2.3Sard定理2.3Sard定理本节将要证明的主要定理是：对于任意光滑映射f：M→N，N中“几乎所有点”(即某个在测度意义或者Baire纲意义下可忽略集合的补集中的所有点)都是的正则值.为此，我们将首先给出临界点/值与正则点/值的概念，然后在上述两种意义下分别证明主要定理。2.3.1临界点和临界值临界点和临界值：定义根据隐函数定理，若f：UCRm一→Rn是一个光滑映射，且f在点a处是淹没，即df。：Rm→Rn是满射，则f在a点附近具有比较好的性态（例如f的水平集可以被表示成某个映射的图像），换面言之，f的性态变化比较大的点是使得df。不是满射的点在分析中这些点被称为的临界点：定义2.3.1.（临界点/临界值与正则点/正则值）设M,N为光滑流形，pEM,EN，而f:M→N是光滑映射(1）若dfp：TpM→Tf(p)N不是满射°，则称p是f的临界点(2)若点P是f的临界点，则称它的像f(p)EN为f的临界值(3）若点P不是f的临界点，则称它是f的正则点（4）若点q不是于的临界值，则称它是f的正则值记f的所有临界点所组成的集合为Crit(f)"本书将临界点定义为那些使得rank(dfp）<dimN的点，而在一些书中，临界点被定义为那些使得rank(dfp)<min(dimM,dimN)的点.福注2.3.2.令f：M→N为一个光滑映射。由定义，任意gENIm(f）都自动是正则值，故映射的正则值未必是映射的值！。临界点的像都是临界值，但正则点的像未必是正则值，也有可能是临界值，。由定义，正则点构成的集合在M中是开集p是f的正则点f是p处的淹没一f是p附近的淹没，即p“附近”的点都是正则点于是临界点的集合Crit(f)在M中是闭集例子对于临界点的概念，我们更熟悉的是它的两种特殊情形：。光滑函数f：R→R的临界点是那些使得f'(a)=0的点a。光滑函数f：Rm→R的临界点是那些使得对所有的i都有(a)=0的点a.一般而言，若fEC(M)，则pEM是f的临界点当且仅当df，=0.特别地，“任何光滑函数的极大值/极小值点是临界点”这个结果在光滑流形上仍然成立39
2.3 Sard 定理 2.3 Sard 定理 本节将要证明的主要定理是：对于任意光滑映射 f : M → N, N 中“几乎所有点” (即某个在测度意义或者 Baire 纲意义下可忽略集合的补集中的所有点)都是 f 的正则值. 为此，我们 将首先给出临界点/值与正则点/值的概念，然后在上述两种意义下分别证明主要定理。 2.3.1 临界点和临界值 ¶ 临界点和临界值：定义 根据隐函数定理，若 f : U ⊂ R m → R n 是一个光滑映射，且 f 在点 a 处是淹没，即 dfa : R m → R n 是满射，则 f 在 a 点附近具有比较好的性态（例如 f 的水平集可以被表 示成某个映射的图像）. 换而言之，f 的性态变化比较大的点是使得 dfa 不是满射的点. 在分析中这些点被称为 f 的临界点： 定义 2.3.1. （临界点/临界值与正则点/正则值） ♣ 设 M, N 为光滑流形，p ∈ M, q ∈ N，而 f : M → N 是光滑映射. (1) 若 dfp : TpM → Tf(p)N 不是满射a，则称 p 是 f 的临界点. (2) 若点 p 是 f 的临界点，则称它的像 f(p) ∈ N 为 f 的临界值. (3) 若点 p 不是 f 的临界点，则称它是 f 的正则点. (4) 若点 q 不是 f 的临界值，则称它是 f 的正则值. 记 f 的所有临界点所组成的集合为 Crit(f). a本书将临界点定义为那些使得 rank(dfp) < dim N 的点，而在一些书中，临界点被定义为那些使得 rank(dfp) < min(dim M, dim N) 的点. 注 2.3.2. 令 f : M → N 为一个光滑映射. 由定义，任意 q ∈ N \Im(f) 都自动是正则值，故映射的正则值未必是映射的值! 