3.2光滑向量场的积分曲线3.2光滑向量场的积分曲线3.2.1积分曲线积分曲线在微积分和常微分方程中学过，在欧氏区域上给定一个光滑向量场，就可以过每点得到一条积分曲线。根据定义，积分曲线是一条参数化曲线，表达了由向量场所给出的常微分方程的解．从几何上看，该参数曲线每点处的切向量恰好是给定的向量场在这一点处的向量，下面是一个绘制了许多积分曲线的向量场的例子：NA积分曲线的概念可以轻易地被推广到光滑流形定义3.2.1（积分曲线）令XEF（TM）为M上的光滑向量场：若光滑曲线：I→M满足(t) =Xy(t), Vtel,则称为X的积分曲线若0EI且(O)=p，则称是X的从点P出发的积分典线。下面给出几个简单积分曲线的例子：例3.2.2．考虑R"上的坐标向量场X=最.那么X的积分曲线是平行于al-轴的直线特别地，对于任意（c,.，cn)ERn，曲线(t) = (c1 +t,c2,.*,Cn)是X的积分曲线。更一般地，向量场×=a1最++anl的积分曲线为(t)=(ci +ait,ca+azt,.*,Cn +ant)虽然曲线注3.2.3.(t) = (c1 + 2t, c2, ***, cn)和有完全相同的图像（即都是经过点（ci…，cn）的“水平线”），但它并不是X的积分曲线，因为(t)=2量≠X(t)74
3.2 光滑向量场的积分曲线 3.2 光滑向量场的积分曲线 3.2.1 积分曲线 ¶ 积分曲线 在微积分和常微分方程中学过，在欧氏区域上给定一个光滑向量场, 就可以过每点 得到一条积分曲线。根据定义，积分曲线是一条参数化曲线，表达了由向量场所给出的 常微分方程的解. 从几何上看，该参数曲线每点处的切向量恰好是给定的向量场在这一 点处的向量. 下面是一个绘制了许多积分曲线的向量场的例子: 积分曲线的概念可以轻易地被推广到光滑流形： 定义 3.2.1. （积分曲线） ♣ 令 X ∈ Γ∞(TM) 为 M 上的光滑向量场. 若光滑曲线 γ : I → M 满足 γ˙(t) = Xγ(t) , ∀t ∈ I, 则称 γ 为 X 的积分曲线. 若 0 ∈ I 且 γ(0) = p，则称 γ 是 X 的✿✿✿✿✿✿✿✿✿✿✿✿✿✿✿✿✿✿✿✿✿✿ 从点 p 出发的积分曲线。 下面给出几个简单积分曲线的例子： 例 3.2.2. 考虑 R n 上的坐标向量场 X = ∂ ∂x1 . 那么 X 的积分曲线是平行于 x 1 -轴的直 线. 特别地，对于任意 (c1, · · · , cn) ∈ R n , 曲线 γ(t) = (c1 + t, c2, · · · , cn) 是 X 的积分曲线。更一般地，向量场 X ‹ = a1 ∂ ∂x1 + · · · + an ∂ ∂xn 的积分曲线为 γ˜(t) = (c1 + a1t, c2 + a2t, · · · , cn + ant) 注 3.2.3. 虽然曲线 γ¯(t) = (c1 + 2t, c2, · · · , cn) 和 γ 有完全相同的图像 (即都是经过点 (c1, · · · , cn) 的“水平线”), 但它并不是 X 的积分曲线, 因为 γ¯˙(t) = 2 ∂ ∂x1 6= Xγ(t) . 74
3.2光滑向量场的积分曲线例 3.2.4.考虑 R2上的向量场 X=r%-y.记其积分曲线为(t)=(r(t),y(t),则aad0r'(t)+y(t)=(t) = X(t) = a(t)-y(t)t)arOryy即r'(t) = -y(t), y(t) = r(t).该方程组的满足初值条件(O)=（a.b)解是r(t)=acost-bsint, y(t)=asint+bcost.它们是以原点为圆心的圆周，通过角度给出参数化（逆时针方向）。例3.2.5.