1.2光滑流形1.2光滑流形上一节给出了拓扑流形的概念。作为“拓扑范畴”的子范畴，对于拓扑流形人们关注的还是连续映射（以及同胚）。为了能够在流形上运用强大的分析工具，需要对流形和映射提出光滑性的要求。本节给出光滑流形的定义与基本例子，并进而给出光滑流形间光滑映射的定义。它们是“光滑流形范畴”的基本要素，是本书的主要研究对象。1.2.1光滑流形：定义光滑函数和光滑映射：欧氏情形为了从拓扑流形过渡到光滑流形，先简要回顾一下数学分析中光滑函数和微分同胚的概念。设U是Rn中的一个开集，而f：U→R是U上的一个连续函数。若的所有不超过k阶的偏导数alalfalalf" = (orl).. (on))a=a1+.+an≤k都是U上的连续函数，则称是一个Ck-函数。若对于任意正整数k，f都是Ck函数，则称f是一个C函数，或者光滑函数，。若是光滑函数，并且f在U中任意一点的Taylor级数都在该点的某个小邻域内收敛于函数f自身，则称于是一个解析函数（或者Cw函数）注意并不是所有光滑函数都是解析的，下一节中将会给出一个具体例子。类似的，设U是Rn中的一个开集，V是Rm中的一个开集，而f=(fi,...,fm):U→V是从U到V的一个连续映射.如果映射f的任一分量fi（1≤i≤m）都是一个Coo函数(或者Ck函数，或C函数)，则称于是Coo映射（或者 Ck映射，或Cw映射).1正如连续映射是“拓扑范畴”中的态射那样，光滑映射是“光滑范畴”中的态射，是分析中最基本的研究对象。类似地，可以定义“光滑范畴”中的同胚，即定义1.2.1.（微分同胚）若一个光滑映射f：U→V既是单射也是满射，并且f-1：V→U也是一个光滑映射，则称于为一个微分同胚品根据定义，很容易得到.恒等映射Id：U一U是一个微分同胚。如果f：U→V是一个微分同胚，那么f-1：V→U也是微分同胚。如果f：U→V和g：V→W均为微分同胚，那么gof：U→W也是微分同胚于是，微分同胚是欧氏开集之间的一个等价关系，微分同胚的开集具有完全相同的分析性质。1本书主要考虑C函数和C映射。后文中大多数定义和定理都能拓展到C*的情况.不过，C"映射的理论会有较大的差异。9
1.2 光滑流形 1.2 光滑流形 上一节给出了拓扑流形的概念。作为“拓扑范畴”的子范畴，对于拓扑流形人们关 注的还是连续映射（以及同胚）。为了能够在流形上运用强大的分析工具，需要对流形和 映射提出光滑性的要求。本节给出光滑流形的定义与基本例子，并进而给出光滑流形间 光滑映射的定义。它们是“光滑流形范畴”的基本要素，是本书的主要研究对象。 1.2.1 光滑流形：定义 ¶ 光滑函数和光滑映射: 欧氏情形 为了从拓扑流形过渡到光滑流形，先简要回顾一下数学分析中光滑函数和微分同胚 的概念。设 U 是 R n 中的一个开集, 而 f : U → R 是 U 上的一个连续函数. 若 f 的所有不超过 k 阶的偏导数 ∂ α f := ∂ |α|f ∂xα := ∂ |α|f (∂x1) α1 · · ·(∂xn) αn , |α| = α1 + · · · + αn ≤ k 都是 U 上的连续函数，则称 f 是一个 C k -函数。 若对于任意正整数 k, f 都是 C k 函数，则称 f 是一个 C∞ 函数，或者光滑函数. 若 f 是光滑函数，并且 f 在 U 中任意一点的 Taylor 级数都在该点的某个小邻域 内收敛于函数 f 自身，则称 f 是一个解析函数 (或者 C ω 函数). 注意并不是所有光滑函数都是解析的，下一节中将会给出一个具体例子。 类似的，设 U 是 R n 中的一个开集，V 是 R m 中的一个开集，而 f = (f1, · · · , fm) : U → V 是从 U 到 V 的一个连续映射. 