2.7横截性2.7横截性对比一下“光滑范畴”与“线性范畴”，可以发现子流形在很多方面性质不够好，例如光滑映射下子流形的原像未必是子流形，子流形的交集未必是子流形等等。本节引入的横截性概念，用于剔除那些坏情形，因而在研究子流形时非常重要。2.7.1横截相交子流形的原像令f：M→N为光滑映射，正则水平集定理（以及常秩水平集定理）给出了f-（）是子流形的比较便于使用的判据。对于光滑子流形XCN，一个自然的问题是什么时候f-1（X）是M的光滑子流形？一方面，由子流形的定义可知，对于任意qEX，均存在邻域V以及由坐标卡映射所诱导的光滑映射g：V→R（其中I=dimN-dimX是X在N中的余维数）使得g-(O)=XnV。注意由9的构造可知dg是满射，于是0是9的正则值，且它的核为ker(dgg) = T,X另一方面，注意到“f-1（X）是否是M中的光滑子流形”是一个局部问题：只需对于任意pEf-1(X),验证是否存在p在M中的邻域U使得Unf-1(X)是M的光滑子流形.不妨设q=f(p)并取U=f-1(V)，则可以将Unf-1(X)表示为gof的水平集：Unf-1(X)= f-1og-1(0)= (go f)-1(0)从而根据正则水平集定理，只要0是g°于的正则值，于-1(X）就是M的光滑子流形现在尝试寻找于和S所满足的条件（由于对于给定的于和X，映射g不是唯一的，故所求的条件应该是与g无关的），使得0是9of的正则值.换句话说，要找的条件应该是使得对于任意pE(gof)-1(O)=f-1(X)nU,微分d(gof)是满射.根据链式法则，d(gof)p=dgqodfp因为dgq是核为ker(dgq）=T,X的满射，故为了让d(gof)p是满射，仅需要假设Im(dfp）包含某个“T.X在TqN的补空间”为了更准确地描述上述性质，需要以下线性代数的引理：引理2.7.1设线性映射L：V→W为满射，且ViCV为线性子空间，则L(V)=W当且仅当Vi+ker(L)=V口证明若Vi+ker(L)=V,则 L(Vi)=L(Vi+ker(L))=L(V)=W若Vi+ker(L)V,取EV满足&Vi+ker(L).则L(u)L(Vi)(否则存在uiEVi使得 L(ui)= L(u),即 u-ui E ker(L),于是u= ui +(u-u)E Vi+ker(L), 矛盾). 故 L(Vi) W.口63
2.7 横截性 2.7 横截性 对比一下“光滑范畴”与“线性范畴”，可以发现子流形在很多方面性质不够好，例 如光滑映射下子流形的原像未必是子流形，子流形的交集未必是子流形等等。本节引入 的横截性概念，用于剔除那些坏情形，因而在研究子流形时非常重要。 2.7.1 横截相交 ¶ 子流形的原像 令 f : M → N 为光滑映射，正则水平集定理（以及常秩水平集定理) 给出了 f −1 (q) 是 子流形的比较便于使用的判据。对于光滑子流形 X ⊂ N，一个自然的问题是 什么时候 f −1 (X) 是 M 的光滑子流形? 一方面，由子流形的定义可知，对于任意 q ∈ X，均存在邻域 V 以及由坐标卡映射所诱导 的光滑映射 g : V → R l（其中 l = dim N −dim X 是 X 在 N 中的余维数）使得 g −1 (0) = X ∩V 。 注意由 g 的构造可知 dg 是满射，于是 0 是 g 的正则值，且它的核为 ker(dgq) = TqX. 另一方面，注意到“f −1 (X) 是否是 M 中的光滑子流形”是一个局部问题: 只需对于任 意 p ∈ f −1 (X), 验证是否存在 p 在 M 中的邻域 U 使得 U ∩ f −1 (X) 是 M 的光滑子流 形. 不妨设 q = f(p) 并取 U = f −1 (V )，则可以将 U ∩ f −1 (X) 表示为 g ◦ f 的水平集: U ∩ f −1 (X) = f −1 ◦ g −1 (0) = (g ◦ f) −1 (0). 从而根据正则水平集定理，只要 0 是 g ◦ f 的正则值，f −1 (X) 就是 M 的光滑子流形. 现在尝试寻找 f 和 S 所满足的条件 (由于对于给定的 f 和 X, 映射 g 不是唯一的，故所求的 条件应该是与 g 无关的) ，使得 0 是 g ◦ f 的正则值. 