若Xg=0，则M上的“常曲线”g: R→ M, g(t)=q是X的经过g的积分曲线，因为它满足g(t)=0=Xg=X%(t)局部坐标卡中的常微分方程：存在性，唯一性和光滑性为了研究积分曲线更为深入的性质，需要将有关流形上切向量的方程(t)=X()转化为有关欧氏区域上函数的常微分方程组，为了做到这一点，首先注意到以下关于向量场的非常简洁的局部公式，其证明留作练习：引理3.2.6令X为M上的光滑向量场.那么在局部坐标卡(,U,V)上有X=EX(r)Qi其中iU→R是由定义的第i个坐标函数A令:I→M为X的积分曲线.为了研究在给定点(t)处的方程(t)=X(t)，不失一般性，可以假设(t)EU，其中（,U,V）是坐标卡.通过使用局部坐标卡映射,可以将点(t)eU转化成p((t)) = (r((t), .: , r"((t)) ERn如果记y=ro：I→R，那么能把定义积分曲线的方程转化为关于单变量函数y的方程．具体而言，根据之前的引理，有dC)-E(dn)()()a =E(t ()a =Z()0.:(t) =(d)()因此积分曲线方程(t)=X(t)变为Eg(t)a,-Ex((t)a, =-Ex o g-(g'(t), .,g"(t)a, Vt e I.于是，积分曲线方程被转化为以下关于单变量函数的常微分方程组：g'(t) = xiop-'(yl,...,y"),VteI,VI<i<n这是关于（单变量）函数y=ro：R→R的一阶常微分方程组.反过来，这个常微分方程组的任意解都定义了向量场X在开集U上的积分曲线回顾常微分方程组的基本定理（参见[5]，附录D）：75
3.2 光滑向量场的积分曲线 例 3.2.4. 考虑 R 2 上的向量场 X = x ∂ ∂y −y ∂ ∂x . 记其积分曲线为 γ(t) = (x(t), y(t)), 则 x ′ (t) ∂ ∂x + y ′ (t) ∂ ∂y = ˙γ(t) = Xγ(t) = x(t) ∂ ∂y − y(t) ∂ ∂x, 即 x ′ (t) = −y(t), y′ (t) = x(t). 该方程组的满足初值条件 γ(0) = (a, b) 解是 x(t) = a cost − b sin t, y(t) = a sin t + b cost. 它们是以原点为圆心的圆周，通过角度给出参数化 (逆时针方向). 例 3.2.5. 若 Xq = 0，则 M 上的“常曲线” γq : R → M, γq(t) ≡ q. 是 X 的经过 q 的积分曲线，因为它满足 γ˙ q(t) = 0 = Xq = Xγq(t) . ¶ 局部坐标卡中的常微分方程：存在性，唯一性和光滑性 为了研究积分曲线更为深入的性质，需要将有关流形上切向量的方程 γ˙(t) = Xγ(t) 转化为有关欧氏区域上函数的常微分方程组. 为了做到这一点，首先注意到以下关于向 量场的非常简洁的局部公式，其证明留作练习: 引理 3.2.6 ♦ 令 X 为 M 上的光滑向量场. 那么在局部坐标卡 (ϕ, U, V ) 上有 X = PX(x i )∂i , 其中 x i : U → R 是由 ϕ 定义的第 i 个坐标函数. 令 γ : I → M 为 X 的积分曲线. 为了研究在给定点 γ(t) 处的方程 γ˙(t) = Xγ(t) , 不 失一般性，可以假设 γ(t) ∈ U, 其中 (ϕ, U, V ) 是坐标卡. 通过使用局部坐标卡映射 ϕ, 可 以将点 γ(t) ∈ U 转化成 ϕ(γ(t)) = (x 1 (γ(t)), · · · , xn (γ(t))) ∈ R n . 如果记 y i = x i ◦ γ : I → R, 那么能把定义积分曲线的方程转化为关于单变量函数 y i 的 方程. 具体而言，根据之前的引理，有 γ˙(t) = (dγ)t( d dt) = X i (dγ)t( d dt)(x i )∂i = X i (x i ◦ γ) ′ (t)∂i = X i y˙ i (t)∂i . 