如果映射 f 的任一分量 fi（1 ≤ i ≤ m）都是一个 C∞ 函 数 (或者 C k 函数, 或 C ω 函数)，则称 f 是 C∞ 映射 (或者 C k 映射，或 C ω 映射) . 1 正如连续映射是“拓扑范畴”中的态射那样，光滑映射是“光滑范畴”中的态射，是 分析中最基本的研究对象。类似地，可以定义“光滑范畴”中的同胚，即 定义 1.2.1. （微分同胚） ♣ 若一个光滑映射 f : U → V 既是单射也是满射，并且 f −1 : V → U 也是一个光滑 映射，则称 f 为一个微分同胚. 根据定义，很容易得到 恒等映射 Id : U → U 是一个微分同胚。 如果 f : U → V 是一个微分同胚，那么 f −1 : V → U 也是微分同胚. 如果 f : U → V 和 g : V → W 均为微分同胚，那么 g ◦ f : U → W 也是微分同胚. 于是，微分同胚是欧氏开集之间的一个等价关系，微分同胚的开集具有完全相同的分析 性质。 1本书主要考虑 C ∞ 函数和 C ∞ 映射. 后文中大多数定义和定理都能拓展到 C k 的情况. 不过, C ω 映射的理 论会有较大的差异. 9
1.2光滑流形相容坐标卡下面考虑定义在流形上的函数的光滑性。按照数学分析中的经验，光滑性是一个局部性质，即函数在一点是否光滑仅与函数在该点附近的取值有关。设M是一个拓扑流形。因为M上任意一点的附近都有坐标卡（,U,V)，该坐标卡将M中的开集U与R"中的开集V等同起来，所以可以自然地将U上的函数f等同于V上的函数fo-I，然后由fo-1的光滑性去定义f自身的光滑性.这个想法虽然在大方向上是没错的，但有一个很大的问题：M上每一点附近都存在着许多不同的坐标卡，有可能会出现“在某给定点处，于关于一个坐标卡是光滑的，而关于另一个坐标卡是不光滑的”这种现象。这显然是不合理的：因为函数在一点处的光滑性应该是函数本身的性质，与特定坐标卡选取无关事实上，上述“不合理现象”并不少见，而是出现于所有拓扑流形。例如，例1.2.2.考虑M=R，并取U=R,V=R以及(c)=a3，则(,U,V)是一个坐标卡。但是在这个坐标卡下，甚至连多项式函数f(r)=r"（其中自然数n不是3的倍数）都不光滑，因为fo-1(a）=an/3在=0处不是光滑函数！当然，如果我们取的坐标映射是()=或者(a)=er（此时V=(0,+oo)，则多项式函数f(a)=rn在这样的坐标卡中依然是光滑的。解决这个问题的关键在于从思想上认识到“光滑性”并不是流形的拓扑结构自带的性质，而是额外附加在拓扑流形上的一个新的数学结构。实际解决办法也不复杂：因为同一点附近的坐标卡太多，其中很多坐标卡对于定义函数的光滑性而言会给出不一致的结论，所以为了定义函数的光滑性，要做的是去掉大部分坐标卡，仅保留那些能给出一致结果的坐标卡。具体而言，如果和都是同一点附近的坐标映射，我们希望映射fo-1和f-1同时是光滑或非光滑的.这相当于要求0-1是光滑的.（注：即使f-1和f0-1都是光滑的，我们仍然希望映射0-1是光滑的，因为在这个条件下，f-1和f-1的微分才能通过链式法则联系起来）在这种需求之下，我们定义定义1.2.3.（相容性与转移映射）设M是n维光滑流形，（a,Ua,Va）和（B,U,VB）是M上的两个坐标卡.如果UαnUB=の，或者当UαnUB≠0时，二者之间的转移映射PaB=Pβ OP : P(UanUp)→PB(UanUp)是微分同胚，则称这两个坐标卡是相容的%关于这个定义，需要指出的是：。因为（UnU）和（UnU）在Rn都是开集，所以定义中涉及的B的光滑性是熟悉的欧氏空间开集间映射的光滑性。相容性是相互的：若αβ是微分同胚，则Bα=（αβ）-1也是微分同胚10
