无理数定义(R.Dedekind) 如果将有理数全体所成的集合分拆为两个非空集合（即至少包含 一个数)A及A,满足 1、任意有理数，必在且仅在A及A二集之一中出现 2、集内的任一数a,必小于集A内的任一数a 集A称为分划的下组，集A称为上组，分划记成AA 如果在下组内既无最大数，在上组内无最小数，由此分划定义某 无理数a
无理数定义(R.Dedekind) 2 , A A A A A A A a A a A A 如果将有理数全体所成的集合分拆为两个非空集合（即至少包含 一个数） 及 ，满足 1、任意有理数，必在且仅在 及 二集之一中出现 、集 内的任一数 必小于集 内的任一数 集 称为分划的下组，集 称为上组， 如果在下组内既无最大数，在上组内无最小数，由此分划定义某 划记成 一无理数 分
Richard Dedekind 1831年生于德国不伦瑞克：1916年2月12日卒于 不伦瑞克。1850年他进入哥廷根大学学习。他 只上了四个学期就在高斯指导下准备博士论文。 1854年起在哥廷根大学任讲师。1858年戴德金 被任命为瑞士苏黎世综合工业学院教授。在讲 授微积分的课程中深感分析基础的薄弱，从此 开始实数理论基础的研究。他在11月24日得出 了自己的连续性和无理数理论。1872年以《连 续性与无理数》出版。这本书的问世连同魏尔 斯特拉斯分析基础的传播以及康托尔集合论的 诞生，标志着现代数学新时期的来临。戴德金 是近代抽象数学的先驱。朗道在1917年哥廷根 召开的纪念戴德金的讲演中对他作了崇高的评 价：“戴德金不仅是一位伟大的数学家，而且是 从古到今整个数学史上真正杰出的人物。他是 他那时代的最后一位英雄，高斯的最后一位学 生。他本人40多年来已是经典作家，不仅我们， 而且我们的老师乃至老师的老师都从他的工作 中受到启发。"这可以说是对戴德金一生的真实 概括
Richard Dedekind 1831年生于德国不伦瑞克;1916年2月12日卒于 不伦瑞克。1850年他进入哥廷根大学学习。他 只上了四个学期就在高斯 指导下准备博士论文。 1854年起在哥廷根大学任讲师。1858年戴德金 被任命为瑞士苏黎世综合工业学院教授。在讲 授微积分的课程中深感分析基础的薄弱，从此 开始实数理论基础的研究。他在11月24日得出 了自 己的连续性和无理数理论。 1872年以《连 续性与无理数》出版。这本书的问世连同魏尔 斯特拉斯分析基础的传播以及康 托尔集合论的 诞生，标志着现代数学新时期的来临。戴德金 是近代抽象数学的先驱。朗道在1917年哥廷根 召开的纪念戴德金的讲演中对他作了崇高的评 价："戴德金不仅是一位伟大的数学家，而且是 从古到今整个数学史上真正杰出的人物。他是 他那时代的最后一位英雄，高斯的最后一位学 生。他本人40多年来已是经典作家，不仅我们， 而且我们的老师乃至老师的老师都从他的工作 中受到启发。"这可以 说是对戴德金一生的真实 概括
实数 有理数及无理数的全体称为实数 实数域的序 实数域的稠密性（不论怎样的两个实数a及b,a>b,恒 有一个位于它们中间的有理数a>r>b) 完备性
实数 有理数及无理数的全体称为实数 实数域的序 实数域的稠密性（不论怎样的两个实数a及b，a>b,恒 有一个位于它们中间的有理数a>r>b） 完备性
用无限小数来表示实数 a=n.a1a2a3…y 循环无限小数，不循环无限小数
用无限小数来表示实数 1 2 3 a n a a a . , 循环无限小数，不循环无限小数
实数的完备性（连续性） 实数域的分划：如果将实数全体所成的集合分拆为两个非空集合 (即至少包含一个数)A及，满足 1、任意实数，必在且仅在A及A'二集之一中出现 2、集内的任一数a,必小于集A内的任一数a 对于实数域内的任一分划AA必有产生这分划的实数B存在，这 数B或是下组的最大数，或是上组A内的最小数
实数的完备性（连续性） 1 2 , A A A A A a A A A A a A 实数域的分划：如果将实数全体所成的集合分拆为两个非空集合 （即至少包含一个数） 及 ，满足 、任意实数，必在且仅在 及 二集之一中出现 、集 内 对于实数域内的任一分划 必有产生这分划的实数 存在，这 数 或是下组 的最大数，或 的任一数 是上组 必小于集 内 内的任一数 的最小数