换句话说，要找的条件应该是使得对于 任意 p ∈ (g ◦ f) −1 (0) = f −1 (X) ∩ U, 微分 d(g ◦ f)p 是满射. 根据链式法则, d(g ◦ f)p = dgq ◦ dfp. 因为 dgq 是核为 ker(dgq) = TqX 的满射，故为了让 d(g ◦ f)p 是满射，仅需要假设 Im(dfp) 包含某个“TqX 在 TqN 的补空间”. 为了更准确地描述上述性质，需要以下线性代数的引理: 引理 2.7.1 ♦ 设线性映射 L : V → W 为满射，且 V1 ⊂ V 为线性子空间，则 L(V1) = W 当且 仅当 V1 + ker(L) = V . 证明 若 V1 + ker(L) = V , 则 L(V1) = L(V1 + ker(L)) = L(V ) = W. 若 V1 + ker(L) 6= V , 取 v ∈ V 满足 v 6∈ V1 + ker(L). 则 L(v) 6∈ L(V1)(否则存在 v1 ∈ V1 使得 L(v1) = L(v), 即 v − v1 ∈ ker(L), 于是 v = v1 + (v − v1) ∈ V1 + ker(L), 矛盾). 故 L(V1) 6= W. □ 63
2.7横截性光滑映射与子流形之间的横截相交根据上述引理，0是gf的正则值当且仅当VpE f-1(X)(2.7.1)Im(dfp) + Tr(p)X = Tf(p)N,注意到这个条件仅依赖于f和X，不依赖于g.定义2.7.2.（横截相交：映射与子流形）令f：M→N为光滑映射，XCN为光滑子流形.若(2.7.1)成立，则称f与X横截相交，并记为f而X.%注2.7.3.有两种极端情况：。如果f-1(X)=0，那么f与X横截相交，因为此时没有需要验证的条件。如果XN是光滑子流形，使得任意gEX都是f：M→N的正则值，那么f在每一点pEf-1(X）处都是淹没，从而横截条件(2.7.1)自动成立.特别地，命题2.7.4如果f：M→N是淹没，那么f与N的任意光滑子流形都横截相交根据引理2.7.1之前的讨论，下述定理是自然的：定理2.7.5.（横截相交条件下子流形的原像）设f：M→N为光滑映射，XCN为光滑子流形，且f币X.则f-1(X）是M中的光滑子流形，它的余维数等于X（在N中）的余维数，并且Tp(f-1(X)) =df=1(Tr(p)X), Vp f-1(X).O证明根据上述讨论，如果f而X，那么0是gof的正则值.因此f-1(X)=(gof)-1(0)是M中的光滑子流形.f-1(X）的维数是dimM-l，其中l=dimN-dimX.因此dim M - dim f-1(X)= dim N - dim X, 即codimf-1(X)= codimX最后，由正则水平集定理，f-1(X）在p处的切空间为Tp(f-1(X)) = ker(d(g o f)p) = (dg f(p) o dfp)-1(0) = df-1(dgi(p)(0)) = dfp-1(Tf(p)X),口于是定理得证，两个子流形/映射之间的横截相交在文献中还有两种常见的横截相交，都可以视作f而X的特殊情况两个子流形的横截相交：设X1,X2为M的光滑子流形，记L：X1→M为典范嵌入则-1(X2)=XinX2.此外，由于T,X1=dlp(T,Xi)，条件而X2等价于“对于每一点pEXinX2,均有T,Xi+T,X2=T,M64
2.7 横截性 ¶ 光滑映射与子流形之间的横截相交 根据上述引理, 0 是 g ◦ f 的正则值当且仅当 Im(dfp) + Tf(p)X = Tf(p)N, ∀p ∈ f −1 (X). (2.7.1) 注意到这个条件仅依赖于 f 和 X, 不依赖于 g. 定义 2.7.2. （横截相交：映射与子流形） ♣ 令 f : M → N 为光滑映射, X ⊂ N 为光滑子流形. 若(2.7.1)成立，则称 f 与 X 横截相交, 并记为 f −⋔ X. 注 2.7.3. 有两种极端情况: 如果 f −1 (X) = ∅, 那么 f 与 X 横截相交，因为此时没有需要验证的条件. 