1.2 光滑流形 ¶ 相容坐标卡 下面考虑定义在流形上的函数的光滑性。按照数学分析中的经验，光滑性是一个局 部性质，即函数在一点是否光滑仅与函数在该点附近的取值有关。设 M 是一个拓扑流 形。因为 M 上任意一点的附近都有坐标卡 (ϕ, U, V ), 该坐标卡将 M 中的开集 U 与 R n 中的开集 V 等同起来，所以可以自然地将 U 上的函数 f 等同于 V 上的函数 f ◦ϕ −1 , 然 后由 f ◦ ϕ −1 的光滑性去定义 f 自身的光滑性. 这个想法虽然在大方向上是没错的，但 有一个很大的问题：M 上每一点附近都存在着许多不同的坐标卡，有可能会出现“在某 给定点处，f 关于一个坐标卡是光滑的，而关于另一个坐标卡是不光滑的”这种现象。这 显然是不合理的，因为函数 f 在一点处的光滑性应该是函数本身的性质，与特定坐标卡 选取无关. 事实上，上述“不合理现象”并不少见，而是出现于所有拓扑流形。例如， 例 1.2.2. 考虑 M = R，并取 U = R, V = R 以及 ϕ(x) = x 3，则 (ϕ, U, V ) 是一个坐 标卡。但是在这个坐标卡下，甚至连多项式函数 f(x) = x n（其中自然数 n 不是 3 的倍 数）都不光滑，因为 f ◦ ϕ −1 (x) = x n/3 在 x = 0 处不是光滑函数！当然，如果我们取的 坐标映射 ϕ 是 ϕ(x) = x 或者 ϕ(x) = e x（此时 V = (0, +∞)，则多项式函数 f(x) = x n 在这样的坐标卡中依然是光滑的。 解决这个问题的关键在于从思想上认识到“光滑性”并不是流形的拓扑结构自带的 性质，而是额外附加在拓扑流形上的一个新的数学结构。实际解决办法也不复杂：因为 同一点附近的坐标卡太多，其中很多坐标卡对于定义函数的光滑性而言会给出不一致的 结论，所以为了定义函数的光滑性，要做的是去掉大部分坐标卡，仅保留那些能给出一 致结果的坐标卡。具体而言，如果 ϕ 和 ψ 都是同一点附近的坐标映射，我们希望映射 f ◦ ϕ −1 和 f ◦ ψ −1 同时是光滑或非光滑的. 这相当于要求 ϕ ◦ ψ −1 是光滑的. (注：即使 f ◦ φ −1 和 f ◦ ψ −1 都是光滑的, 我们仍然希望映射 φ ◦ ψ −1 是光滑的，因为在这个条件下，f ◦ φ −1 和 f ◦ ψ −1 的微分才能通过链式法则联系起来. ) 在这种需求之下，我们定义 定义 1.2.3. （相容性与转移映射） ♣ 设 M 是 n 维光滑流形, (ϕα, Uα, Vα) 和 (ϕβ, Uβ, Vβ) 是 M 上的两个坐标卡. 如果 Uα ∩ Uβ = ∅，或者当 Uα ∩ Uβ 6= ∅ 时，二者之间的转移映射 ϕαβ = ϕβ ◦ ϕ −1 α : ϕα(Uα ∩ Uβ) → ϕβ(Uα ∩ Uβ) 是微分同胚，则称这两个坐标卡是相容的. 关于这个定义，需要指出的是： 因为 ϕα(Uα ∩ Uβ) 和 ϕβ(Uα ∩ Uβ) 在 R n 都是开集, 所以定义中涉及的 ϕαβ 的光 滑性是熟悉的欧氏空间开集间映射的光滑性. 相容性是相互的：若 ϕαβ 是微分同胚，则 ϕβα = (ϕαβ) −1 也是微分同胚. 10
1.2光滑流形UaUpOBpa(Ua)p(Up)=邮o中YR图1.2:转移映射光滑流形的定义所谓的光滑结构，就是一组两两相容且覆盖整个流形的坐标卡：定义1.2.4.（图册及其等价性）(1）流形M上的一个光滑图册A指的是一族满足U。U&=M的坐标卡(Pα,U。，Va)，使得A中所有坐标卡都是彼此相容的(2）若M上的两个光滑图册A1，A2的并集依然是M上的光滑图册，则称这两个图册是等价的图册8例1.2.5.在R上定义三个图册，A=（pi,R,R)(1≤i≤3)，其中1()=, (2()=2, 2()=r3则A1,A2是等价的，但是A1,A3是不等价的，因为P31(μ)= (1 01() = 21/3不是R上的光滑函数显然，光滑图册之间的等价性是M上所有光滑图册集合上的一个等价关系。