《微分流形》课程教学资源（英文讲义）第2章光滑映射的微分及其应用 2.4 光滑子流形.pdf

2.4 光滑子流形 2.4 光滑子流形本节考虑光滑流形范畴里对象的“子对象”—光滑子流形—的定义与性质。特别地，将要考虑何时光滑映射的像或原像是相应流形里的光滑子流形。 2.4.1 光滑子流形 ¶ 光滑子流形：定义与例子令 M 为 n 维光滑流形. 什么样的对象能被称作 M 的一个“光滑子流形”? 回顾一下别的范畴（例如向量空间范畴、群范畴、拓扑空间范畴等）里“子对象”的定义方式，不难发现光滑流形 M 的光滑子流形 S 应该满足以下三个条件: S 是 M 的子集; S 自身是一个 k ≤ n 维光滑流形; S 的拓扑/光滑结构和 M 的拓扑/光滑结构应该相容. 最后一个条件，即相容性，可以具体地描述为：S 上的光滑结构应该是 M 上的光滑结构在 S 上的“限制”. 于是，如下的定义是自然的：定义 2.4.1. （光滑子流形） ♣ 设 M 是 n 维光滑流形，S ⊂ M. 若对于任意 p ∈ S, 存在 M 上 p 附近的(与 M 本身光滑结构相容的)坐标卡 (ϕ, U, V )，使得 ϕ(U ∩ S) = V ∩ (R k × {0}) = {x ∈ ϕ(U) | x k+1 = · · · = x n = 0}. 则称 S 是 M 的 k 维光滑子流形，并称 codim(S) = n − k 为 S 的余维数. 粗略地讲，光滑子流形是局部上(即在一个局部坐标系中)由方程 ϕk+1 = · · · = ϕn = 0 所定义的子集. 注意 ϕk+1, · · · , ϕn 都是 U 上的光滑函数, 因为 ϕ 是微分同胚. 图 2.1: 光滑子流形下面给出光滑子流形的一些例子。例 2.4.2. 令 M, N 为光滑流形，f : M → N 是光滑映射. 那么 f 的图像 Γf = {(p, q) | q = f(p)} ⊂ M × N 是 M × N 的光滑子流形. 为了说明这一点，选取 M 在 p 附近的坐标卡 (ϕ, U, V ) 和 N 在 q = f(p) 附近的坐标卡 (ψ, X, Y ). 那么(参见习题 1) (ϕ×ψ, U × X, V ×Y ) 是 M × N 在 (p, q) 附近的坐标卡. 但是这个坐标卡对于证明 Γf 是光滑子流形而言并不方便. 为了得到一个适用的坐标卡，将 q = f(p) 写作 ψ −1 (y) = f(ϕ −1 (x)), 即 y = ψ(f(ϕ −1 (x))). 45

2.4光滑子流形考虑光滑映射:VxY-→RmxRn,(a,b)- (a,b-wofop-(a))易见亚是单射并且处处是局部微分同胚，因此是一个从V×Y到它的像集亚(V×Y）的整体微分同胚.注意到亚(V×Y）是欧氏空间中的开集，故（亚o(β×),U×X,亚(V×Y))也是M×N在（p,）附近的一个局部坐标卡.此外，对于这个局部坐标卡，(p,q) Efn(U × X) (q) =(f(-((p)) → ((p), (g)) = ((p), 0)因此t是M×N的光滑子流形.注2.4.3.根据例1.2.9，对于任意连续函数f：UCRn→R，在图像Tf上存在一个光滑结构使之成为一个n维光滑流形.然而一般而言，若f不光滑，I不是Rn+1的一个光滑子流形（读者不妨思考一下：对于连续映射了重复例2.4.2中的证明，哪一步会出现问题？）不过，确实存在不光滑的函数f，其图像f仍然是一个光滑子流形．例如考虑函数f(a)=r1/3则f不光滑。但是y=f(r）的图像和光滑函数a=3的图像是相同的，从而是R2的光滑子流形！例2.4.4.球面Sn是Rn+1的光滑子流形，因为在任意pESn附近，在选取适的自变量和因变量后，“球面小片”跟某个光滑函数的图像一致。光滑子流形上的诱导光滑结构在上述光滑子流形的定义中，并未特别讲清楚作为光滑流形，S上的拓扑与光滑结构是什么，拓扑结构很简单，只要取S作为M的子集时的子空间拓扑即可。换而言之，S上的拓扑结构是使得包含映射L：S→t(S)CM是一个同胚。至于光滑结构，需要构造S上的自然的坐标卡。为此，设n≥k并记T: Rn →Rt, (rl,,a")H(rl,,ah)J:Rk-Rn,(al,,rh)H(rl,..,ak,0,...,0)此时有命题2.4.5.（光滑子流形的光滑结构）设S是M的光滑子流形，赋予从M继承的子空间拓扑。(1)对于M上满足定义2.4.1的一个坐标卡(p,U,V)，令X=UnS,Y=Top(X),b=olx则（,X,Y)是S上的坐标卡。(2）所有这样形式的坐标卡是彼此相容的：从而给出了S的一个光滑结构(3）对于上述光滑结构，包含映射1：S→M是光滑浸入，.证明由定义，是连续可逆的，并且逆映射-1=-11也连续，因此（,X,Y）是S上的一个坐标卡。这种形式的坐标卡是彼此相容的，因为转移映射==46