因此积分曲线方程 γ˙(t) = Xγ(t) 变为 X i y˙ i (t)∂i = X i Xi (γ(t))∂i = X i Xi ◦ ϕ −1 (y 1 (t), · · · , yn (t))∂i , ∀t ∈ I. 于是，积分曲线方程被转化为以下关于单变量函数 y i 的常微分方程组: y˙ i (t) = Xi ◦ ϕ −1 (y 1 , · · · , yn ), ∀t ∈ I, ∀1 ≤ i ≤ n. 这是关于 (单变量) 函数 y i = x i ◦ γ : R → R 的一阶常微分方程组. 反过来，这个常微分 方程组的任意解都定义了向量场 X 在开集 U 上的积分曲线. 回顾常微分方程组的基本定理（参见 [5]，附录 D）: 75
3.2光滑向量场的积分曲线定理3.2.7.（一阶常微分方程组的基本定理）假设VCRn是开集，且F=（Fl，,Fn）：V→Rn光滑.考虑初值问题g(t)= Fi(gl(t),...,y"(t), i=1,...,n(3.2.1)l y'(to) =ct,i=l,.,n那么(1)（存在性)对于任意 to ER和 co EV,存在开区间 Ioto和开集 Voco使得对于任意c=(cl,..,cn)EVo，常微分方程组(3.2.1)在tE Io上有光滑解 ye(t) = (y'(t), ,y"(t)) E V.(2)(唯一性)如果 y1 是常微分方程组(3.2.1)在 t E Io 上的解，y2 是常微分方程组（3.2.1）在tEJo上的解，那么在tEIonJo上有yi=y2.(3) (光滑性)(1) 中的解函数 Y(c,t) := yc(t) 在 (c,t) E Vo × Io 上光滑2由此可得定理3.2.8.（积分曲线局部存在性，唯一性和光滑性）假设X是M上的光滑向量场.那么对于任意PEM，存在p的邻域U，正数ep>0和光滑映射T : (-ep,ep) × Up - M使得对于任意qEU,曲线q : (-ep,ep) → M, g(t) := T(t,q)是X的满足(O）=q的积分曲线．此外，这个积分曲线在以下意义上是唯一的：如果 : I → M 是 X 的另一条满足 α(O)= q 的积分曲线, 那么o(t) = (t), Vt E In(-ep,ep).0重新参数化注意积分曲线都是指“参数曲线”，参数化是定义中的一部分。“相同几何图像”的不同参数化代表了不同的曲线．一般地，积分曲线的重参数化不再是积分曲线.然而，正如注3.2.3所见的一样，线性重参数化生成了积分曲线：引理3.2.9.（线性重参数化）如果：I→M是向量场X的积分曲线，那么(1)令Ia={tlt+aEI),则a : Ia → M, (t) :=(t+a)是X的积分曲线(2)令 Iα ={t /at E ) (a 0), 则: I4 - M, (t) :=(at)是Xa=aX的积分曲线A76
3.2 光滑向量场的积分曲线 定理 3.2.7. （一阶常微分方程组的基本定理） ♥ 假设 V ⊂ R n 是开集, 且 F = (F 1 , · · · , F n ) : V → R n 光滑. 考虑初值问题 y˙ i (t) = F i (y 1 (t), · · · , yn (t)), i = 1, · · · , n y i (t0) = c i , i = 1, · · · , n (3.2.1) 那么 (1) (存在性) 对于任意 t0 ∈ R 和 c0 ∈ V , 存在开区间 I0 3 t0 和开集 V0 3 c0 使 得对于任意 c = (c 1 , · · · , cn ) ∈ V0, 常微分方程组 (3.2.1) 在 t ∈ I0 上有光滑 解 yc(t) = (y 1 (t), · · · , yn (t)) ∈ V . (2) (唯一性) 如果 y1 是常微分方程组 (3.2.1) 在 t ∈ I0 上的解，y2 是常微分方 程组 (3.2.1) 在 t ∈ J0 上的解，那么在 t ∈ I0 ∩ J0 上有 y1 = y2. (3) (光滑性)(1) 中的解函数 Y (c, t) := yc(t) 在 (c, t) ∈ V0 × I0 上光滑. 