定义1.2.6.（光滑结构与光滑流形）拓扑流形M上光滑图册的等价类称为M上的一个光滑结构.赋予了光滑结构的n维拓扑流形被称为n维光滑流形因此一个光滑流形是一对（M.[AI)下文中，在不会引起混淆的情况下，我们总是省略[A]而直接说光滑流形M".注意根据这个定义，例1.2.2中所给出的坐标卡(r)=r3也给出了R上的一个光滑结构，只是它跟我们熟悉的R上标准的光滑结构不同。注1.2.7(1）并非每个拓扑流形都可以被赋予光滑结构．这方面的第一个例子是1960年由M.Kervaire所构造的一个十维紧拓扑流形.后来根据S.Donaldson以及M.Freedman等人关于四维流形的深刻结果，大家发现有很多单连通四维流形上没有光滑结构，(2）类似地可以定义n-维Ck流形的概念。虽然拓扑流形跟光滑流形有本质区别，但是对于k≥1，Ck跟光滑流形则并没有本质区别：Whitney证明了任意Ck(k≥1)流形上均存在唯一（在微分同胚意义下，见本节后面的定义1.2.27）的相容光滑结构，证明可参见[2]（第51页定理2.9)。11
1.2 光滑流形 图 1.2: 转移映射 ¶ 光滑流形的定义 所谓的光滑结构，就是一组两两相容且覆盖整个流形的坐标卡： 定义 1.2.4. （图册及其等价性） ♣ (1) 流形 M 上的一个光滑图册 A 指的是一族满足 S α Uα = M 的坐标卡 (ϕα, Uα, Vα), 使得 A 中所有坐标卡都是彼此相容的. (2) 若 M 上的两个光滑图册 A1, A2 的并集依然是 M 上的光滑图册，则称这两 个图册是 等价的图册. 例 1.2.5. 在 R 上定义三个图册，Ai = (ϕi , R, R) (1 ≤ i ≤ 3), 其中 ϕ1(x) = x, ϕ2(x) = 2x, ϕ2(x) = x 3 . 则 A1, A2 是等价的，但是 A1, A3 是不等价的，因为 ϕ31(x) = ϕ1 ◦ ϕ −1 3 (x) = x 1/3 不是 R 上的光滑函数. 显然，光滑图册之间的等价性是 M 上所有光滑图册集合上的一个等价关系。 定义 1.2.6. （光滑结构与光滑流形） ♣ 拓扑流形 M 上光滑图册的等价类称为 M 上的一个光滑结构. 赋予了光滑结构的 n 维拓扑流形被称为 n 维光滑流形. 因此一个光滑流形是一对 (M, [A]). 下文中，在不会引起混淆的情况下，我们总是省 略 [A] 而直接说“光滑流形 M”. 注意根据这个定义，例1.2.2中所给出的坐标卡 ϕ(x) = x 3 也给出了 R 上的一个光滑结构，只是它跟我们熟悉的 R 上标准的光滑结构不同。 注 1.2.7. (1) 并非每个拓扑流形都可以被赋予光滑结构. 这方面的第一个例子是 1960 年由 M. Kervaire 所构造的一个十维紧拓扑流形. 后来根据 S. Donaldson 以及 M. Freedman 等人关于四维流形的深刻结果，大家发现有很多单连通四维流形上没有光滑结构. (2) 类似地可以定义 n-维 C k 流形的概念。虽然拓扑流形跟光滑流形有本质区别，但是 对于 k ≥ 1，C k 跟光滑流形则并没有本质区别：Whitney 证明了任意 C k (k ≥ 1) 流形上均存在唯一 (在微分同胚意义下，见本节后面的定义1.2.27) 的相容光滑结构，证明 可参见 [2]（第 51 页定理 2.9）。 11
