《微分流形》课程教学资源（英文讲义）第3章光滑向量场 3.3 向量场生成的动力系统.pdf

3.3向量场生成的动力系统。Φo=IdM,o Φt+s = t o Φs, Vt, s,。(pt)-1 = Φ-t换而言之，映射Φ: R→Diff(M), t→t是从实数加法群R到M的微分同胚群Diff(M）的一个群同态定义3.3.4.（单参数微分同胚群）若光滑映射重:R×M→M所诱导的映射t→Φt=d(t,)是一个从R到Diff(M）的群同态，则称映射族dt|tER】为M的一个单参数微分同胚子群.2因此流形上的任意完备向量场X都生成了一个单参数微分同胚子群，反之，若光滑映射Φ：R×M→M所诱导的映射族Φt=Φ(t，）是一个单参数微分同胚子群，则可以通过下面式子定义M上的向量场X，dXp:= dtlt=0Φt(p)=p(0)那么不难验证。Φ的光滑性蕴含着向量场X的光滑性。向量场X是完备的，因为p(t)：=Φ(t,p)是X的积分曲线。映射Φ是X生成的流向量场X被称为单参数微分同胚子群【ot}或者流Φ的无穷小生成元注3.3.5.更一般地，还可以考虑随着时间t变化的向量场Xt.此时不仅假设该向量场对于任意t而言都是M上的光滑向量场，而且假设它光滑依赖于参数t，即在局部坐标系中，Xt可以被表示为Xt = Xi(t, a)ai其中系数函数X(t,a）是t和的光滑函数.同样可以考虑X，的积分曲线，即满足(t) = Xt((t))的曲线。事实上，可以用“升维技巧”将这种依赖于时间的向量场转化为前面所熟悉的向量场：流形M上依赖于时间参数的向量场Xt给出了乘积流形R×M上的一个“常规”向量场X=(t,Xt(p)).通过这种方式，可以将“M上依赖于时间的向量场和它生成的流”视作“R×M上常规向量场或流”在M的投影.特别地，对于任意固定的8，从初值条件s)=p出发，有唯一的积分曲线s,p(t)（它表示的是时刻s时从p点出发，再过时间t后达到的位置）：为了简单起见，假设M是紧流形.那么Xt的这些积分曲线给出了一个光滑映射: R×R×M →M, (t,s,p) Hs.p(t),可以验证映射p→(p)=Φ(t,s,p)是可逆的，且其逆映射为+t.于是也都是光滑依赖于t（以及s）的微分同胚。不过对于固定的s，关于t变量不再满足群性质，而是满足略微更复杂的关系式d+1=i+t2.特别地，取8=0，则所得的单参数微分81