临界点的像都是临界值，但正则点的像未必是正则值，也有可能是临界值. 由定义，正则点构成的集合在 M 中是开集: p 是 f 的正则点 ⇐⇒ f 是 p 处的淹没 p 是 f 的正则点 ⇐⇒ f 是 p 附近的淹没, 即 p“附近”的点都是正则点. 于是临界点的集合 Crit(f) 在 M 中是闭集. ¶ 例子 对于临界点的概念，我们更熟悉的是它的两种特殊情形： 光滑函数f : R → R 的临界点是那些使得 f ′ (a) = 0 的点 a. 光滑函数f : R m → R 的临界点是那些使得对所有的 i 都有 ∂f ∂xi (a) = 0 的点 a. 一般而言，若 f ∈ C∞(M)，则 p ∈ M 是 f 的临界点当且仅当 dfp = 0. 特别地，“任何 光滑函数的极大值/极小值点是临界点”这个结果在光滑流形上仍然成立: 39
2.3Sard定理命题2.3.3.（极值点是临界点）设fECo(M）为光滑函数，且PEM是f取到（局部）极大值或极小值的点，那么P是f的临界点h证明根据注记2.1.9，对于任意X,=a0lpET,M，有d;(X,) = X()=Ea,0l()=a,(f(g(0) = 0. Ori口由X，的任意性可知p是于的一个临界点特别地，定义在紧流形上的光滑函数都存在至少两个临界点例2.3.4.北极点（0,·，0,1)和南极点（0,·，0,-1）是“高度函数”f: sn -→R, f(rl,...,an+l)=an+1的临界点：不难验证Sn上其他点都是f的正则点，因此f的临界值只有1和-1.例2.3.5.对于以下两种极端情况，。f:M→N是常值映射，即f(p)=9oEN,。f：M→N是光滑映射，但是dimM<dimN,M中的任意一点都是临界点，因此像集f(M）中的任意一点都是f的临界值例2.3.6.存在一个光滑函数fEC(R)，其临界值在R中稠密：记Q=[r1,r2,.}取一个定义在R上的光滑鼓包函数fo，使得supp(fo)C(-1/3,1/3)且fo=1on (-1/4,1/4)令f(a) =rkfo(r -k).k=1则每个kEN都是f的一个临界点，从而的临界值包含f(N)=Q.（思考题：找到临界值集合不可数的光滑函数）2.3.2Sard定理光滑流形上的零测集首先解释一下在光滑流形上哪些集合“在测度意义下可忽略”，即“零测集”.注意我们还没有在M或N上引入任何测度结构.事实上，如果仅仅需要讨论光滑流形M上的“零测集”，那么并不需要在M上引入测度：只需把欧氏空间中的“Lebesgue零测”这个概念移植过去即可.在将欧氏空间里的概念移植到光滑流形上时，需要非常小心：虽然看起来利用局部坐标卡，就可以将欧氏空间上的Lebesgue测度“移植”到流形上，但是这样得到的“测度”并不是在流形上良好定义的的测度，因为同一个区域在该“测度”下的值取决于局部坐标卡的选择.事实上，测度结构是流形上的一种额外的结构．仅有光滑结构时，是无法典范地定义测度结构的：（对于一个可定向流形，每个体积形式都给出了一个测度：见本书后文）.然而，即使不引入测度结构，依然可以在光滑流形上谈论“一个集合是否是零测集”40
2.3 Sard 定理 命题 2.3.3. （极值点是临界点） ♠ 设 f ∈ C∞(M) 为光滑函数，且 p ∈ M 是 f 取到（局部）极大值或极小值的点. 那么 p 是 f 的临界点. 证明 根据注记2.1.9，对于任意 Xp = Pai∂i |p ∈ TpM, 有 dfp(Xp) = Xp(f) = Xai∂i |p(f) = Xai ∂(f ◦ ϕ −1 ) ∂xi (ϕ(p)) = 0. 由 Xp 的任意性可知 p 是 f 的一个临界点. □ 特别地，定义在紧流形上的光滑函数都存在至少两个临界点. 例 2.3.4. 