如果 X ⊂ N 是光滑子流形，使得任意 q ∈ X 都是 f : M → N 的正则值, 那么 f 在每一点 p ∈ f −1 (X) 处都是淹没, 从而横截条件(2.7.1)自动成立. 特别地, 命题 2.7.4 ♠ 如果 f : M → N 是淹没, 那么 f 与 N 的任意光滑子流形都横截相交. 根据引理2.7.1之前的讨论，下述定理是自然的： 定理 2.7.5. （横截相交条件下子流形的原像） ♥ 设 f : M → N 为光滑映射, X ⊂ N 为光滑子流形，且 f −⋔ X. 则 f −1 (X) 是 M 中的光滑子流形，它的余维数等于 X (在 N 中) 的余维数, 并且 Tp(f −1 (X)) = df −1 p (Tf(p)X), ∀p ∈ f −1 (X). 证明 根据上述讨论，如果 f −⋔ X, 那么 0 是 g ◦ f 的正则值. 因此 f −1 (X) = (g ◦ f) −1 (0) 是 M 中的光滑子流形. f −1 (X) 的维数是 dim M − l, 其中 l = dim N − dim X. 因此 dim M − dim f −1 (X) = dim N − dim X, 即 codimf −1 (X) = codimX. 最后，由正则水平集定理，f −1 (X) 在 p 处的切空间为 Tp(f −1 (X)) = ker(d(g ◦ f)p) = (dgf(p) ◦ dfp) −1 (0) = df −1 p (dg−1 f(p) (0)) = df −1 p (Tf(p)X). 于是定理得证. □ ¶ 两个子流形/映射之间的横截相交 在文献中还有两种常见的横截相交，都可以视作 f −⋔ X 的特殊情况. 两个子流形的横截相交: 设 X1, X2 为 M 的光滑子流形，记 ι : X1 ,→ M 为典范嵌入. 则 ι −1 (X2) = X1 ∩ X2. 此外，由于 TpX1 = dιp(TpX1), 条件 ι −⋔ X2 等价于“对于每一 点 p ∈ X1 ∩ X2，均有 TpX1 + TpX2 = TpM”. 64
2.7横截性定义2.7.6（横截相交：子流形与子流形）设Xi,X2是M的光滑子流形。若对于任意pEXinX2T,Xi + T,X2 = T,M,则称Xi与X，在M中横截相交，记作X币X2注2.7.7.根据定义，如果XinX2=0，那么Xi而X2因此如果Xi币X2，那么1而X2.所以XinX2=L-1(X2）是M的光滑子流形，且dim(Xi nX2) = dim Xi - (dim M - dim X2) = dim Xi + dim X2 - dim M.此外，XinX2在p处的切空间为dt=1(T,X2)=T,XinTpX2.于是推论2.7.8令Xi和X2为M中两个横截相交的光滑子流形，那么XinX2是M的光滑子流形，其维数等于dimXi+dimX2一dimM，且对于任意pEXinX2，T(X1nX2) = TpXinTpX20注2.7.9.若Xi币X2.那么X1.X2和X1nX2在M中的余维数满足以下简单的关系codimX,nX2=codimXi+codimX2从本质上来说，这表示在交点处，定义子流形X1的方程组跟定义子流形X2的方程组是“无关”的，从而合在一起可以定义余维数更高的子流形。两个映射的横截相交更一般地，还可以定义两个映射之间的横截相交关系：定义2.7.10（横截相交：映射与映射）令fi:Mi→N和f2:M2→N为光滑映射。如果乘积映射fi× f2: Mi× M2→ N× N与“对角线子流形”AN= ((q,g) I E N) CN x N横截相交，则称f1和f2横截相交，并记为fi而f2在这个框架下，定理2.7.5变为（验证）推论2.7.11如果fi而 f2,那么纤维积F = (fi × f2)-1(△n)是Mi×Mz的子流形，它在（pi,p2)EF处的切空间为T(p1,p2)F = (X1,X2) [ X, E Tp,Ms, (df1)pi(X1) = (df2)p2(X2),)3注意如果f2为嵌入映射L2：X一→N，那么fi而f2等价于fi而X65