由此可得 定理 3.2.8. （积分曲线局部存在性，唯一性和光滑性） ♥ 假设 X 是 M 上的光滑向量场. 那么对于任意 p ∈ M, 存在 p 的邻域 Up, 正数 εp > 0 和光滑映射 Γ : (−εp, εp) × Up → M 使得对于任意 q ∈ U, 曲线 γq : (−εp, εp) → M, γq(t) := Γ(t, q) 是 X 的满足 γ(0) = q 的积分曲线. 此外，这个积分曲线在以下意义上是唯一的： 如果 σ : I → M 是 X 的另一条满足 σ(0) = q 的积分曲线, 那么 σ(t) = γq(t), ∀t ∈ I ∩ (−εp, εp). ¶ 重新参数化 注意积分曲线都是指“参数曲线”. 参数化是定义中的一部分. “相同几何图像”的 不同参数化代表了不同的曲线. 一般地，积分曲线的重参数化不再是积分曲线. 然而，正 如注3.2.3所见的一样，线性重参数化生成了积分曲线: 引理 3.2.9. （线性重参数化） ♦ 如果 γ : I → M 是向量场 X 的积分曲线, 那么 (1) 令 Ia = {t | t + a ∈ I}, 则 γa : Ia → M, γa(t) := γ(t + a) 是 X 的积分曲线. (2) 令 I a = {t | at ∈ I} (a 6= 0), 则 γ a : I a → M, γa (t) := γ(at) 是 Xa = aX 的积分曲线. 76
3.2光滑向量场的积分曲线该引理的证明比较容易，因而省略，作为唯一性和平移重参数化的推论，对于任意pEM，从p出发的积分曲线有一个最大存在区间Jp，从而有极大积分曲线p:Jp→M.例如，前面几个例子中积分曲线的最大定义区间均为R，而下面的例3.2.13则给出了一个最大存在区间不是R的积分曲线。再次利用唯一性和平移重参数化，可得命题3.2.10（局部流的加性）对于 M 上光滑向量场 X,若t,s,t + sE Jp，则r(s)(t)=p(t+ s).福证明固定8，则两条曲线(t) =(s)(t) 和2(t) =p(t+s)口都是从同一点p(s）出发的X的积分曲线，由积分曲线的唯一性可知它们相同.流映射把所有的积分曲线放在一起考虑，可以得到映射重: M = [(t,p) I pE M,tE Jp) → M, (t,p) μ (t,p) :=p(t),其中p(t)是从p出发的极大积分曲线.于是，命题3.2.10可被写成重(t,雪(s, p)) = (t + 8,p)根据定理3.2.8，对于任意pEM，存在p的邻域U和区间Ip=（-Ep，ep）使得Ip×UpCM，且Φ在Ip×Up上是光滑映射。下面证明重在整个M上是光滑映射（特别地，由证明可见M是开集）.需要做的是对于任意p以及“不太小”的to，证明重在(to,P)EM 附近的光滑性.证明的基本想法是利用加法性质即p(to+t)=(to)(t)，将点（p,to）附近的光滑性转化为（p(to),0)附近的光滑性。为此，需要将从p=p(0)到p(to）的这一段积分曲线分为很多段“短”积分曲线，短到使得光滑性可以对一致的t区间成立，从而利用平移重参数化把光滑性传递到所需要的点。定理3.2.11.（流映射的光滑性）对于任意完备向量场X.流Φ：R×M→M是光滑的证明设(to,p)EM，则toEJp，于是存在充分小的正数>0使得[-e,to+e]EJp考虑K=p([-E,to+l).对于任意qEM,存在邻域Ugq和区间Ig=（-q,p)使得lgxU:I×U→M是光滑的.由K的紧性，在K中存在点Pi,Pm使得开集Up1,,Upm覆盖K.记以及U:=UpU...UUpmI= (-eo,eo) := Ipr n..nIpm77
