2.6管状邻域定理2.6管状邻域定理根据定义，流形上每个点都有一个局部欧氏的“好邻域”，而这个事实在研究流形时起到了根本性的作用。本节的目的是证明在光滑子流形附近，有一个整体的“好邻域”。为此，需要先把熟知的反函数定理推广到子流形附近。2.6.1子流形附近的广义反函数定理假设f：M→N是一个光滑映射.根据反函数定理，如果dfp是一个线性同构，那么f在p附近是局部微分同胚，即f将p的一个邻域微分同胚地映射到f(p）的一个邻域.在应用中，可能需要将M中某个子流形X的邻域微分同胚地映射到N中f(X)的邻域中，下面证明在一定条件下这是可以做到的。广义反函数定理：紧致情形首先对于X是M的紧致子流形情形证明广义反函数定理。相对于非紧情形，此时定理的陈述与证明都较为简单：定理2.6.1.（广义反函数定理：紧子流形情形）设f：M→N是光滑映射，X是M的光滑紧致子流形，且f在X上是单射若dfz:TM→Tr()N在任意EX处都是线性同构，则存在X在M中的邻域U以及f(X）在N中的邻域V使得f:U→V是微分同胚?证明由反函数定理，于在X中每一点附近是局部微分同胚.根据命题2.2.3，只需证明于在X的某个邻域中是单射.为此，将M嵌入到RK，并考虑X在M中的“e-邻域”：X"=(EM Id(r,X)<e))其中d(,)是欧氏空间中的点与集合之间的距离，即d(r,X)=inf(d(a,y)yEX).注意X°是RK中的有界开集，此外，因为X是闭集，所以X=nk>0X1/k下面用反证法来完成证明.设f在每个X1/k上都不是单射，即存在ak≠b:EX1/k使得f(ak）=f(bk).因为所有的ak都位于RK中的某个有界闭集中，存在子列ak→aEX以及子列bk,→booEX.因为f(a)=f(boo),所以由f在X上是单射可知aoo=bo.于是根据构造，在aoo的任意小邻域中，都不是单射。但是由dfa。是线性口同构可知f在aα的某个邻域里是局部微分同胚，从而导致矛盾.审视证明过程，不难发现上述证明并没有用到X的子流形结构：对X的唯一要求是它是M中的一个紧子集.因此事实上已经证明如下条件更弱的结果：定理2.6.2.（广义反函数定理，紧子集版本）设光滑映射f:M→N在M的紧子集X上是单射.若df:T,M→Tr(a)N在任意EX处都是线性同构，则存在X在M中的邻域U以及f(X)在N中的邻域V使得f:U→V是微分同胚D58
2.6 管状邻域定理 2.6 管状邻域定理 根据定义，流形上每个点都有一个局部欧氏的“好邻域”，而这个事实在研究流形时 起到了根本性的作用。本节的目的是证明在光滑子流形附近，有一个整体的“好邻域”。 为此，需要先把熟知的反函数定理推广到子流形附近。 2.6.1 子流形附近的广义反函数定理 假设 f : M → N 是一个光滑映射. 根据反函数定理，如果 dfp 是一个线性同构，那 么 f 在 p 附近是局部微分同胚，即 f 将 p 的一个邻域微分同胚地映射到 f(p) 的一个邻 域. 在应用中，可能需要将 M 中某个子流形 X 的邻域微分同胚地映射到 N 中 f(X) 的 邻域中. 下面证明在一定条件下这是可以做到的。 ¶ 广义反函数定理：紧致情形 首先对于 X 是 M 的紧致子流形情形证明广义反函数定理。相对于非紧情形，此时 定理的陈述与证明都较为简单： 定理 2.6.1. （广义反函数定理：紧子流形情形） ♥ 设 f : M → N 是光滑映射，X 是 M 的光滑紧致子流形，且 f 在 X 上是单射. 若 dfx : TxM → Tf(x)N 在任意 x ∈ X 处都是线性同构，则存在 X 在 M 中的邻 域 U 以及 f(X) 在 N 中的邻域 V 使得 f : U → V 是微分同胚. 证明 由反函数定理, f 在 X 中每一点附近是局部微分同胚. 根据命题2.2.3，只需证明 f 在 X 的某个邻域中是单射. 为此，将 M 嵌入到 R K, 并考虑 X 在 M 中的“ε-邻域”: Xε = {x ∈ M | d(x, X) < ε}, 其中 d(·, ·) 是欧氏空间中的点与集合之间的距离，即 d(x, X) = inf{d(x, y) | y ∈ X}. 注 意 Xε 是 R K 中的有界开集. 此外，因为 X 是闭集，所以 X = T k>0 X1/k . 下面用反证法来完成证明. 