第4章李群初步Lie群是一类特殊的光滑流形，上面不仅赋有用以发展分析的拓扑结构与光滑结构，还赋有一个基本的代数结构即群结构。正如群是数学中用于描述对称性的语言一样，Lie群不仅仅自身是带有良好性质的光滑流形，而且还是用于描述“一族光滑依赖于参数的对称性”的语言1，在包括几何、分析、方程、代数以及物理（尤其是量子物理）中扮演了极其重要的角色.本章将从流形的视角简要介绍Lie群及其对应的Lie代数的基础知识。4.1Lie群及其Lie代数4.1.1Lie群Lie群：定义与例子首先给出Lie群的定义。简单来说，Lie群就是“赋有光滑流形结构与群结构，且二者相容”的数学对象：定义4.1.1.（Lie群）设G是一个群。如果G上还赋有一个光滑流形结构，且群乘法μ:G×G→G, (91,92)→91 92是一个光滑映射，则称G是一个Lie群。品注意群运算中还有一个非常重要的“求”运算，所以在考虑相容性时，自然也应该要求它是光滑的。在上述Lie群的定义中并没有明确要求这一点，是因为在后面的命题4.1.10中将会证明：只要乘法运算是光滑的，那么求逆运算也将自动是光滑的2。Lie群不仅仅是微分流形的重要例子，更是研究微分流形时的重要工具3。从在某种意义上说，Lie群是数学中最优美的对象之一：它们位于代数，分析与几何的交界处．下面给出Lie群的一些基本例子：例4.1.2.(1R"，作为加法群.(2)R*=R-[0],作为乘法群.(3)SI，作为乘法群（4）S3（视作模长为1的四元数集合），作为四元数乘法群1Wiki:Lie群是由挪威数学家SophusLie（1842-1899）而得名的。他建立了连续变换群理论的基础。Lie引入Lie群的最初动机是为了描述微分方程理论中出现的连续对称，这在很大程度上跟Galois引入有限群以描述代数方程理论中出现的离散对称类似2作为对比，可以回忆一下习题1中拓扑群的概念：拓扑群是“赋有拓扑空间结构与群结构，且二者相容”的数学对象，在那里要求群乘法与求逆运算都是连续的，而且求逆运算的连续性不是群乘法连续性的推论。3从范畴的角度来看，Lie群的特殊性还在于它们是光滑流形范畴中的“群对象”（正如群是集合范畴的群对象、拓扑群是拓扑空间范畴的群对象一样）
第 4 章 李群初步 Lie 群是一类特殊的光滑流形，上面不仅赋有用以发展分析的拓扑结构与光滑结构， 还赋有一个基本的代数结构即群结构。正如群是数学中用于描述对称性的语言一样，Lie 群不仅仅自身是带有良好性质的光滑流形，而且还是用于描述“一族光滑依赖于参数的 对称性”的语言1，在包括几何、分析、方程、代数以及物理 (尤其是量子物理) 中扮演了 极其重要的角色. 本章将从流形的视角简要介绍 Lie 群及其对应的 Lie 代数的基础知识。 4.1 Lie 群及其 Lie 代数 4.1.1 Lie 群 ¶ Lie 群: 定义与例子 首先给出 Lie 群的定义。简单来说，Lie 群就是“赋有光滑流形结构与群结构，且二 者相容”的数学对象： 定义 4.1.1. （Lie 群） ♣ 设 G 是一个群。如果 G 上还赋有一个光滑流形结构，且群乘法 µ : G × G → G, (g1, g2) 7→ g1 · g2 是一个光滑映射，则称 G 是一个 Lie 群。 注意群运算中还有一个非常重要的“求逆”运算，所以在考虑相容性时，自然也应 该要求它是光滑的。在上述 Lie 群的定义中并没有明确要求这一点，是因为在后面的命 题4.1.10中将会证明：只要乘法运算是光滑的，那么求逆运算也将自动是光滑的 2。 Lie 群不仅仅是微分流形的重要例子，更是研究微分流形时的重要工具3。从在某种 意义上说, Lie 群是数学中最优美的对象之一：它们位于代数，分析与几何的交界处. 下 面给出 Lie 群的一些基本例子: 例 4.1.2. (1) R n，作为加法群. (2) R ∗ = R − {0}, 作为乘法群. (3) S 1 , 作为乘法群. (4) S 3 (视作模长为 1 的四元数集合)，作为四元数乘法群. 