3.2 光滑向量场的积分曲线 该引理的证明比较容易，因而省略. 作为唯一性和平移重参数化的推论，对于任意 p ∈ M，从 p 出发的积分曲线有一个 最大存在区间Jp，从而有极大积分曲线 γp : Jp → M. 例如，前面几个例子中积分曲线的最大定义区间均为 R，而下面的例3.2.13则给出了一个 最大存在区间不是 R 的积分曲线。 再次利用唯一性和平移重参数化，可得 命题 3.2.10. （局部流的加性） ♠ 对于 M 上光滑向量场 X，若 t, s, t + s ∈ Jp，则 γγp(s) (t) = γp(t + s). 证明 固定 s，则两条曲线 γ1(t) = γγp(s) (t) 和 γ2(t) = γp(t + s) 都是从同一点 γp(s) 出发的 X 的积分曲线，由积分曲线的唯一性可知它们相同. □ ¶ 流映射 把所有的积分曲线放在一起考虑，可以得到映射 Φ : M = {(t, p) | p ∈ M, t ∈ Jp} −→ M, (t, p) 7→ Φ(t, p) := γp(t), 其中 γp(t) 是从 p 出发的极大积分曲线. 于是，命题3.2.10可被写成 Φ(t, Φ(s, p)) = Φ(t + s, p). 根据定理3.2.8，对于任意 p ∈ M, 存在 p 的邻域 Up 和区间 Ip = (−εp, εp) 使得 Ip × Up ⊂ M，且 Φ 在 Ip × Up 上是光滑映射。下面证明 Φ 在整个 M 上是光滑映射 (特别地，由证明可见 M 是开集). 需要做的是对于任意 p 以及“不太小”的 t0, 证明 Φ 在 (t0, p) ∈ M 附近的光滑性. 证明的基本想法是利用加法性质即 γp(t0 + t) = γγp(t0) (t)，将 点 (p, t0) 附近的光滑性转化为 (γp(t0), 0) 附近的光滑性. 为此，需要将从 p = γp(0) 到 γp(t0) 的这一段积分曲线分为很多段“短”积分曲线, 短到使得光滑性可以对一致的 t 区 间成立，从而利用平移重参数化把光滑性传递到所需要的点。 定理 3.2.11. （流映射的光滑性） ♥ 对于任意完备向量场 X, 流 Φ : R × M → M 是光滑的. 证明 设 (t0, p) ∈ M，则 t0 ∈ Jp，于是存在充分小的正数 ε > 0 使得 [−ε, t0 + ε] ∈ Jp. 考虑 K = γp([−ε, t0 +ε]). 对于任意 q ∈ M, 存在邻域 Uq 3 q 和区间 Iq = (−εq, εp) 使得 Φ|Iq×Uq : Iq × Uq → M 是光滑的. 由 K 的紧性，在 K 中存在点 p1, · · · , pm 使得开集 Up1 , · · · , Upm 覆盖 K. 记 U := Up1 ∪ · · · ∪ Upm 以及 I = (−ε0, ε0) := Ip1 ∩ · · · ∩ Ipm. 77
3.2光滑向量场的积分曲线则U是K的开邻域，I是包含0的开区间，而映射ixU:IxU-M是光滑的。特别地，对于任意8oEI,映射Φso=Φ(so,)U→M是光滑的现在取N充分大使得8o:=to/NEI.令Ui=U，然后送代地定义Uk+1 := @-1(U) nU,k=1,...,N.那么对于任意k=1,，N+1,Uk是开集，并且Φso：Uk→Uk-1是光滑的。最后，考虑开集d/xu(UN+1)。因为(80, Φ(s0, ,(80, (0, p) )) = (to, p) = p(to) E K C U,所以(0,p)Edxu(UN+1).因此存在(0,p)的邻域Io×UoCixu(UN+1),即loxUo：Io×Uo→UN+1是光滑的.由于以下光滑映射的复合UUi(to + Io) × Uo Io× Uo- Un+1(t,p) → (t -to,p) →Φ(t - to,p) →*μΦ(t,p)恰好就是Φ，故重在（to+Io)×Uo上光滑（特别地，（to+Io)×UoCM，从而M是开集)，从口而完成了证明，3.2.2完备向量场完备/不完备向量场定义3.2.12.