2.4 光滑子流形考虑光滑映射 Ψ : V × Y → R m × R n , (a, b) 7→ (a, b − ψ ◦ f ◦ ϕ −1 (a)). 易见 Ψ 是单射并且处处是局部微分同胚，因此是一个从 V ×Y 到它的像集 Ψ(V ×Y ) 的整体微分同胚. 注意到 Ψ(V ×Y ) 是欧氏空间中的开集，故 (Ψ◦(ϕ×ψ), U ×X, Ψ(V ×Y )) 也是 M × N 在 (p, q) 附近的一个局部坐标卡. 此外，对于这个局部坐标卡, (p, q) ∈ Γf ∩ (U × X) =⇒ ψ(q) = ψ(f(ϕ −1 (ϕ(p)))) =⇒ Ψ(ϕ(p), ψ(q)) = (ϕ(p), 0), 因此 Γf 是 M × N 的光滑子流形. 注 2.4.3. 根据例1.2.9，对于任意连续函数 f : U ⊂ R n → R, 在图像 Γf 上存在一个光滑结构使之成为一个 n 维光滑流形. 然而一般而言，若 f 不光滑，Γf 不是 R n+1 的一个光滑子流形.(读者不妨思考一下：对于连续映射 f 重复例2.4.2中的证明，哪一步会出现问题?) 不过，确实存在不光滑的函数 f, 其图像 Γf 仍然是一个光滑子流形. 例如考虑函数 f(x) = x 1/3 , 则 f 不光滑。但是 y = f(x) 的图像和光滑函数 x = y 3 的图像是相同的, 从而是 R 2 的光滑子流形! 例 2.4.4. 球面 S n 是 R n+1 的光滑子流形，因为在任意 p ∈ S n 附近，在选取适的自变量和因变量后，“球面小片”跟某个光滑函数的图像一致。 ¶ 光滑子流形上的诱导光滑结构在上述光滑子流形的定义中，并未特别讲清楚作为光滑流形，S 上的拓扑与光滑结构是什么. 拓扑结构很简单，只要取 S 作为 M 的子集时的子空间拓扑即可。换而言之， S 上的拓扑结构是使得包含映射 ι : S → ι(S) ⊂ M 是一个同胚。至于光滑结构，需要构造 S 上的自然的坐标卡。为此，设 n ≥ k 并记 π : R n → R k , (x 1 , · · · , xn ) 7→ (x 1 , · · · , xk )  : R k ,→ R n , (x 1 , · · · , xk ) 7→ (x 1 , · · · , xk , 0, · · · , 0). 此时有命题 2.4.5. （光滑子流形的光滑结构） ♠ 设 S 是 M 的光滑子流形，赋予从 M 继承的子空间拓扑。 (1) 对于 M 上满足定义2.4.1的一个坐标卡 (ϕ, U, V )，令 X = U ∩ S, Y = π ◦ ϕ(X), ψ = π ◦ ϕ|X. 则 (ψ, X, Y ) 是 S 上的坐标卡。 (2) 所有这样形式的坐标卡是彼此相容的，从而给出了 S 的一个光滑结构. (3) 对于上述光滑结构，包含映射 ι : S ,→ M 是光滑浸入. 证明由定义, ψ 是连续可逆的，并且逆映射 ψ −1 = ϕ −1 ◦  也连续. 因此 (ψ, X, Y ) 是 S 上的一个坐标卡. 这种形式的坐标卡是彼此相容的，因为转移映射 ψβ ◦ ψ −1 α = π ◦ ϕβ ◦ ϕ −1 α ◦  = π ◦ ϕα,β ◦ , 46