1.2光滑流形1.2.2光滑流形的例子不难证明（留作习题）。任意光滑流形的开子集依然是光滑流形，。两个光滑流形的乘积依然是光滑流形。下面给出一些具体的光滑流形。单坐标卡流形由定义立刻可以得到命题1.2.8.（单个坐标卡与光滑结构）若拓扑流形M可以被单独一个坐标卡覆盖，那么这个坐标卡自动地给出了M上的一个光滑结构4特别地，。Rn和Rn中的任意开集都是光滑流形。一般线性群GL(n,R）是一个光滑流形下面则是一类非常常见的例子：例1.2.9.（映射的图像).对于任意欧氏开集UCRm和U上的任意连续映射f：U一Rn，定义f的图像为T(f) = (a,y) / re U,y = f(r)) c Rm+n.赋予(f）由Rm+n的欧氏拓扑所诱导的子空间拓扑，则I(f）是Hausdorff和第二可数的.它还是局部欧氏的，因为它有一个整体的坐标卡（,T(f),U)，其中p:r(f)→U,(r,y)=r是投影到分量的映射：[是一个同胚，因为显然连续、可逆，并且其逆映射-1 +U →F(f)-1() =(r,f(r)是连续的1因此I（f）是一个㎡维拓扑流形.因为它可以被单独一个坐标卡覆盖，所以它事实上是光滑流形。注1.2.10．这个例子告诉我们任意连续函数f：UCRn→R的图像T(f）上存在一个内蕴的光滑结构，使之成为一个光滑流形然而，一般而言，如果于仅仅连续而不光滑，那么T(f）上的这个光滑结构有可能跟Rn+1上我们熟悉的光滑结构不一致，从而它不是Rn+1的光滑子流形(定义见后文)。12
1.2 光滑流形 1.2.2 光滑流形的例子 不难证明（留作习题） 任意光滑流形的开子集依然是光滑流形， 两个光滑流形的乘积依然是光滑流形。 下面给出一些具体的光滑流形。 ¶ 单坐标卡流形 由定义立刻可以得到 命题 1.2.8. （单个坐标卡与光滑结构） ♠ 若拓扑流形 M 可以被单独一个坐标卡覆盖，那么这个坐标卡自动地给出了 M 上 的一个光滑结构. 特别地， R n 和 R n 中的任意开集都是光滑流形. 一般线性群 GL(n, R) 是一个光滑流形. 下面则是一类非常常见的例子： 例 1.2.9. (映射的图像). 对于任意欧氏开集 U ⊂ R m 和 U 上的任意连续映射 f : U → R n , 定义 f 的图像为 Γ(f) = {(x, y) | x ∈ U, y = f(x)} ⊂ R m+n . 赋予 Γ(f) 由 R m+n 的欧氏拓扑所诱导的子空间拓扑, 则 Γ(f) 是 Hausdorff 和第二可数 的. 它还是局部欧氏的，因为它有一个整体的坐标卡 (ϕ, Γ(f), U), 其中 ϕ : Γ(f) → U, ϕ(x, y) = x 是投影到分量的映射. [φ 是一个同胚，因为 φ 显然连续、可逆，并且其逆映射 φ −1 : U → Γ(f), φ −1 (x) = (x, f(x)) 是连续的.] 因此 Γ(f) 是一个 m 维拓扑流形. 因为它可以被单独一个坐标卡覆盖，所以它 事实上是光滑流形。 注 1.2.10. 这个例子告诉我们 任意✿✿✿✿✿ 连续函数 f : U ⊂ R n → R 的图像 Γ(f) 上存在一个内蕴的光滑结构，使 之成为一个光滑流形 ✿✿✿✿ . 然而，一般而言，如果 f 仅仅连续而不光滑，那么 Γ(f) 上的这个光滑结构✿✿✿✿✿✿✿ 有可能跟 R n+1 上我们熟悉的光滑结构不一致，从而它不是 R n+1 的✿✿✿✿✿✿✿✿✿✿✿ 光滑子流形(定义见后文). 12
1.2光滑流形球面上的光滑结构例1.2.11．（球面).对于任意的n≥0,考虑Rn+1中的单位球面S" = ((rl,...,a",an+1) I (αl)?+...+(r")? +(an+1)=1)cRn+1在子空间拓扑下它是Hausdorff和第二可数的：为了证明它是局部欧氏的，可以考虑用两个开子集去覆盖Sn：U+= sn/[(0, ...,0, -1),U_ = Sn /(0, ..,0,1))然后通过球极投影定义两个坐标卡（+,U+,Rn）和（-,U_,R")1+( ) +( ).