1Wiki: Lie 群是由挪威数学家 Sophus Lie (1842-1899) 而得名的. 他建立了连续变换群理论的基础. Lie 引 入 Lie 群的最初动机是为了描述微分方程理论中出现的连续对称, 这在很大程度上跟 Galois 引入有限群以 描述代数方程理论中出现的离散对称类似. 2作为对比，可以回忆一下习题 1 中拓扑群的概念：拓扑群是“赋有拓扑空间结构与群结构，且二者相容”的 数学对象，在那里要求群乘法与求逆运算都是连续的，而且求逆运算的连续性不是群乘法连续性的推论。 3从范畴的角度来看，Lie 群的特殊性还在于它们是光滑流形范畴中的“群对象”(正如群是集合范畴的群对 象、拓扑群是拓扑空间范畴的群对象一样)
4.1Lie群及其Lie代数例4.1.3.矩阵Lie群（其群元素都是矩阵，而其乘法运算是矩阵乘法）是Lie群的最重要的例子。矩阵Lie群有很多，最简单的矩阵Lie群有GL(n,R)=(XEM(n,R)IdetX≠O),(般线性群)SL(n,R)=(XEM(n,R)IdetX=1l，(特殊线性群）O(n)=(XEM(n,R)IXXT=In),(正交群)U(n)={X eM(n,C)I xX"= In), (酉群).事实上，李群的一个重要结果是：任意紧Lie群都可被实现为矩阵Lie群。注4.1.4.一个自然的问题是：Lie群的乘积、Lie群的子群等对象是否依然是Lie群？。如果Gi与G2都是Lie群，那么显然它们的乘积G1×G2（赋予乘积群结构以及乘积流形结构）也自动是Lie群.特别地，n维环面Tn=Sl×.×SI是一个Lie群.、。如果G是一个Lie群，H<G是G的一个子群，同时还是一个光滑子流形，那么显然H也是一个Lie群。然而，在本章后面将会说明：在研究Lie群的“子Lie群”时，不必假设子群是光滑子流形。从Lie群-Lie代数对应的角度看，所有具有浸入子流形结构的子群都是自然的研究对象。注4.1.5.1900年Hilbert在巴黎数学家大会上提出了23个问题，揭开了20世纪数学发展的大幕，其中第五问题就跟Lie群相关如所周知，Lie借助于连续变换群的概念....Lie假设了定义群的函数必须可微..．可微性假设是否确实必不可少呢？它会不会就是群概念本身和其它公理的推论？注意如果仅假设背景空间是拓扑流形，以及假设群运算（包括乘积运算与求逆运算）的连续性，那所得的仅仅是底空间是拓扑流形的拓扑群（见第一章习题）。所以用现代的语言来说，Hilbert第五问题就是在问：底空间是拓扑流形的拓扑群，是否具有光滑结构使之成为Lie群？该问题是最终在1950年代被A.Gleason以及D.Montgomery，LZippin解决，其答案是肯定的：设G为任意一个底空间是拓扑流形的拓扑群，那么G上存在一个光滑结构使得它成为一个Lie群.注4.1.6.不是每个光滑流形都能赋有一个Lie群结构例如，在所有球面Sn中，仅有So，Sl与S3可以带有Lie群结构.下面是所有Lie群都满足的一些简单拓扑性质：(1)Lie群的底空间必须是可定向的(2）连通Lie群G（或者更一般的连通拓扑群G)的基本群元1(G）一定是Abel群(3)Lie群的切丛TG都是平凡的：TG同构于G×Rm(其中m=dimG)下一章将看到TS2牛S?×R2，从而S2上没有Lie群结构.结合上述拓扑障碍可知，在所有二维闭流形中（即闭曲面)，唯一带有Lie群结构的是T?=S×Sl.94