2.7 横截性 定义 2.7.6. （横截相交：子流形与子流形） ♣ 设 X1, X2 是 M 的光滑子流形。若对于任意 p ∈ X1 ∩ X2, TpX1 + TpX2 = TpM, 则称 X1 与 X2 在 M 中 横截相交，记作 X1 −⋔ X2. 注 2.7.7. 根据定义，如果 X1 ∩ X2 = ∅, 那么 X1 −⋔ X2. 因此如果 X1 −⋔ X2, 那么 ι −⋔ X2. 所以 X1 ∩ X2 = ι −1 (X2) 是 M 的光滑子流形，且 dim(X1 ∩ X2) = dim X1 − (dim M − dim X2) = dim X1 + dim X2 − dim M. 此外, X1 ∩ X2 在 p 处的切空间为 dι−1 p (TpX2) = TpX1 ∩ TpX2. 于是 推论 2.7.8 ♥ 令 X1 和 X2 为 M 中两个横截相交的光滑子流形, 那么 X1 ∩ X2 是 M 的光滑子 流形，其维数等于 dim X1 + dim X2 − dim M, 且对于任意 p ∈ X1 ∩ X2, Tp(X1 ∩ X2) = TpX1 ∩ TpX2. 注 2.7.9. 若 X1 −⋔ X2, 那么 X1, X2 和 X1 ∩ X2 在 M 中的余维数满足以下简单的关系 codimX1 ∩ X2 = codimX1 + codimX2. 从本质上来说，这表示在交点处，定义子流形 X1 的方程组跟定义子流形 X2 的方程组 是“无关”的，从而合在一起可以定义余维数更高的子流形。 两个映射的横截相交 更一般地，还可以定义两个映射之间的横截相交关系： 定义 2.7.10. （横截相交：映射与映射） ♣ 令 f1 : M1 → N 和 f2 : M2 → N 为光滑映射. 如果乘积映射 f1 × f2 : M1 × M2 → N × N 与“对角线子流形” ∆N = {(q, q) | q ∈ N} ⊂ N × N 横截相交，则称 f1 和 f2 横截相交, 并记为 f1 −⋔ f2. 在这个框架下, 定理2.7.5变为(验证) 推论 2.7.11 ♥ 如果 f1 −⋔ f2, 那么纤维积 F = (f1 × f2) −1 (∆N ) 是 M1 × M2 的子流形，它在 (p1, p2) ∈ F 处的切空间为 T(p1,p2)F = {(X1, X2) | Xi ∈ TpiMi ,(df1)p1 (X1) = (df2)p2 (X2).}. 注意如果 f2 为嵌入映射 ι2 : X ,→ N, 那么 f1 −⋔ f2 等价于 f1 −⋔ X. 65
2.7横截性2.7.2横截相交的广泛存在性横截性定理下面给出在寻找横截映射时非常有用的横截性定理(M是带边流形时也成立)：定理2.7.12.（横截性定理）令F：S×M→N为光滑映射，XCN为光滑子流形.对于每个SES，令fs : M → N, fs(p) = F(s,p).假设F币X.那么对于以下投影映射的每个正则值ESaπ: F-1(X)C S×M → S, π(s,p) = s,有fs而X.（于是根据Sard定理，对于几乎所有的sES，都有f.而x.）a注意到因为 F 市X,F-1(X)的原像是 S×M 中的光滑子流形,因此投影映射 π是光滑映射.证明令s为元的任意正则值.对于任意pEf=1(X)，需要证明Im(dfs)p + TqX = TqN,其中q=fs(p).因为F而X,对于任意YqETqN，存在(Z,Zp)ET(sp)(S×M)和ZqETqX使得Yq = (dF)(s,p)(Zs,Zp) + Zg由于s是元的正则值，对于ZETS,存在ZpET,M使得（Z,ZP)ET(s.p)F-1(X).因此Yq = (dF)(s,p)(0, Zp - Zp) + (dF)(sp)(Zs,Z) + Zq最后，因为(dF)(s.p)(0, Zp - Z)) = (dfs)p(Zp-Z)) E Im(dfs)p以及(dF)(s.p)(Zs, Z,) E dF(s,p) (T(s,p)F-1(X)) C TqX.口于是结论成立。作为推论，可以证明横截映射是广泛存在的：推论2.7.13给定任意光滑映射于：M→RK以及光滑子流形XCRK，对于几乎所有的UERK，“U-平移”映射fu: M-RK,p- f(p) = f(p) +v与X横截相交0证明定义光滑映射F:F:M×RK-RK(p, V) - f(p) +V.66