2.4 光滑子流形都是光滑的. 最后，相对于由这些坐标卡所定义的光滑结构，由 ϕ ◦ ι ◦ ψ −1 =  可知包含映射 ι : S ,→ M 是光滑浸入。 □ ¶ 光滑子流形的切空间令 S ⊂ M 为光滑子流形，p ∈ S，ι : S ,→ M 为包含映射, 则 dιp : TpS → TpM 是单射. 于是在每一点 p ∈ S，可以将任意 TpS 中的向量 Xp 与 TpM 中的向量 X ‹ p = dιp(Xp) 等同起来：对于任意 f ∈ C∞(M), X ‹ p(f) = (dιp(Xp))f = Xp(f ◦ ι) = Xp(f|S). 通过这种方式，可以视 TpS 为 TpM 的线性子空间 dιp(TpS). 一个自然的问题是：TpM 中哪些向量能被视作 TpS 中的向量? 定理 2.4.6. （光滑子流形切空间的刻画） ♥ 设 S ⊂ M 是光滑子流形，p ∈ S. 那么 TpS = {Xp ∈ TpM | 对于任意满足f|S = 0的函数f ∈ C ∞(M), 总有Xp(f) = 0}. 证明如果 Xp ∈ TpS, 那么对于满足 f|S = 0 的 f ∈ C∞(M)，有 X ‹ p(f) = Xp(f|S) = 0. 反之，取 M 的一个坐标卡 (ϕ, U, V )，使得在 p 附近，S 由 x k+1 = · · · = x n = 0 给出. 那么 TpM 由 ∂1, · · · , ∂n 张成, 而 TpS 是由 ∂1, · · · , ∂k 张成的子空间. 换句话说， TpM 中的向量 Xp = PXi∂i 落在 TpS 中当且仅当对于 i > k 有 Xi = 0. 现设 Xp ∈ TpM 满足“对于所有在 S 上取值为 0 的 f，都有 Xp(f) = 0”, 下证 Xp ∈ TpS. 取“紧支在 U 中并且在 p 的一个邻域内取值恒为 1”的光滑鼓包函数 h. 对于任意 j > k，考虑函数 fj (x) = h(x)x j (ϕ(x))(通过零扩张将它延拓到 M \U 上). 则 fj |S = 0. 于是对于任意 j > k 0 = Xp(fj ) = XXi ∂(h(ϕ −1 (x))x j ) ∂xi (ϕ(p)) = Xj , 由此可得 Xp ∈ TpS. □ 2.4.2 作为原像和像集的光滑子流形在向量空间范畴或者群范畴等范畴里，不难发现“对象之间的态射”的像与原像都自然是相应对象的子对象。然而，对于光滑流形之间的光滑映射 f : M → N，很容易找到例子说明 f(M) 不必是 N 的光滑子流形，以及 f −1 (q) 不必是 M 的光滑子流形。 ¶ 作为水平集的光滑子流形先考虑光滑映射的水平集。例 2.4.7. 考虑映射 f : R 2 → R, (x, y) 7→ x 2 − y 2 . 47

2.4光滑子流形显然，当t≠0是f-1(t)都是R2的光滑子流形，但f-1(O)是两条相交的直线，连流形都不是。仔细探究一下，不难发现原因：由于df(z.u)=(2a,2y)，故。若t≠0，那么对于任意pEf-1(t)，dfp≠(0,0)，从而由隐函数定理，f-1(t)在p附近是光滑子流形；。在P=(0,0)Ef-1(O)处dfp=(00)，故无法使用隐函数定理。用上一节的语言来说，就是正则点处可以使用隐函数定理，故正则值（即t≠0）的原像具有好的结构，而临界点则无法使用隐函数定理，故临界值的原像可能具有比较差的结构。这个例子揭示的了一个一般规律，即光滑映射正则值的原像一定是光滑子流形：定理2.4.8.（正则水平集定理）设f：M→N是一个光滑映射，而qEN是f的正则值.则f-1(q)是M的维数为dimM-dimN的光滑子流形.此外，对于任意pEf-1(g)Tpf-1(q) = ker(dfp : TpM → TqN).0特别地，结合Sard定理可知推论2.4.9.（很多光滑子流形）对于任意光滑映射f：M→N只要f（M）在N中不是零测集，那么对几乎所有qEf(M)，其原像f-1(q）都是M的光滑子流形8事实上，还可以进一步发展例2.4.7：例2.4.10.考虑映射g : R2 →R2, (g,9) -→(22 - 92,0)显然依然有：9-1(0,0))不是R2的光滑子流形，但对任意t≠0，9-1((t,0))是R2的光滑子流形。但此时9的像集是R2中的零测集，9不再有正则点，且g的正则值都不是像点，于是无法应用正则水平集定理。那么对于这个例子，（t,0）与（0,0)的差别在哪儿呢？不难发现：在任意pE9-1（(t,O)）（其中t≠0）附近，9都是常秩映射，而在(0.0)E9-1((0.0))附近则不然！下面证明“常秩光滑映射的原像是光滑子流形”这个非常一般的定理，注意上述正则水平集定理只是它的特例：定理2.4.11.（常秩水平集定理）设M,N是光滑流形，f：M→N是光滑映射，qEN。如果f在f-1(q)的某个邻域内是秩恒为r的常秩映射，那么水平集f-1（q）是M的余维数为r的光滑子流形，且对于任意pEf-(q)T,f-1(q) = ker(dfp : T,M → T,N)?证明令pES：=f-1(g).根据常秩定理（即定理2.2.14)，存在以p为中心的坐标卡(,U,V)和以q为中心的坐标卡(,X,Y)，使得f(U)CX,并且bofop-l(rl,.,am)=(al,,rr,0,..,o)48