4.1 Lie 群及其 Lie 代数 例 4.1.3. 矩阵 Lie 群 (其群元素都是矩阵，而其乘法运算是矩阵乘法) 是 Lie 群的最重要的例 子。矩阵 Lie 群有很多，最简单的矩阵 Lie 群有 GL(n, R) = {X ∈ M(n, R) | det X 6= 0}, (一般线性群) SL(n, R) = {X ∈ M(n, R) | det X = 1}, (特殊线性群) O(n) = {X ∈ M(n, R) | XXT = In}, (正交群) U(n) = {X ∈ M(n, C) | XX T = In}, (酉群). 事实上，李群的一个重要结果是：任意紧 Lie 群都可被实现为矩阵 Lie 群。 注 4.1.4. 一个自然的问题是：Lie 群的乘积、Lie 群的子群等对象是否依然是 Lie 群？ 如果 G1 与 G2 都是 Lie 群, 那么显然它们的乘积 G1 × G2（赋予乘积群结构以及 乘积流形结构）也自动是 Lie 群. 特别地，n 维环面 T n = S 1 × · · · × S 1 是一个 Lie 群.、 如果 G 是一个 Lie 群，H < G 是 G 的一个子群，同时还是一个光滑子流形，那么 显然 H 也是一个 Lie 群。然而，在本章后面将会说明：在研究 Lie 群的“子 Lie 群”时，不必假设子群是光滑子流形。从 Lie 群-Lie 代数对应的角度看，所有具有 浸入子流形结构的子群都是自然的研究对象。 注 4.1.5. 1900 年 Hilbert 在巴黎数学家大会上提出了 23 个问题，揭开了 20 世纪数 学发展的大幕，其中第五问题就跟 Lie 群相关: 如所周知，Lie 借助于连续变换群的概念.Lie 假设了定义群的函数必须可 微. 可微性假设是否确实必不可少呢？它会不会就是群概念本身和其它公 理的推论？ 注意如果仅假设背景空间是拓扑流形，以及假设群运算（包括乘积运算与求逆运算）的 连续性，那所得的仅仅是底空间是拓扑流形的拓扑群（见第一章习题）。所以用现代的 语言来说，Hilbert 第五问题就是在问：底空间是拓扑流形的拓扑群，是否具有光滑结构 使之成为 Lie 群？该问题是最终在 1950 年代被 A. Gleason 以及 D. Montgomery，L. Zippin 解决，其答案是肯定的：设 G 为任意一个底空间是拓扑流形的拓扑群, 那么 G 上 存在一个光滑结构使得它成为一个 Lie 群. 注 4.1.6. 不是每个光滑流形都能赋有一个 Lie 群结构. 例如，在所有球面 S n 中，仅 有 S 0 , S 1 与 S 3 可以带有 Lie 群结构. 下面是所有 Lie 群都满足的一些简单拓扑性质: (1) Lie 群的底空间必须是可定向的. (2) 连通 Lie 群 G (或者更一般的连通拓扑群 G)的基本群 π1(G) 一定是 Abel 群. (3) Lie 群的切丛 T G 都是平凡的: T G 同构于 G × R m(其中 m = dim G). 下一章将看到 T S2 6' S 2 × R 2，从而 S 2 上没有 Lie 群结构. 结合上述拓扑障碍可知，在 所有二维闭流形中 (即闭曲面), 唯一带有 Lie 群结构的是 T 2 = S 1 × S 1 . 94
4.1Lie群及其Lie代数左/右乘法假设G是一个Lie群.对任意a.bEG,存在两个自然映射，即左乘运算（也叫做左平移）La: G-→G,g-a.g与右乘运算（也叫做右平移）Rb:G→G, gg·b.注意如果记ja:G-G×G, ja(g) = (a,9),ib :GG×G, ib(g)=(g,b),则La=μoja,Ro=μoib特别地，L。和R都是光滑映射。此外，显然有L-l = La-1, 3R-1 = Rb-1.于是La与Rs都是微分同胚.不仅如此，虽然G本身未必是可交换群，但La与R可交换：LaR = RoLa作为左乘法的应用，下面证明命题4.1.7.（Lie群切丛的拓扑）对任意 m维Lie群G,其切丛 TG微分同胚于G × Rm4证明将m维线性空间T.G等同于Rm，并定义: G × TG →TG, (a,)=(a,dLa(s))这显然是一个双射，其逆映射为-1(a,s)=(a,dL-a(s)).注意到当固定时,与-1都是a×T.G与TaG之间的线性同构由此可见Φ与Φ-1都是光滑的，因此都是微分同胚口注4.1.8.从证明可见，Φ在“纤维”[a}×T.G与TaG之间是线性同构，因而事实上是丛同构。逆的光滑性左乘法和右乘法可用于计算μ的微分：引理4.1.9.（Lie群乘法映射的微分）乘法映射μ:G×GG的微分为dμa,b(Xa, Y) = (dRb)a(Xa)+(dLa)6(Yb), V(Xa, Yb) E TaGxT,G ~ T(a,b)(GxG).95