北极点 (0, · · · , 0, 1) 和南极点 (0, · · · , 0, −1) 是“高度函数” f : S n → R, f(x 1 , · · · , xn+1) = x n+1 的临界点. 不难验证 S n 上其他点都是 f 的正则点，因此 f 的临界值只有 1 和 −1. 例 2.3.5. 对于以下两种极端情况, f : M → N 是常值映射，即 f(p) ≡ q0 ∈ N, f : M → N 是光滑映射，但是 dim M < dim N, M 中的任意一点都是临界点，因此像集 f(M) 中的任意一点都是 f 的临界值. 例 2.3.6. 存在一个光滑函数 f ∈ C∞(R)，其临界值在 R 中稠密: 记 Q = {r1, r2, · · · }. 取一个定义在 R 上的光滑鼓包函数 f0，使得 supp(f0) ⊂ (−1/3, 1/3) 且 f0 ≡ 1 on (−1/4, 1/4). 令 f(x) = X∞ k=1 rkf0(x − k). 则每个 k ∈ N 都是 f 的一个临界点, 从而 f 的临界值包含 f(N) = Q. (思考题: 找到临界值 集合不可数的光滑函数.) 2.3.2 Sard 定理 ¶ 光滑流形上的零测集 首先解释一下在光滑流形上哪些集合“在测度意义下可忽略”, 即“零测集”. 注意 我们还没有在 M 或 N 上引入任何测度结构. 事实上，如果仅仅需要讨论光滑流形 M 上的“零测集”，那么并不需要在 M 上引入测度：只需把欧氏空间中的“Lebesgue 零测” 这个概念移植过去即可. 在将欧氏空间里的概念移植到光滑流形上时，需要非常小心：虽然看起来利用局部 坐标卡，就可以将欧氏空间上的 Lebesgue 测度“移植”到流形上，但是这样得到的“测 度”并不是在流形上良好定义的的测度，因为同一个区域在该“测度”下的值取决于局 部坐标卡的选择. 事实上，测度结构是流形上的一种额外的结构. 仅有光滑结构时，是无 法典范地定义测度结构的. (对于一个可定向流形，每个体积形式都给出了一个测度，见本书后文). 然而, 即使不引入测度结构，依然可以在光滑流形上谈论“一个集合是否是零测集”： 40
2.3Sard定理借助于欧氏空间的Lebesgue测度，虽然对于给定的集合，它在坐标映射下像的Lebesgue测度值一般而言依赖于局部坐标卡的选取，但是“该像集是否是零测集”这一点是不依赖于坐标卡的选取的.回忆一下，集合ACRn是零测集，是指对于任意ε>0,存在可数个n维开箱体UiER"，使得AcUU且volume(U.) <e.对于R中的Lebesgue零测集，有以下性质：(i）可数个零测集的并仍然是零测集(i）若ACRn是零测集，且：Rn→Rn是光滑映射，则f(A)是零测集.4(ii）(Fubini定理的特殊形式）设A为Rn的可测子集，且对于任意cERr，“切片”An（c×Rn-r）在Rn-r中都是零测集，那么A是Rn中的零测集因为任意流形M可以被可数多坐标卡覆盖，并且每个坐标卡将M中的一个开集等同于R中的一个开集，以下定义跟坐标卡的选取无关（从而是良定的）：定义2.3.7.（光滑流形上的零测集）设M是光滑流形，ACM是一个子集。若对于任意pEA，可以找到M的在p附近的一个坐标卡U,V)，使得(AnU）是V中的零测集，则称A是M中的一个零测集品显然，光滑流形上可数多个零测集的并仍然是零测集Sard定理在做完这些准备工作后，现在可以陈述并证明Sard定理，它是微分拓扑中非常重要也非常有用的一个定理：5定理2.3.8.（Sard定理）对于任意光滑映射：M→N,f的临界值集合在N中是零测集8注意。Sard定理并没有断言f的临界点集合是M中的零测集.事实上，我们已经看到，甚至可能M上的所有点都是临界点，。如果n=dimN=0.那么f没有临界点（因此也没有临界值).下面总假设n>0因为总是可以用至多可数个坐标卡U；覆盖M，使得每个f(U）都包含于N的某个坐标卡X，而且零测集的可数并仍然是零测集，所以只需要证明Sard定理对于欧氏空间中开集之间的光滑映射成立即可，即只需证明注意连续函数可以将R”中的零测集映射到R”中的正测度集，于是在拓扑流形上用这种方式定义的“零测集”不是良定的。5该定理在m=1的情形首先由Morse于1939年证明，后来1942年由Sard将它推广到了一般情况。无穷维的Banach流形版本的Sard定理则是1965年由S.Smale证明的.41