设 f 在每个 X1/k 上都不是单射, 即存在 ak 6= bk ∈ X1/k 使得 f(ak) = f(bk). 因为所有的 ak 都位于 R K 中的某个有界闭集中, 存在子列 aki → a∞ ∈ X 以及子列 bkij → b∞ ∈ X. 因为 f(a∞) = f(b∞), 所以由 f 在 X 上是单射可知 a∞ = b∞. 于是根据构造，在 a∞ 的任意小邻域中, f 都不是单射. 但是由 dfa∞ 是线性 同构可知 f 在 a∞ 的某个邻域里是局部微分同胚, 从而导致矛盾. □ 审视证明过程，不难发现上述证明并没有用到 X 的子流形结构：对 X 的唯一要求 是它是 M 中的一个紧子集. 因此事实上已经证明如下条件更弱的结果: 定理 2.6.2. （广义反函数定理，紧子集版本） ♥ 设光滑映射 f : M → N 在 M 的紧子集 X 上是单射. 若 dfx : TxM → Tf(x)N 在 任意 x ∈ X 处都是线性同构，则存在 X 在 M 中的邻域 U 以及 f(X) 在 N 中的 邻域 V 使得 f : U → V 是微分同胚. 58
2.6管状邻域定理广义反函数定理：非紧情形当X非紧的时，仅假设“X是光滑子流形并且flx是单射”是不够的例2.6.3.覆叠映射f : R2→T?,(t,s)H(eit,eis)在每点（t,s)ER2附近都是局部微分同胚。取X为R2中斜率是无理数的直线X =[(t, V2t) I teR].则fIx是单射，但不存在X的邻域U和f(X)的邻域V，使得f:U→V是微分同胚。上述例子的问题在于f(X）并不是N的光滑子流形，于是f并不是从X到f(X）的微分同胚。对于X是紧子流形的情形，由定理2.4.19可知定理2.6.1的条件保证了“f(X）是N的光滑子流形，且本身是从X到f(X）的微分同胚.”下面证明对于一般的子流形，只要f满足这两个条件，则广义反函数定理成立：定理2.6.4.（广义反函数定理：任意光滑子流形）设f：M→N是光滑映射，X是M的光滑子流形，f(X)是N的光滑子流形，且 f:X→f(X)是微分同胚若对于任意aEX，df:TrM→Tf(r)N是线性同构，则存在X的邻域U以及f(X）的邻域V使得f：U→V是微分同胚3证明只需证明X非紧的情形，思路是把非紧流形表示成可数个“紧带状集合”的并，然后利用定理2.6.2。为此，在光滑流形f(X）上任取一个正的光滑穷竭函数9，可得分解f(X)=U=,Kk，其中每个K=g-1([k,k+1)是紧集.因为flx:X→f(X)是微分同胚，对应的有分解X=U=1Jk，其中每个Jk=flx(K）CX也是紧集，由定理2.6.2，存在Js-1UJsUJk+1在M中的一个开邻域Uk，使得f在Uk上是微分同胚因为f(X）是N中的光滑子流形，通过将N嵌入到RK并使用诱导的距离，不难证明d :=dist(Kk, U K,)>0.j>k+1（需要使用Kk的紧性和f（X）是光滑子流形.请读者验证细节）取一个递减的正数序列e1>e2>..>0，且使得对于每个k都有<ds/2.特别地，第二个条件保证了若-l>1,则nKk=0.令U,=Uk-inUnUk+1nf-1(KEk).则Uk是J&的开邻域，V=f(Us）是K的开邻域，且f将Uk微分同胚地映射到Vk.此外，Uk的定义蕴含了Uk-1UUsUUk+1CUk定义U=UUk, V-UVkk≥1k≥1那么U是X在M中的开邻域，V是f(X)在N中的开邻域，并且f:U→V处处是局部微分同胚.于是只需要证明f在U上是单射即可.假设a,yEU且f(ar）=f(y)那么存在k使得f(a)=f(y)EVCKk.于是a,yEUk-iUUkUUk+1CUk.但f是口U上的微分同胚，故=y59