4.1 Lie 群及其 Lie 代数 ¶ 左/右乘法 假设 G 是一个 Lie 群. 对任意 a, b ∈ G, 存在两个自然映射, 即左乘运算（也叫做左 平移） La : G → G, g 7→ a · g 与右乘运算（也叫做右平移） Rb : G → G, g 7→ g · b. 注意如果记 ja : G ,→ G × G, ja(g) = (a, g), ib : G ,→ G × G, ib(g) = (g, b), 则 La = µ ◦ ja, Rb = µ ◦ ib. 特别地，La 和 Rb 都是光滑映射。此外，显然有 L −1 a = La−1 , R−1 b = Rb−1 . 于是 La 与 Rb 都是微分同胚. 不仅如此, 虽然 G 本身未必是可交换群，但 La 与 Rb 可 交换: LaRb = RbLa. 作为左乘法的应用，下面证明 命题 4.1.7. （Lie 群切丛的拓扑） ♠ 对任意 m 维 Lie 群 G, 其切丛 T G 微分同胚于 G × R m. 证明 将 m 维线性空间 TeG 等同于 R m, 并定义 φ : G × TeG → T G, φ(a, ξ) = (a, dLa(ξ)) 这显然是一个双射, 其逆映射为 φ −1 (a, ξ) = (x, dL−a(ξ)). 注意到当固定 x 时, φ 与 φ −1 都是 {a} × TeG 与 TaG 之间的线性同构. 由此可见 φ 与 φ −1 都是光滑的, 因此都是微 分同胚. □ 注 4.1.8. 从证明可见，φ 在“纤维”{a} × TeG 与 TaG 之间是线性同构，因而事实上 是丛同构。 ¶ 逆的光滑性 左乘法和右乘法可用于计算 µ 的微分: 引理 4.1.9. （Lie 群乘法映射的微分） ♦ 乘法映射 µ : G × G → G 的微分为 dµa,b(Xa, Yb) = (dRb)a(Xa)+(dLa)b(Yb), ∀(Xa, Yb) ∈ TaG×TbG ' T(a,b) (G×G). 95
4.1Lie群及其Lie代数证明对任意函数fECo(G)，有(dμa,b6(Xa, Yb))(f) = (Xa, Yb)(f o μ) = Xa(f o μo ib) + Yb(f o μo ja)= Xa(f o Rb) + Y(f o La)= (dRb)a(Xa)(f) +(dLa)b(Yb)(f)作为应用，接下来证明求逆运算自动是光滑的，并计算其微分：命题4.1.10.（求逆运算的光滑性）对任意Lie群G,群的求逆运算i:G→G, g-→g-1是光滑的，并且(di)a(Xa) =-(dLa-1)e(dRa-1)a(Xa),VX. E T.G.证明证明思路是将映射写成一些光滑映射的复合，为此，考虑光滑映射f :G×G-G×G, (a,b)- (a, ab)显然它是双射，根据上面的引理，于的微分是df(a,b) : TaG × TG → TaG × TabG, (Xa, Y) -→ (Xa, (dRb)a(Xa) + (dLa)(Y))因为dRb,dLa都是可逆线性映射，所以df(a,b)是一个可逆线性映射。由反函数定理可知于在任意（a,6）附近都是局部微分同胚。但由于本身是可逆映射，所以它是一个整体微分同胚，从而它的逆映射f-1 : G ×G→G×G, (a,c)→(a,a-lc)是一个微分同胚因此群的求逆映射，作为以下光滑映射的复合，GGxGGxGGa → (a,e) →(a,a-l) →a-1也是光滑的。