3.3 向量场生成的动力系统 φ0 = IdM, φt+s = φt ◦ φs, ∀t, s, (φt) −1 = φ−t . 换而言之，映射 φ : R → Diff(M), t 7→ φt 是从实数加法群 R 到 M 的微分同胚群 Diff(M) 的一个群同态. 定义 3.3.4. （单参数微分同胚群） ♣ 若光滑映射 Φ : R × M → M 所诱导的映射 t 7→ φt = Φ(t, ·) 是一个从 R 到 Diff(M) 的群同态，则称映射族 {φt | t ∈ R} 为 M 的一个单参数微分同胚子群. 因此流形上的任意完备向量场 X 都生成了一个单参数微分同胚子群. 反之，若光滑映射 Φ : R × M → M 所诱导的映射族 φt := Φ(t, ·) 是一个单参数微分同胚子群, 则可以通过下面式子定义 M 上的向量场 X， Xp := d dt t=0 φt(p)= ˙γp(0). 那么不难验证 Φ 的光滑性蕴含着向量场 X 的光滑性, 向量场 X 是完备的，因为 γp(t) := Φ(t, p) 是 X 的积分曲线, 映射 Φ 是 X 生成的流. 向量场 X 被称为单参数微分同胚子群 {φt} 或者流 Φ 的无穷小生成元. 注 3.3.5. 更一般地，还可以考虑随着时间 t 变化的向量场 Xt . 此时不仅假设该向量场对于任意 t 而言都是 M 上的光滑向量场，而且假设它光滑依赖于参数 t，即在局部坐标系中，Xt 可以被表示为 Xt = XXi (t, x)∂i , 其中系数函数 Xi (t, x) 是 t 和 x 的光滑函数. 同样可以考虑 Xt 的积分曲线，即满足 γ˙(t) = Xt(γ(t)) 的曲线。事实上，可以用“升维技巧”将这种依赖于时间的向量场转化为前面所熟悉的向量场：流形 M 上依赖于时间参数的向量场 Xt 给出了乘积流形 R × M 上的一个“常规”向量场 X ‹ = (∂t , Xt(p)). 通过这种方式，可以将“M 上依赖于时间的向量场和它生成的流”视作“R × M 上常规向量场或流”在 M 的投影. 特别地，对于任意固定的 s，从初值条件 γ(s) = p 出发，有唯一的积分曲线 γs,p(t)（它表示的是时刻 s 时从 p 点出发，✿✿✿✿✿ 再过时间 t 后达到的位置）. 为了简单起见，假设 M 是紧流形. 那么 Xt 的这些积分曲线给出了一个光滑映射 Φ : R × R × M → M, (t, s, p) 7→ γs,p(t), 可以验证映射 p 7→ φ s t (p) = Φ(t, s, p) 是可逆的，且其逆映射为 φ s+t −t . 于是 φ s t 也都是光滑依赖于 t(以及 s) 的微分同胚。不过对于固定的 s，φ s t 关于 t 变量不再满足群性质，而是满足略微更复杂的关系式 φ s+t1 t2 φ s t1 = φ s t1+t2 . 特别地，取 s = 0，则所得的单参数微分 81

3.3向量场生成的动力系统同胚族t：=oo不再是微分同胚群的子群，不过它依然满足o=Id以及d(p) = X((p), Vt.映射族（t有时候也被称作由依赖于时间的向量场Xt所生成的依赖于时间的流反之，任给X上的一族满足po=Id的微分同胚Pt：M→M，若它光滑依赖于t，即由所有pt合在一起所得的映射P: (-8,e)× M →M, P(t,p) := pt(p),是光滑映射，则可以在M上定义一个依赖于时间t的向量场Xt如下：Xt(p) := t.p(0)= (dntp)o(s)ETM,其中t,p(s)：=pt+s(pt1(p)).可以证明，{pt)正是它生成的依赖于时间的流在Morse理论中的应用特定的向量场生成的流是研究几何时非常有用的工具。常见的有黎曼几何中由函数的梯度向量场生成的梯度流、辛几何中由Hamilton向量场生成的Hamilton流等等。下面给出一个例子：运用梯度向量场证明Morse理论2中的一个基本定理。设M为光滑流形，f是M上的光滑实值函数.对于任意aER，考虑次水平集M° = f-1((-0,a))下面这个定理表明M的拓扑是由它在f的临界点附近的性态决定的：定理3.3.6.（正则区间形变定理）对于 a<b,假设 f-l([a,b]) 是紧集，并且每个 cE[a,b] 是的正则值,则存在微分同胚5：M-→M使得P(Ma）=MbD证明将M嵌入欧氏空间（或者任意赋予M一个黎受度量《,))，从而在每个切空间TpM上都给出一个内积.按照以下方式定义M上的向量场√f（称为了关于该度量的梯度向量场)，(Vf,Xp) = dfp(Xp)=Xp(f), VXpETpM.因为f的临界点集合是闭集，可以找到一个不含临界点的开集U使得f-1([a,b)CU因为f-1([a，bl)是紧集，可取紧支光滑鼓包函数h，使得supp(h)CU,并且在f-1([a,b])上有h=1.因为在U中有f≠0,所以在U中有√f≠0,从而hX:=V是流形M上良好定义的紧支光滑向量场：令t为X生成的流.那么f的拉回函数f关于t的导数为（拉回的定义见命题1.2.22之后）ddtf(p) == f(pi(p) = dfo()(Xp:(0) = h(p(p),2Morse理论是微分拓扑的一个子分支，可以通过流形上的可微函数研究流形的拓扑，例如给出流形上的CW结构和环柄分解，并得到同调群的信息等，82