（完备向量场）设X是M上的光滑向量场。若对于任意pEM，满足(O)=p的积分曲线的最大定义区间均为R，则称X是完备向量场品下面的例子表明不是所有光滑向量场都是完备的例3.2.13.考虑R上的向量场X=t鼎：令(t)=(r(t)为它的积分曲线：那么2(t)是= X() = ()-r(t) =r(t)?dtdt在初值条件r(O)=c下，该常微分方程的解为1若c≠0,-t+1/cre(t) :0,若c=0.于是，(t)的最大存在区间为(-00,1/c)，若c>0,R,若c=0,J。=若c<0.(1/c, +00),因此从任意c≠0出发的积分曲线的最大存在区间都不是R，从而X不完备，设X是M上的完备向量场，则M=R×M，且重：R×M→M是光滑映射。于是对于任意tER，映射t : M → M,，t(p) :=Φ(t,p) = p(t)78
3.2 光滑向量场的积分曲线 则 U 是 K 的开邻域, I 是包含 0 的开区间, 而映射 Φ|I×U : I × U → M 是光滑的. 特别地，对于任意 s0 ∈ I, 映射 φs0 = Φ(s0, ·) : U → M 是光滑的. 现在取 N 充分大使得 s0 := t0/N ∈ I. 令 U1 = U，然后迭代地定义 Uk+1 := φ −1 s0 (Uk) ∩ U, k = 1, · · · , N. 那么对于任意 k = 1, · · · , N + 1, Uk 是开集, 并且 φs0 : Uk → Uk−1 是光滑的. 最后，考 虑开集 Φ| −1 I×U (UN+1). 因为 Φ(s0, Φ(s0, · · · , Φ(s0, Φ(0, p))· · ·)) = Φ(t0, p) = γp(t0) ∈ K ⊂ U, 所以 (0, p) ∈ Φ| −1 I×U (UN+1). 因此存在 (0, p) 的邻域 I0 ×U0 ⊂ Φ| −1 I×U (UN+1), 即 Φ|I0×U0 : I0 × U0 → UN+1 是光滑的. 由于以下光滑映射的复合 (t0 + I0) × U0 −→ I0 × U0 Φ −→ UN+1 ϕs0 −→ UN ϕs0 −→ · · · ϕs0 −→ U1 (t, p) 7→ (t − t0, p) 7→ Φ(t − t0, p) 7→ · · · 7→ Φ(t, p) 恰好就是 Φ，故 Φ 在 (t0 + I0) × U0 上光滑 (特别地，(t0 + I0) × U0 ⊂ M，从而 M 是开集)，从 而完成了证明. □ 3.2.2 完备向量场 ¶ 完备/不完备向量场 定义 3.2.12. （完备向量场） ♣ 设 X 是 M 上的光滑向量场。若对于任意 p ∈ M，满足 γ(0) = p 的积分曲线 γ 的 最大定义区间均为 R，则称 X 是完备向量场. 下面的例子表明不是所有光滑向量场都是完备的. 例 3.2.13. 考虑 R 上的向量场 X = t 2 d dt. 令 γ(t) = (x(t)) 为它的积分曲线. 那么 x ′ (t) d dt = Xγ(t) = x(t) 2 d dt =⇒ x ′ (t) = x(t) 2 . 在初值条件 x(0) = c 下，该常微分方程的解为 xc(t) = 1 −t+1/c , 若c 6= 0, 0, 若c = 0. 于是，γc(t) 的最大存在区间为 Jc = (−∞, 1/c), 若c > 0, R, 若c = 0, (1/c, +∞), 若c < 0. 因此从任意 c 6= 0 出发的积分曲线的最大存在区间都不是 R，从而 X 不完备. 设 X 是 M 上的完备向量场，则 M = R × M，且 Φ : R × M → M 是光滑映射。 于是对于任意 t ∈ R，映射 φt : M → M, φt(p) := Φ(t, p) = γp(t) 78