2.3 Sard 定理 借助于欧氏空间的 Lebesgue 测度, 虽然对于给定的集合，它在坐标映射下像的 Lebesgue 测度值一般而言依赖于局部坐标卡的选取，但是“该像集是否是零测集”这一点是不依 赖于坐标卡的选取的. 回忆一下，集合 A ⊂ R n 是零测集，是指对于任意 ε > 0, 存在可 数个 n 维开箱体 Ui ∈ R n，使得 A ⊂ [ i Ui 且 X i volume(Ui) < ε. 对于 R n 中的 Lebesgue 零测集, 有以下性质： (i) 可数个零测集的并仍然是零测集. (ii) 若 A ⊂ R n 是零测集, 且 f : R n → R n 是光滑映射，则 f(A) 是零测集. 4 (iii) (Fubini 定理的特殊形式) 设 A 为 R n 的可测子集，且对于任意 c ∈ R r，“切片” A ∩ ({c} × R n−r ) 在 R n−r 中都是零测集，那么 A 是 R n 中的零测集. 因为任意流形 M 可以被可数多坐标卡覆盖，并且每个坐标卡将 M 中的一个开集等 同于 R n 中的一个开集, 以下定义跟坐标卡的选取无关 (从而是良定的)： 定义 2.3.7. （光滑流形上的零测集） ♣ 设 M 是光滑流形，A ⊂ M 是一个子集. 若对于任意 p ∈ A, 可以找到 M 的在 p 附近的一个坐标卡 (ϕ, U, V )，使得 ϕ(A ∩ U) 是 V 中的零测集，则称 A 是 M 中 的一个零测集. 显然，光滑流形上可数多个零测集的并仍然是零测集. ¶ Sard 定理 在做完这些准备工作后，现在可以陈述并证明 Sard 定理，它是微分拓扑中非常重要 也非常有用的一个定理：5 定理 2.3.8. （Sard 定理） ♥ 对于任意光滑映射 f : M → N, f 的临界值集合在 N 中是零测集. 注意 Sard 定理并没有断言 f 的临界点集合是 M 中的零测集. 事实上，我们已经看到， 甚至可能 M 上的所有点都是临界点. 如果 n = dim N = 0, 那么 f 没有临界点 (因此也没有临界值). 下面总假设 n > 0. 因为总是可以用至多可数个坐标卡 Ui 覆盖 M, 使得每个 f(Ui) 都包含于 N 的某个 坐标卡 Xi，而且零测集的可数并仍然是零测集，所以只需要证明 Sard 定理对于欧氏空 间中开集之间的光滑映射成立即可，即只需证明 4注意连续函数可以将 R n 中的零测集映射到 R n 中的正测度集，于是在拓扑流形上用这种方式定义的“零 测集”不是良定的. 5该定理在 m = 1 的情形首先由 Morse 于 1939 年证明, 后来 1942 年由 Sard 将它推广到了一般情况. 无穷 维的 Banach 流形版本的 Sard 定理则是 1965 年由 S. Smale 证明的. 41
2.3Sard定理定理2.3.9.（欧氏空间光滑映射的Sard定理）如果UCRm是欧氏空间中的开集，并且f：U→Rn是光滑映射，那么f的临界值集合是Rn中的零测集O证明首先观察到如果m<n，那么整个像集f(U）都是临界点。为了说明f(U）是Rn中的零测集，将U等同于U×Rn-mCRn中的子集U×O].定义映射f:U × Rn-m →Rn, f(a,y)= f(r),则于是同维数的欧氏空间之间的光滑映射，并且f(U)=f(U×[0])。