3.3 向量场生成的动力系统同胚族 φt := φ 0 t 不再是微分同胚群的子群，不过它依然满足 φ0 = Id 以及 d dtφt(p) = Xt(φt(p)), ∀t. 映射族 {φt} 有时候也被称作由依赖于时间的向量场 Xt 所生成的依赖于时间的流. 反之，任给 X 上的一族满足 ρ0 = Id 的微分同胚 ρt : M → M，若它光滑依赖于 t，即由所有 ρt 合在一起所得的映射 P : (−ε, ε) × M → M, P(t, p) := ρt(p), 是光滑映射，则可以在 M 上定义一个依赖于时间 t 的向量场 Xt 如下： Xt(p) := ˙γt,p(0)= (dγt,p)0( d ds) ∈ TpM, 其中 γt,p(s) := ρt+s(ρ −1 t (p)). 可以证明，{ρt} 正是它生成的依赖于时间的流. ¶ 在 Morse 理论中的应用特定的向量场生成的流是研究几何时非常有用的工具。常见的有黎曼几何中由函数的梯度向量场生成的梯度流、辛几何中由 Hamilton 向量场生成的 Hamilton 流等等。下面给出一个例子：运用梯度向量场证明 Morse 理论2中的一个基本定理。设 M 为光滑流形，f 是 M 上的光滑实值函数. 对于任意 a ∈ R, 考虑次水平集 Ma = f −1 (−∞, a) . 下面这个定理表明 M 的拓扑是由它在 f 的临界点附近的性态决定的：定理 3.3.6. （正则区间形变定理） ♥ 对于 a < b，假设 f −1 ([a, b]) 是紧集，并且每个 c ∈ [a, b] 是 f 的正则值，则存在微分同胚 ϕ : M → M 使得 ϕ(Ma ) = Mb . 证明将 M 嵌入欧氏空间 (或者任意赋予 M 一个黎曼度量 ⟨·, ·⟩)，从而在每个切空间 TpM 上都给出一个内积. 按照以下方式定义 M 上的向量场 ∇f(称为 f 关于该度量的梯度向量场)， h∇f, Xpi = dfp(Xp)= Xp(f), ∀Xp ∈ TpM. 因为 f 的临界点集合是闭集, 可以找到一个不含临界点的开集 U 使得 f −1 ([a, b]) ⊂ U. 因为 f −1 ([a, b]) 是紧集，可取紧支光滑鼓包函数 h，使得 supp(h) ⊂ U, 并且在f −1 ([a, b])上有h = 1. 因为在 U 中有 df 6= 0, 所以在 U 中有 ∇f 6= 0, 从而 X := h h∇f, ∇fi ∇f 是流形 M 上良好定义的紧支光滑向量场. 令 ϕt 为 X 生成的流. 那么 f 的拉回函数 ϕ ∗ t f 关于 t 的导数为 (拉回的定义见命题1.2.22之后) d dtϕ ∗ t f(p) = d dtf(ϕt(p)) = dfφt(p) (Xφt(p) ) = h(ϕt(p)). 2Morse 理论是微分拓扑的一个子分支，可以通过流形上的可微函数研究流形的拓扑，例如给出流形上的 CW 结构和环柄分解，并得到同调群的信息等. 82