2.7 横截性 2.7.2 横截相交的广泛存在性 ¶ 横截性定理 下面给出在寻找横截映射时非常有用的横截性定理(M 是带边流形时也成立): 定理 2.7.12. （横截性定理） ♥ 令 F : S × M → N 为光滑映射, X ⊂ N 为光滑子流形. 对于每个 s ∈ S, 令 fs : M → N, fs(p) = F(s, p). 假设 F −⋔ X. 那么对于以下投影映射的每个正则值 s ∈ S a π : F −1 (X) ⊂ S × M → S, π(s, p) = s, 有 fs −⋔ X. (于是根据 Sard 定理, 对于几乎所有的 s ∈ S, 都有 fs −⋔ X.) a注意到因为 F −⋔ X, F −1 (X) 的原像是 S × M 中的光滑子流形. 因此投影映射 π 是光滑映射. 证明 令 s 为 π 的任意正则值. 对于任意 p ∈ f −1 s (X), 需要证明 Im(dfs)p + TqX = TqN, 其中 q = fs(p). 因为 F −⋔ X, 对于任意 Yq ∈ TqN, 存在 (Zs, Zp) ∈ T(s,p) (S × M) 和 Zq ∈ TqX 使得 Yq = (dF)(s,p) (Zs, Zp) + Zq. 由于 s 是 π 的正则值, 对于 Zs ∈ TsS, 存在 Z ′ p ∈ TpM 使得 (Zs, Z′ p ) ∈ T(s,p)F −1 (X). 因 此 Yq = (dF)(s,p) (0, Zp − Z ′ p ) + (dF)(s,p) (Zs, Z′ p ) + Zq. 最后，因为 (dF)(s,p) (0, Zp − Z ′ p ) = (dfs)p(Zp − Z ′ p ) ∈ Im(dfs)p, 以及 (dF)(s,p) (Zs, Z′ p ) ∈ dF(s,p) T(s,p)F −1 (X) ⊂ TqX. 于是结论成立。 □ 作为推论，可以证明横截映射是广泛存在的: 推论 2.7.13 ♥ 给定任意光滑映射 f : M → R K 以及光滑子流形 X ⊂ R K，对于几乎所有的 v ∈ R K, “v-平移”映射 fv : M → R K, p 7→ fv(p) = f(p) + v 与 X 横截相交. 证明 定义光滑映射 F: F : M × R K → R K, (p, v) 7→ f(p) + v. 66
2.7横截性那么对于任意固定的点pEM，F(p,）是没（事实上是微分同胚).由此可得F是从M×RK到RK的淹没.因此根据命题2.7.4，F与RK中的任意光滑子流形X横截相口交，由以上的横截定理可以得到结论特别地，如果取f为嵌入映射，则有推论2.7.14（一般位置引理）令M,N为RK的光滑子流形.则对于几乎所有aERK,M+a与N横截相交.T同伦横截性定理通过管状邻域定理，可以证明定理2.7.15.（同伦横截性定理）如果f：M→N为光滑映射，并且YCN为任意光滑子流形.那么f同伦于某个与Y横截相交的光滑映射g：M→N.此外，如果XCM是闭子流形并且f在X上与Y横截相交（即(2.7.1)对于f-1(Y)nX中的点成立），那么可以选择g使得glx = flx:?证明将N嵌入到RK，并令元e:N→N为N的e-邻域，其中e:N→R>0取为光滑函数（例如取为邻域定理中连续函数e/2的光滑e/2逼近）再取光滑函数：M→R使得0<8<1且A=-1(0).定义F: B× M →N F(s,p) = πe(f(p) +(p)e(f(p))s),其中B是RK中的开单位球。下证F与Y横截相交：对于任意(s,P)EF-1(Y)，。若p±X，则由映射(s,p)→f(p)+8(p)e(f(p))s对于任意固定的p都是淹没映射可知F在(s,P)处是淹没映射，从而Im(dF(s,p)+TF(s,p)Y=T(sp)N.。若pEX，则由f在X上与Y横截相交可知Im(dfp)+Tf(p)Y=Tf(p)N.