由于U×[0]是Rn中的零测集，所以像集f(U×[O)是Rn中的零测集接下来采用归纳法：定理对于㎡=0显然是成立的，因为任意可数集都是零测集，下面证明：若定理对m一1成立的，则它对m也成立.记C=Crit(f)是f的所有临界点的集合。为了证明f(C)在N中为零测集，记Ci= U /afi()=0,Mal≤j,Vi)显然，对于任意正整数k，f(C)=f(C/C)Uf(C1/C2)U---Uf(Ck-1/Ck)Uf(Ck).下面将按照J.Milnor的证明方法，分三步证明f（C）是零测集：步骤1:f(C/Ci)是零测集，步骤2:对于任意i，f（CiCi+1）是零测集步骤3:当k足够大时，f(Ck）是零测集，步骤1的证明.对于任意EC\Ci，下面构造开集U使得f(UnC)是零测集因为CIC1能被可数多这样的开集覆盖（由第二可数性），所以f(CC1）是零测集注意到如果n=1，那么点是于的临界点当且仅当对于所有的i，(a)=0.于是C)Ci=0.从而f(C)C1)必然是零测集，下面假设m≥n>1.因为&Ci，在处存在某些偏导数非零.不妨设≠0.考虑h:U -→Rm, h(a)=(fi(a),r2,...,am).则dhz是非奇异的，从而根据反函数定理，h将a的某个邻域U微分同胚地映射到Rm中的某开集V.于是复合映射g=foh-1将V映到Rn中.此外，因为h-1是V上的一个微分同胚，dh-1在V上处处是线性同构因此9的临界值集合恰好是f(UrnC)根据定义，映射9具有以下形式g(t,r2,,rm) = (t, g2,...,gn).因此对于每个t,g诱导了一个光滑映射 gt:((t)×Rm-1)nV→[t) ×Rn-1.此外,(10dg =(8(g)(8r/ij>2)于是（{t)×Rm-1)nV中的一个点是gt的临界点当且仅当它是g的临界点.但是由归纳假设，Sard定理对于m一1成立，从而对于每个gt成立.因此gt的临界值集合在[t)×Rn-1中是零测集于是由Fubini定理的特殊情形可知g的临界值集合是零测集.42
2.3 Sard 定理 定理 2.3.9. （欧氏空间光滑映射的 Sard 定理） ♥ 如果 U ⊂ R m 是欧氏空间中的开集，并且 f : U → R n 是光滑映射，那么 f 的临 界值集合是 R n 中的零测集. 证明 首先观察到如果 m < n, 那么整个像集 f(U) 都是临界点。为了说明 f(U) 是 R n 中的零测集，将 U 等同于 U × R n−m ⊂ R n 中的子集 U × {0}. 定义映射 ˜f : U × R n−m → R n , ˜f(x, y) = f(x), 则 ˜f 是同维数的欧氏空间之间的光滑映射，并且 f(U) = ˜f(U × {0})。由于 U × {0} 是 R n 中的零测集, 所以像集 ˜f(U × {0}) 是 R n 中的零测集. 接下来采用归纳法. 定理对于 m = 0 显然是成立的，因为任意可数集都是零测集. 下面证明：若定理对 m − 1 成立的，则它对 m 也成立. 记 C = Crit(f) 是 f 的所有临 界点的集合。为了证明 f(C) 在 N 中为零测集，记 Cj = {x ∈ U | ∂ α fi(x) = 0, ∀|α| ≤ j, ∀i}. 显然，对于任意正整数 k, f(C) = f(C\C1) ∪ f(C1 \C2) ∪ · · · ∪ f(Ck−1 \Ck) ∪ f(Ck). 下面将按照 J. Milnor 的证明方法, 分三步证明 f(C) 是零测集: 步骤 1: f(C\C1) 是零测集. 步骤 2: 对于任意 i, f(Ci\Ci+1) 是零测集. 步骤 3: 当 k 足够大时，f(Ck) 是零测集, 步骤 1 的证明. 对于任意 x ∈ C \C1，下面构造开集 Ux 3 x 使得 f(Ux ∩ C) 是零测集. 因为 C\C1 能被可数多这样的开集覆盖 (由第二可数性), 所以 f(C\C1) 是零测集. 