3.3向量场生成的动力系统于是只要pt(p)Ef-1([a,b])，就有df(ot(p)) = 1.dt换而言之，当f(pt(p))E[a,b]时有f(pt(p))=t+C。由此可知微分同胚Pb-α恰好把口Ma映为Mb作为推论，可以证明下述非常有用的（留作习题）定理3.3.7.（Reeb定理）令M为n维紧流形.假设存在光滑实值函数fECoo(M）使得f恰好有两个临界点，且它们都是非退化的，那么M同胚于SnO注3.3.8.(1)然而M未必微分同胚于Sn。(2）定理中临界点的“非退化”条件可以去掉。3.3.2Lie导数函数沿着向量场的Lie导数若X是完备向量场，则它生成一族微分同胚Φt：M→M.从动力系统3的角度，可以视dt为系统M在时间t时刻的演化行为。于是对于任意光滑函数fECoo(M)(可以视为是对系统的一个“观测”，例如对于一个单质点体系，当M是它的所有可能状态所组成的相空间时，f可以是该质点的位置或者动量或者别的观测量)，一个自然的间题计算“函数f沿着该流的导数”(即观察量在系统演化下的变化率)，即所谓的Lie导数Cxf.事实上，Lie导数可以对于任意光滑向量场X定义。回忆一下对于任意pEM，存在p的邻域Up以及tp>0使得对于[l<tp以及任意qEUp，(t,q)=pt(g)=(t)对于（t,q）E（-tp,tp）×Up有定义且光滑。于是虽然一般而言t未必是M上整体定义的映射，但对于任意p，它在p的邻域U，中对于任意tE（-tp,tp）都是光滑的，且po(p）=p.于是类似于微积分，可以用如下公式定义该变化率：定义3.3.9.（函数关于向量场的Lie导数）设X是M上的光滑向量场，重为其生成的局部流，则称limf-faCx(f) :=fdtlt=0为 f E Co(M) 关于 X E T(TM) 的 Lie 导数。事实上，函数关于向量场X的Lie导数就是我们熟悉的“X作为导子在C(M)上的作用”，即3在数学上，一个动力系统指的是一个三元组(T,X，Φ)，其中X是一个用于表征系统所有可能状态的集合，T是一个用于表示时间或演化参数的么半群，而重：T×X一→X是一个描述系统演化行为的函数，满足Φ(0,)=以及Φ(t2,Φ(t1,r))=Φ(t2+t1,r).于是，给定光滑流形上的完备向量场X，就得到一个动力系统(R,M,雪).83

3.3 向量场生成的动力系统于是只要 ϕt(p) ∈ f −1 ([a, b])，就有 d dtf(ϕt(p)) = 1. 换而言之，当 f(ϕt(p)) ∈ [a, b] 时有 f(ϕt(p)) = t + c。由此可知微分同胚 ϕb−a 恰好把 Ma 映为 Mb . □ 作为推论，可以证明下述非常有用的(留作习题) 定理 3.3.7. （Reeb 定理） ♥ 令 M 为 n 维紧流形. 假设存在光滑实值函数 f ∈ C∞(M) 使得 f 恰好有两个临界点, 且它们都是非退化的, 那么 M 同胚于 S n . 注 3.3.8. (1) 然而 M 未必微分同胚于 S n。 (2) 定理中临界点的“非退化”条件可以去掉。 3.3.2 Lie 导数 ¶ 函数沿着向量场的 Lie 导数若 X 是完备向量场, 则它生成一族微分同胚 φt : M → M. 从动力系统3 的角度，可以视 φt 为系统 M 在时间 t 时刻的演化行为。于是对于任意光滑函数 f ∈ C∞(M)(可以视为是对系统的一个“观测”，例如对于一个单质点体系，当 M 是它的所有可能状态所组成的相空间时，f 可以是该质点的位置或者动量或者别的观测量)，一个自然的问题计算“函数 f 沿着该流的导数” (即观察量在系统演化下的变化率)，即所谓的 Lie 导数 LXf. 事实上，Lie 导数可以对于任意光滑向量场 X 定义。回忆一下对于任意 p ∈ M，存在 p 的邻域 Up 以及 tp > 0 使得对于 |t| < tp 以及任意 q ∈ Up，Φ(t, q) = φt(q) = γq(t) 对于 (t, q) ∈ (−tp, tp) × Up 有定义且光滑。于是虽然一般而言 φt 未必是 M 上整体定义的映射，但对于任意 p，它在 p 的邻域 Up 中对于任意 t ∈ (−tp, tp) 都是光滑的，且 φ0(p) = p. 于是类似于微积分，可以用如下公式定义该变化率：定义 3.3.9. （函数关于向量场的 Lie 导数） ♣ 设 X 是 M 上的光滑向量场，Φ 为其生成的局部流，则称 LX(f) := d dt t=0 φ ∗ t f Å = lim t→0 φ ∗ t f − f t ã . 为 f ∈ C∞(M) 关于 X ∈ Γ∞(TM) 的 Lie 导数。事实上，函数关于向量场 X 的 Lie 导数就是我们熟悉的“X 作为导子在 C∞(M) 上的作用”，即 3在数学上，一个动力系统指的是一个三元组 (T, X, Φ)，其中 X 是一个用于表征系统所有可能状态的集合， T 是一个用于表示时间或演化参数的幺半群，而 Φ : T × X → X 是一个描述系统演化行为的函数，满足 Φ(0, x) = x 以及 Φ(t2, Φ(t1, x)) = Φ(t2 + t1, x). 于是，给定光滑流形上的完备向量场 X，就得到一个动力系统 (R, M, Φ). 83