但此时由定义可知F(s,p)=f(p)，故 Im(dF(s,p))+TF(s.p)Y=TF(s.p)N.于是由横截性定理，存在sEB使得g=fs=F(s,）与Y横截相交。显然F(rs,）给口出了g与f=fo之间的同伦，且当pEX时，g(p)=f(p)作为推论，可以证明下述“直观上很显然”的结论：推论2.7.16（余维数2不改变连通性）设M为m维连通光滑流形，而SCM是维数k≤m-2的光滑子流形.那么补集MIS是连通的.证明设,yEMS.令为M中连接和y任意的道路.根据定理2.6.12，同伦于连接a和y的光滑曲线.再由上述推论，同伦于连接和y且与M横截相交的光滑映射"。通过计算维数，就得到Image(")nM=0，于是"就是一条连接a与y的道路。口类似地，还可以证明：如果从光滑流形中挖掉余维数至少为3的子流形，其基本群不改变（留作习题）。67
2.7 横截性 那么对于任意固定的点 p ∈ M, F(p, ·) 是淹没(事实上是微分同胚). 由此可得 F 是从 M × R K 到 R K 的淹没. 因此根据命题2.7.4, F 与 R K 中的任意光滑子流形 X 横截相 交. 由以上的横截定理可以得到结论. □ 特别地，如果取 f 为嵌入映射，则有 推论 2.7.14. （一般位置引理） ♥ 令 M, N 为 R K 的光滑子流形. 则对于几乎所有 a ∈ R K, M + a 与 N 横截相交. ¶ 同伦横截性定理 通过管状邻域定理，可以证明: 定理 2.7.15. （同伦横截性定理） ♥ 如果 f : M → N 为光滑映射, 并且 Y ⊂ N 为任意光滑子流形. 那么 f 同伦于某 个与 Y 横截相交的光滑映射 g : M → N. 此外，如果 X ⊂ M 是闭子流形并且 f 在 X 上与 Y 横截相交（即 (2.7.1) 对于 f −1 (Y ) ∩ X 中的点成立）, 那么可以选择 g 使得 g|X = f|X. 证明 将 N 嵌入到 R K，并令 πε : Nε → N 为 N 的 ε-邻域，其中 ε : N → R>0 取为光 滑函数 (例如取为 ε 邻域定理中连续函数 ε/2 的光滑 ε/2 逼近). 再取光滑函数 δ : M → R 使得 0 ≤ δ ≤ 1 且 A = δ −1 (0). 定义 F : B × M → N F(s, p) = πε(f(p) + δ(p)ε(f(p))s), 其中 B 是 R K 中的开单位球. 下证 F 与 Y 横截相交：对于任意 (s, p) ∈ F −1 (Y )， 若 p 6∈ X，则由映射 (s, p) 7→ f(p) + δ(p)ε(f(p))s 对于任意固定的 p 都是淹没映射 可知 F 在 (s, p) 处是淹没映射，从而 Im(dF(s,p) ) + TF(s,p)Y = TF(s,p)N. 若 p ∈ X，则由 f 在 X 上与 Y 横截相交可知 Im(dfp) + Tf(p)Y = Tf(p)N. 但此时 由定义可知 F(s, p) = f(p)，故 Im(dF(s,p) ) + TF(s,p)Y = TF(s,p)N. 于是由横截性定理，存在 s ∈ B 使得 g = fs = F(s, ·) 与 Y 横截相交。显然 F(rs, ·) 给 出了 g 与 f = f0 之间的同伦，且当 p ∈ X 时，g(p) = f(p). □ 作为推论，可以证明下述“直观上很显然”的结论： 推论 2.7.16. （余维数 2 不改变连通性） ♥ 设 M 为 m 维连通光滑流形，而 S ⊂ M 是维数 k ≤ m − 2 的光滑子流形. 那么 补集 M \ S 是连通的. 证明 设 x, y ∈ M \ S. 令 γ 为 M 中连接 x 和 y 任意的道路. 根据定理2.6.12，γ 同伦 于连接 x 和 y 的光滑曲线 γ ′ . 再由上述推论, γ ′ 同伦于连接 x 和 y 且与 M 横截相交的 光滑映射 γ ′′ . 通过计算维数, 就得到 Image(γ ′′) ∩ M = ∅，于是 γ ′′ 就是一条连接 x 与 y 的道路。 □ 类似地，还可以证明：如果从光滑流形中挖掉余维数至少为 3 的子流形，其基本群 不改变（留作习题）。 67