容易验证±是连续和可逆的，并且其逆映射1 )也是连续的.于是在集合-(U+nU-)=Rn/0)上,p-+(yl,..,y") =p+op-'(y,...,y")(+ (221+)6),.是Rn|[0]到自身的微分同胚.因此这两个坐标卡是相容的R"+1Utns"S图1.3:球极投影图1.4:用半球覆盖球面注1.2.12.也可以用2n+2个半球面（以及用对应的坐标投影给出的坐标卡）去覆盖Sn.具体来说，对于任意1≤i≤n+1，令Ut = ((rl,...,rn+l) E sn : r>0)为在第i个方向上的“上半球面"，并定义映射t：U+t→Bn(1)为投影映射pt(rl,,an+1) =(rl,..,ai-1,ai+1,an+1),其中Bn(1）是Rn中的单位开球体.可以验证每个（st,U+,Bn(1))都是坐标卡.类似地，可以在每个“下半球面”定义坐标卡（,U，B"(1)).[验证：上述通过半球面定义的Sn上的坐标卡是两两相容的.]13
1.2 光滑流形 ¶ 球面上的光滑结构 例 1.2.11. (球面). 对于任意的 n ≥ 0, 考虑 R n+1 中的单位球面 S n = {(x 1 , · · · , xn , xn+1) | (x 1 ) 2 + · · · + (x n ) 2 + (x n+1) 2 = 1} ⊂ R n+1 . 在子空间拓扑下它是 Hausdorff 和第二可数的. 为了证明它是局部欧氏的，可以考虑用 两个开子集去覆盖 S n： U+ = S n \ {(0, · · · , 0, −1)}, U− = S n \ {(0, · · · , 0, 1)} 然后通过球极投影定义两个坐标卡 (ϕ+, U+, R n ) 和 (ϕ−, U−, R n ), ϕ±(x 1 , · · · , xn , xn+1) = 1 1 ± x n+1 (x 1 , · · · , xn ). 容易验证 ϕ± 是连续和可逆的，并且其逆映射 ϕ −1 ± (y 1 , · · · , yn ) = 1 1 + (y 1) 2 + · · · + (y n) 2 2y 1 , · · · , 2y n , ±(1 − (y 1 ) 2 − · · · − (y n ) 2 ) 也是连续的. 于是在集合 ϕ−(U+ ∩ U−) = R n \ {0} 上， ϕ−+(y 1 , · · · , yn ) = ϕ+ ◦ ϕ −1 − (y 1 , · · · , yn ) = ϕ+ Å 1 1 + |y| 2 2y 1 , · · · , 2y n , −1 + |y| 2 ã = 1 |y| 2 (y 1 , · · · , yn ), 是 R n \ {0} 到自身的微分同胚. 因此这两个坐标卡是相容的. 图 1.3: 球极投影 图 1.4: 用半球覆盖球面 注 1.2.12. 也可以用 2n + 2 个半球面（以及用对应的坐标投影给出的坐标卡）去覆盖 S n . 具体来说，对于任意 1 ≤ i ≤ n + 1, 令 U + i = {(x 1 , · · · , xn+1) ∈ S n : x i > 0} 为在第 i 个方向上的“上半球面”，并定义映射 ϕ + i : U + i → Bn (1) 为投影映射 ϕ + i (x 1 , · · · , xn+1) = (x 1 , · · · , xi−1 , xi+1, xn+1), 其中 Bn (1) 是 R n 中的单位开球体. 可以验证每个 (ϕ + i , U + i , Bn (1)) 都是坐标卡. 类似 地，可以在每个“下半球面”定义坐标卡 (ϕ − i , U − i , Bn (1)). [验证：上述通过半球面定义 的 S n 上的坐标卡是两两相容的. ] 13