3.3 向量场生成的动力系统命题 3.3.10. （函数 Lie 导数的计算） ♠ 对于任意光滑向量场 X ∈ Γ∞(TM) 以及光滑函数 f ∈ C∞(M)，有 LXf = X(f). 证明设 γp(t) 为 X 的满足 γp(0) = p 的积分曲线, 则当 t 充分小时， φ ∗ t f(p) = f(φt(p)) = f(γp(t)). 故 d dt t=0 φ ∗ t f(p) = d dt t=0 f(γp(t)) = d(f ◦γp)( d dt t=0 ) = dfp ◦(dγp)0( d dt t=0 ) = dfp(Xp) = Xf(p). □ ¶ 一个向量场沿着另一个向量场的 Lie 导数函数的 Lie 导数 LXf 衡量了“f 沿着 X 方向的变化率”. 还可以更进一步，对于任意光滑向量场 Y ∈ Γ∞(TM)，研究“Y 沿着 X 方向的变化率”. 为此，可以通过外蕴的方式，将 M 嵌入到某个欧氏空间中，然后考察 Y 的“坐标分量”的变化率. 以下采取一种内蕴的方式. 朴素的想法是计算极限“limt→0 Yϕt (p)−Yp t ”, 其中 φt 是 X 生成的流. 不幸的是 Yϕ(p) 不是在 p 处的切向量，从而表达式“Yϕt(p) − Yp”根本上是无意义的. 为了修正这个问题，需要将 φt(p) 处的切向量 Yϕt(p) 用映射 φ−t“推出为”p 处的切向量 (dφ−t)ϕt(p)Yϕt(p) ∈ TpM, 然后再用差商的极限去定义“Y ∈ Γ∞(TM) 沿着 X ∈ Γ∞(TM) 的变化率”：定义 3.3.11. （向量场关于向量场的 Lie 导数） ♣ 定义向量场 Y ∈ Γ∞(TM) 沿着向量场 X ∈ Γ∞(TM) 的 Lie 导数为 LX(Y ) := d dt t=0 (dφ−t)ϕt(p)Yϕt(p) = lim t→0 (dφ−t)ϕt(p)Yϕt(p) − Yp t . 这个定义看起来非常复杂。但事实上 LXY 依然是熟悉的运算：定理 3.3.12. （向量场 Lie 导数的计算） ♥ 设 X, Y ∈ Γ∞(TM)，则 LX(Y ) = [X, Y ]. 证明对于 p 附近定义的任意光滑函数 f，有 (dφ−t)ϕt(p)Yϕt(p)f = Yϕt(p) (f ◦ φ−t) = Y (f ◦ φ−t)(φt(p)) = φ ∗ t Y (f ◦ φ−t) = φ ∗ t Y φ∗ −t (f). 由此可知 d dt t=0 (dφ−t)ϕt(p)Yϕt(p)f = d dt t=0 φ ∗ t Y φ∗ −t f = d dt t=0 φ ∗ t Y f + d dt t=0 Y φ∗ −t f = XY f − Y Xf. 这正是欲证的。 □ 84

《微分流形》课程教学资源（英文讲义）第3章 光滑向量场 3.3 向量场生成的动力系统

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