进一步，还可计算它的微分：(di)a(Xa) = d2 o (df-1)(a.,e) 0 (die)a(Xa) = d2(Xa,-(dLa-1)e(dRa-1)a(Xa)= -(dLa-1)e(dRa-1)a(Xa),其中在第二步使用了如下事实(df)(a,α-1)(Xa, Ya-1) = (Xa, 0) =→ Ya-1 = -(dLa)a-1(dRa-1)a(Xa)= -(dLo-1)e(dR.-1)a(X)由于 dLe=dRe=Id，立刻可以得到推论4.1.11：（单位元处群乘法与求逆运算的微分）对任意的Xe.YETG,有(d)e(Xe) = -Xe.(dp)ee(Xe, Ye) = Xe + YeO96
4.1 Lie 群及其 Lie 代数 证明 对任意函数 f ∈ C∞(G), 有 (dµa,b(Xa, Yb))(f) = (Xa, Yb)(f ◦ µ) = Xa(f ◦ µ ◦ ib) + Yb(f ◦ µ ◦ ja) = Xa(f ◦ Rb) + Yb(f ◦ La) = (dRb)a(Xa)(f) + (dLa)b(Yb)(f). □ 作为应用, 接下来证明求逆运算自动是光滑的，并计算其微分： 命题 4.1.10. （求逆运算的光滑性） ♠ 对任意 Lie 群 G, 群的求逆运算 i : G → G, g 7→ g −1 是光滑的, 并且 (di)a(Xa) = −(dLa−1 )e(dRa−1 )a(Xa), ∀Xa ∈ TaG. 证明 证明思路是将映射 i 写成一些光滑映射的复合. 为此，考虑光滑映射 f : G × G → G × G, (a, b) 7→ (a, ab). 显然它是双射. 根据上面的引理, f 的微分是 df(a,b) : TaG × TbG → TaG × TabG, (Xa, Yb) 7→ (Xa,(dRb)a(Xa) + (dLa)b(Yb)). 因为 dRb, dLa 都是可逆线性映射，所以 df(a,b) 是一个可逆线性映射. 由反函数定理可知 f 在任意 (a, b) 附近都是局部微分同胚. 但由于 f 本身是可逆映射，所以它是一个整体 微分同胚，从而它的逆映射 f −1 : G × G → G × G, (a, c) 7→ (a, a−1 c) 是一个微分同胚. 因此群的求逆映射 i, 作为以下光滑映射的复合， G ie −→ G × G f−1 −→ G × G π2 −→ G a 7−→ (a, e) 7−→ (a, a−1 ) 7−→ a −1 也是光滑的. 进一步，还可计算它的微分： (di)a(Xa) = dπ2 ◦ (df −1 )(a,e) ◦ (die)a(Xa) = dπ2 Xa, −(dLa−1 )e(dRa−1 )a(Xa) = −(dLa−1 )e(dRa−1 )a(Xa), 其中在第二步使用了如下事实 (df)(a,a−1) (Xa, Ya−1 ) = (Xa, 0) =⇒ Ya−1 = −(dLa)a−1 (dRa−1 )a(Xa) = −(dLa−1 )e(dRa−1 )a(Xa). □ 由于 dLe = dRe = Id, 立刻可以得到 推论 4.1.11. （单位元处群乘法与求逆运算的微分） ♥ 对任意的 Xe, Ye ∈ TeG, 有 (dµ)e,e(Xe, Ye) = Xe + Ye, (dι)e(Xe) = −Xe. 96
4.1Lie群及其Lie代数4.1.2Lie群的Lie代数从命题4.1.7的证明可见，得益于“左乘”这样的微分同胚，Lie群在一点的切空间可被迁移到各点处。换而言之，Lie群在单位元e附近的局部性态就“决定”了它在各点附近的局部性态。于是，Lie群在e处的切空间在Lie群理论中自然会起到根本性的作用。抽象Lie代数先给出Lie代数的抽象定义：定义4.1.12.