注意到如果 n = 1, 那么点 x 是 f 的临界点当且仅当对于所有的 i, ∂f ∂xi (x) = 0. 于 是 C \ C1 = ∅, 从而 f(C \C1) 必然是零测集. 下面假设 m ≥ n > 1. 因为 x 6∈ C1, 在 x 处存在某些偏导数非零. 不妨设 ∂f1 ∂x1 6= 0. 考虑 h : U → R m, h(x) = (f1(x), x2 , · · · , xm). 则 dhx 是非奇异的，从而根据反函数定理, h 将 x 的某个邻域 Ux 微分同胚地映射到 R m 中的某开集 V . 于是复合映射 g = f ◦ h −1 将 V 映到 R n 中. 此外，因为 h −1 是 V 上的 一个微分同胚, dh−1 在 V 上处处是线性同构. 因此 g 的临界值集合恰好是 f(Ux ∩ C). 根据定义，映射 g 具有以下形式 g(t, x2 , · · · , xm) = (t, g2, · · · , gn). 因此对于每个 t, g 诱导了一个光滑映射 g t : ({t} × R m−1 ) ∩ V → {t} × R n−1 . 此外, dg = Ñ 1 0 ∗ Ä ∂(g t )i ∂xj ä i,j≥2 é . 于是 ({t} × R m−1 ) ∩ V 中的一个点是 g t 的临界点当且仅当它是 g 的临界点. 但是由归 纳假设，Sard 定理对于 m − 1 成立, 从而对于每个 g t 成立. 因此 g t 的临界值集合在 {t} × R n−1 中是零测集. 于是由 Fubini 定理的特殊情形可知 g 的临界值集合是零测集. 42
2.3Sard定理步骤2的证明.对于每个aEC\C+1，取满足|a=i的某个多重指标α，使得。偏导数w=f在Ci上为零，。w的一阶偏导数至少有一个在处不为零.不设（）≠0由反函数定理知h:U→Rm,h(r)=(w(ar),a2,,am)将a的邻域U微分同胚地映为Rm中的开集V.因为h(CinU)C[O)×Rm-1，所以映射g=foh-1的“类型为C,的临界点”都在超平面[0]×Rm-1上.令g: ((0) × Rm-1)nV-→Rn为g的限制映射，则g的“类型为Ci的临界点”恰好是9的临界点.由归纳假设，9的临界值集是Rn中的零测集，故g的“类型为C的临界点”的像为零测集，即f(CinU）为零测集.由于CCi+1能被可数个这样的集合U覆盖，f（CCi+1）是零测集步骤3的证明.令QCU为一个边长为的m维闭方体，下证：对于k>㎡-1,f(CknQ）是零测集.因为Ck能被可数多个这样的方体覆盖，所以f(Ck）是零测集由Q的紧性以及Ck的定义，对于满足aECknQ且a+hEQ的（c,h)，的Taylor展开形如f(r+h)=f()+R(r,h)其中余项R(c,h)I<ahjk+1,且常数a仅依赖于f和Q.接着将Q细分为1m个边长是%的小方体，并令Q1为细分中包含点ECk的小方体那么Q1中的任意点可以写作+h，且[hl≤Vm.于是由上述Taylor展开的余项估计，f(Qi）落在一个边长为r且中心为f(a）的方体中，其中常数b=2a(Vms)+1.因此f(CknQ)包含于至多[m个小方体的并集中，且这些小方体的总体积为h体积≤()"=bm-(+1)n.口因为k>-1,所以当1→80时体积→0.故f(CknQ)是零测集注2.3.10.设r≥1且M,N都是Cr流形。(1）根据上述证明，若m≤n，则对于任意Cl映射f：M→N，Sard定理依然成立。(2)若m≤n，且f：M→N是一个Cr映射，则当r≥1+m-n时Sard定理依然成立，但其证明更加复杂，参见[6]，[7]。上述证明对于这种更一般的情形并不适用，因为“步骤2”中对9用了归纳假设，而9的光滑性不够。。这里关于r的条件不能去掉，反例见习题。2.3.3Sard定理的一个变体在一些应用中，需要处理的未必是有限维流形之间的光滑映射，而是某些“无穷维流形之间的光滑映射”，此时因为模型空间（例如无穷维Banach空间或者Hilbert空间）中不再有“平移不变Lebesgue测度”，所以用“零测”这个概念表述的Sard定理无法直接推广到该情形。好在天无绝人之路，还有用其它方式来表述“拓扑空间里某个集合43
