能构成一堆．如果你没有一 堆沙，那么即使给你加上一粒沙，也同样没有一堆， 从而你永远不会有一堆沙． 依着同样的思路，芝诺把眼光瞄在线段上．他断言， 如果点是没有大小的，那么加上另一个点依然不会有 大小．这样人们就绝不可能得到一个有大小的物体， 因为这些物体是由点结合而成的．接着他进一步推断 说，如果一个点有大小，那么一条线段就必然有无限 的长度，因为它是由无穷数量的点所构成
数集的界 设A为一非空实数集，若3M∈R,x∈A,x≤M,则称A有上界， 称M为的一个上界。 若3m∈R,x∈A,x≥m,则称A有下界，称m为A的一个下界。 如果A既有上界又有下界，则称A有界，否则称A无界
数集的界 A M x A x M A , , , M A 设 为一非空实数集，若 则称 有上界， 称 为 的一个上界。 若 m x A x m A m A , , ,则称 有下界,称 为 的一个下界。 如果A A A 既有上界又有下界，则称 有界，否则称 无界
确界(Infimum,Supremum) 1、x∈A,x≤s 设A∈R,A≠☑，若3s∈R,满足 2、V8>0,3x,∈A,x>S-8 则称s为的上确界，记作supA 1、x∈A,x≥s 设A∈R,A≠O,若ヨs∈R,满足： 2、H8>0,3x∈A,x<S-8 则称s为A的下确界，记作infA 任一有上（下）界的非空实数集A必有上（下）确界
确界(Infimum, Supremum) 0 0 1 , , , , : 2 0, , sup x A x s A A s x A x s s A A 、 设 若 满足 、 则称 为 的上确界，记作 0 0 1 , , , , : 2 0, , inf A x A x s A A s x A x s s A A 、 设 若 满足 、 则称 为 的下确界，记作 任一有上（下）界的非空实数集 必有上（下）确界
确界原理 非空有上界的集合必有上确界，非空有下界的集合必 有下确界
确界原理 非空有上界的集合必有上确界，非空有下界的集合必 有下确界