（Lie代数）若V是一个实向量空间，上面带有一个二元括号运算[, ]:VxV-→v,使得对任意的u,u,wEV以及a,beR，都有(1)(反对称性)[u,叫] =-[u,u],(2）（线性性）[au+bv.w]=a[uw]+b[v,w](3) (Jacobi 恒等式) [u, [u, w] + [u, [w, u]] +[w, [u, ]] = 0,则称（V,[,])是一个Lie代数，称[,|为该Lie代数的Lie括号“Lie代数可以在更一般的域中定义，本书仅考虑实数域上的Lie代数2例4.1.13.1任意向量空间都有一个平凡Lie代数结构：[X,Y]三0.例4.1.14.R3在向量叉乘运算下形成一个Lie代数.例4.1.15.根据命题3.1.17，光滑流形上全体光滑向量场Tα(TM）在向量场的Lie括号运算下形成一个Lie代数.进一步地，若V是可积分布，则T(V）也是Lie代数。例4.1.16.由全体n×n实矩阵所组成的集合M(n.R）在“矩阵的交换子运算”[A, B] := AB - BA下形成一个Lie代数。【一般的，结合代数在换位子运算[a,句]=ab-ba下都是Lie代数.]Lie群上的左不变向量场下面对每一个Lie群G，都关联一个典范的Lie代数.假设G是一个Lie群.利用左平移La，可以从任意向量XeET.G开始，定义一个G上的光滑向量场X如下：Xa= (dLa)e(Xe)一个并不令人吃惊（但很重要）的事实是：向量场X在任意左平移下仍是它自身：(dLa)b(Xb) = (dLa)b o dLb(Xe) = dLab(Xe) = Xab.具有该性质的向量场被称为左不变向量场：97
4.1 Lie 群及其 Lie 代数 4.1.2 Lie 群的 Lie 代数 从命题4.1.7的证明可见，得益于“左乘”这样的微分同胚，Lie 群在一点的切空间可 被迁移到各点处。换而言之，Lie 群在单位元 e 附近的局部性态就“决定”了它在各点附 近的局部性态。于是，Lie 群在 e 处的切空间在 Lie 群理论中自然会起到根本性的作用。 ¶ 抽象 Lie 代数 先给出 Lie 代数的抽象定义： 定义 4.1.12. （Lie 代数） ♣ 若 V 是一个实向量空间a，上面带有一个二元括号运算 [·, ·] : V × V → V, 使得对任意的 u, v, w ∈ V 以及 a, b ∈ R，都有 (1) (反对称性) [u, v] = −[v, u], (2) (线性性) [au + bv, w] = a[u, w] + b[v, w], (3) (Jacobi 恒等式) [u, [v, w]] + [v, [w, u]] + [w, [u, v]] = 0, 则称 (V, [·, ·]) 是一个 Lie 代数，称 [·, ·] 为该 Lie 代数的 Lie 括号. aLie 代数可以在更一般的域中定义，本书仅考虑实数域上的 Lie 代数. 例 4.1.13. 任意向量空间都有一个平凡 Lie 代数结构: [X, Y ] ≡ 0. 例 4.1.14. R 3 在向量叉乘运算下形成一个 Lie 代数. 例 4.1.15. 根据命题3.1.17, 光滑流形上全体光滑向量场 Γ∞(TM) 在向量场的 Lie 括 号运算下形成一个 Lie 代数. 进一步地，若 V 是可积分布，则 Γ∞(V) 也是 Lie 代数。 例 4.1.16. 由全体 n × n 实矩阵所组成的集合 M(n, R) 在“矩阵的交换子运算” [A, B] := AB − BA 下形成一个 Lie 代数。【一般的, 结合代数在换位子运算 [a, b] = ab − ba 下都是 Lie 代数.】 ¶ Lie 群上的左不变向量场 下面对每一个 Lie 群 G，都关联一个典范的 Lie 代数. 假设 G 是一个 Lie 群. 利用 左平移 La，可以从任意向量 Xe ∈ TeG 开始, 定义一个 G 上的光滑向量场 X 如下： Xa = (dLa)e(Xe). 一个并不令人吃惊 (但很重要) 的事实是：向量场 X 在任意左平移下仍是它自身: (dLa)b(Xb) = (dLa)b ◦ dLb(Xe) = dLab(Xe) = Xab. 具有该性质的向量场被称为左不变向量场： 97