2.3 Sard 定理 步骤 2 的证明. 对于每个 x ∈ Ci\Ci+1, 取满足 |α| = i 的某个多重指标 α, 使得 偏导数 w := ∂ αf 在 Ci 上为零, w 的一阶偏导数至少有一个在 x 处不为零. 不妨设 ∂w ∂x1 (x) 6= 0. 由反函数定理知 h : U → R m, h(x) = w(x), x2 , · · · , xm 将 x 的邻域 Ux 微分同胚地映为 R m 中的开集 V . 因为 h(Ci ∩ Ux) ⊂ {0} × R m−1，所以 映射 g = f ◦ h −1 的“类型为 Ci 的临界点”都在超平面 {0} × R m−1 上. 令 g¯ : ({0} × R m−1 ) ∩ V → R n 为 g 的限制映射，则 g 的“类型为 Ci 的临界点”恰好是 g¯ 的临界点. 由归纳假设，g¯ 的 临界值集是 R n 中的零测集，故 g 的“类型为 Ci 的临界点”的像为零测集，即 f(Ci∩Ux) 为零测集. 由于 Ci \ Ci+1 能被可数个这样的集合 Ux 覆盖，f(Ci\ Ci+1) 是零测集. 步骤 3 的证明. 令 Q ⊂ U 为一个边长为 δ 的 m 维闭方体. 下证：对于 k > m n − 1, f(Ck ∩ Q) 是零测集. 因为 Ck 能被可数多个这样的方体覆盖，所以 f(Ck) 是零测集. 由 Q 的紧性以及 Ck 的定义, 对于满足 x ∈ Ck ∩ Q 且 x + h ∈ Q 的 (x, h)，f 的 Taylor 展开形如 f(x + h) = f(x) + R(x, h), 其中余项 |R(x, h)| < a|h| k+1 , 且常数 a 仅依赖于 f 和 Q. 接着将 Q 细分为 l m 个边长 是 δ l 的小方体，并令 Q1 为细分中包含点 x ∈ Ck 的小方体. 那么 Q1 中的任意点可以写 作 x + h，且 |h| ≤ √ mδ l . 于是由上述 Taylor 展开的余项估计，f(Q1) 落在一个边长为 b l k+1 且中心为 f(x) 的方体中, 其中常数 b = 2a( √ mδ) k+1 . 因此 f(Ck ∩ Q) 包含于至多 l m 个小方体的并集中，且这些小方体的总体积为 体积 ≤ l m( b l k+1 ) n = b n l m−(k+1)n . 因为 k > m n − 1, 所以当 l → ∞ 时 体积 → 0. 故 f(Ck ∩ Q) 是零测集. □ 注 2.3.10. 设 r ≥ 1 且 M, N 都是 C r 流形。 (1) 根据上述证明，若 m ≤ n，则对于任意 C 1 映射 f : M → N，Sard 定理依然成立。 (2) 若 m ≤ n，且 f : M → N 是一个 C r 映射，则当 r ≥ 1 + m − n 时 Sard 定理依 然成立，但其证明更加复杂，参见 [6], [7]. 上述证明对于这种更一般的情形并不适用，因为“步骤 2”中对 g¯ 用了归纳假 设，而 g¯ 的光滑性不够。 这里关于 r 的条件不能去掉，反例见习题。 2.3.3 Sard 定理的一个变体 在一些应用中，需要处理的未必是有限维流形之间的光滑映射，而是某些“无穷维 流形之间的光滑映射”，此时因为模型空间（例如无穷维 Banach 空间或者 Hilbert 空间） 中不再有“平移不变 Lebesgue 测度”，所以用“零测”这个概念表述的 Sard 定理无法 直接推广到该情形。好在天无绝人之路，还有用其它方式来表述“拓扑空间里某个集合 43