2.4 光滑子流形显然，当 t 6= 0 是 f −1 (t) 都是 R 2 的光滑子流形，但 f −1 (0) 是两条相交的直线，连流形都不是。仔细探究一下，不难发现原因：由于 df(x,y) = (2x, 2y)，故若 t 6= 0，那么对于任意 p ∈ f −1 (t)，dfp 6= (0, 0)，从而由隐函数定理，f −1 (t) 在 p 附近是光滑子流形；在 p = (0, 0) ∈ f −1 (0) 处 dfp = (0, 0)，故无法使用隐函数定理。用上一节的语言来说，就是正则点处可以使用隐函数定理，故正则值 (即 t ̸= 0) 的原像具有好的结构，而临界点则无法使用隐函数定理，故临界值的原像可能具有比较差的结构。这个例子揭示的了一个一般规律，即光滑映射正则值的原像一定是光滑子流形：定理 2.4.8. （正则水平集定理） ♥ 设 f : M → N 是一个光滑映射，而 q ∈ N 是 f 的正则值. 则 f −1 (q) 是 M 的维数为 dim M − dim N 的光滑子流形. 此外，对于任意 p ∈ f −1 (q), Tpf −1 (q) = ker(dfp : TpM → TqN). 特别地，结合 Sard 定理可知推论 2.4.9. （很多光滑子流形） ♥ 对于任意光滑映射 f : M → N, 只要 f(M) 在 N 中不是零测集, 那么对几乎所有 q ∈ f(M), 其原像 f −1 (q) 都是 M 的光滑子流形. 事实上，还可以进一步发展例2.4.7：例 2.4.10. 考虑映射 g : R 2 → R 2 , (x, y) 7→ (x 2 − y 2 , 0). 显然依然有：g −1 ((0, 0)) 不是 R 2 的光滑子流形，但对任意 t 6= 0，g −1 ((t, 0)) 是 R 2 的光滑子流形。但此时 g 的像集是 R 2 中的零测集，g 不再有正则点，且 g 的正则值都不是像点，于是无法应用正则水平集定理。那么对于这个例子，(t, 0) 与 (0, 0) 的差别在哪儿呢？不难发现：在任意 p ∈ g −1 ((t, 0))（其中 t 6= 0）附近，g 都是常秩映射，而在 (0, 0) ∈ g −1 ((0, 0)) 附近则不然！下面证明“常秩光滑映射的原像是光滑子流形”这个非常一般的定理，注意上述正则水平集定理只是它的特例：定理 2.4.11. （常秩水平集定理） ♥ 设 M, N 是光滑流形，f : M → N 是光滑映射，q ∈ N。如果 f 在 f −1 (q) 的某个邻域内是秩恒为 r 的常秩映射，那么水平集 f −1 (q) 是 M 的余维数为 r 的光滑子流形，且对于任意 p ∈ f −1 (q), Tpf −1 (q) = ker(dfp : TpM → TqN). 证明令 p ∈ S := f −1 (q). 根据常秩定理（即定理2.2.14），存在以 p 为中心的坐标卡 (ϕ, U, V ) 和以 q 为中心的坐标卡 (ψ, X, Y )，使得 f(U) ⊂ X, 并且 ψ ◦ f ◦ ϕ −1 (x 1 , · · · , xm) = (x 1 , · · · , xr , 0, · · · , 0). 48

《微分流形》课程教学资源（英文讲义）第2章 光滑映射的微分及其应用 2.4 光滑子流形

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