2.6 管状邻域定理 ¶ 广义反函数定理: 非紧情形 当 X 非紧的时，仅假设“X 是光滑子流形并且 f|X 是单射”是不够的. 例 2.6.3. 覆叠映射 f : R 2 → T 2 , (t, s) 7→ (e it, eis) 在每点 (t, s) ∈ R 2 附近都是局部微分同胚. 取 X 为 R 2 中斜率是无理数的直线 X = {(t, √ 2t) | t ∈ R}. 则 f|X 是单射，但不存在 X 的邻域 U 和 f(X) 的邻域 V ，使得 f : U → V 是微分同胚. 上述例子的问题在于 f(X) 并不是 N 的光滑子流形，于是 f 并不是从 X 到 f(X) 的 微分同胚。对于 X 是紧子流形的情形，由定理2.4.19可知定理2.6.1的条件保证了“f(X) 是 N 的光滑子流形，且 f 本身是从 X 到 f(X) 的微分同胚.”下面证明对于一般的子流 形，只要 f 满足这两个条件，则广义反函数定理成立： 定理 2.6.4. （广义反函数定理：任意光滑子流形） ♥ 设 f : M → N 是光滑映射，X 是 M 的光滑子流形，f(X) 是 N 的光滑子流形， 且 f : X → f(X) 是微分同胚. 若对于任意 x ∈ X，dfx : TxM → Tf(x)N 是线性 同构，则存在 X 的邻域 U 以及 f(X) 的邻域 V 使得 f : U → V 是微分同胚. 证明 只需证明 X 非紧的情形，思路是把非紧流形表示成可数个“紧带状集合”的并， 然后利用定理2.6.2。为此，在光滑流形 f(X) 上任取一个正的光滑穷竭函数 g, 可得分解 f(X) = S∞ k=1 Kk, 其中每个 Kk = g −1 ([k, k + 1]) 是紧集. 因为 f|X : X → f(X) 是微 分同胚，对应的有分解 X = S∞ k=1 Jk，其中每个 Jk := f| −1 X (Kk) ⊂ X 也是紧集. 由定 理2.6.2, 存在 Jk−1 ∪ Jk ∪ Jk+1 在 M 中的一个开邻域 U ‹ k, 使得 f 在 U ‹ k 上是微分同胚. 因为 f(X) 是 N 中的光滑子流形, 通过将 N 嵌入到 R K 并使用诱导的距离，不难证明 dk := dist(Kk, [ j>k+1 Kj ) > 0. (需要使用 Kk 的紧性和 f(X) 是光滑子流形. 请读者验证细节.) 取一个递减的正数序列 ε1 > ε2 > · · · > 0，且使得对于每个 k 都有 εk < dk/2. 特别 地，第二个条件保证了若 |l − k| > 1, 则 K εl l ∩ K εk k = ∅. 令 Uk = U ‹ k−1 ∩ U ‹ k ∩ U ‹ k+1 ∩ f −1 (K εk k ). 则 Uk 是 Jk 的开邻域, Vk = f(Uk) 是 Kk 的开邻域, 且 f 将 Uk 微分同胚地映射到 Vk. 此外, Uk 的定义蕴含了 Uk−1 ∪ Uk ∪ Uk+1 ⊂ U ‹ k. 定义 U = [ k≥1 Uk, V = [ k≥1 Vk. 那么 U 是 X 在 M 中的开邻域, V 是 f(X) 在 N 中的开邻域, 并且 f : U → V 处处是 局部微分同胚. 于是只需要证明 f 在 U 上是单射即可. 假设 x, y ∈ U 且 f(x) = f(y). 那么存在 k 使得 f(x) = f(y) ∈ Vk ⊂ K εk k . 于是 x, y ∈ Uk−1 ∪ Uk ∪ Uk+1 ⊂ U ‹ k. 但 f 是 U ‹ k 上的微分同胚, 故 x = y. □ 59
2.6管状邻域定理2.6.2管状邻域定理欧氏空间子流形的法丛设X是M的光滑子流形，管状邻域定理断言X总是存在一个“状如管子”的邻域为了理解这个概念，考察一些最简单的例子。图2.4展示了平面中一条曲线附近的-邻域。类似地，如果考察“球面作为欧氏空间的子流形”，或者“赤道作为球面的子流形”，都会发现在子流形附近应该会有一个“乘积型管子邻域”，即微分同胚于乘积X×Bm-r的邻域，其中Bm-r是m一r维开球。然而，这个现象并不总成立：例2.6.5.考虑Mobius带的中心圆，如图2.5所示。显然中心圆的任意邻域都不同胚于乘积空间SI×（-1,1)：从中心圆的连通邻域中挖掉中心圆，所得的集合依然连通；但从乘积空间S1×（-1,1)中挖掉S1×[0]，所得的集合就不连通了。图2.5:Mobius带的中心圆图2.4:E邻域可见子流形邻域的形状受子流形本身在外围流形中的“摆放”方式影响。事实上，上图也说明了子流形的“管状邻域”的大致形状：在子流形上每一点“向外”扩张成邻域时，需要向“跟切向垂直的方向”（即法向）扩张。粗略来说，把这些“跟切向垂直的方向”放在一起，就是所谓的法丛。首先考虑一个简单的情形，即X是嵌入到RK的r维子流形，此时可以用外围空间RK的几何结构来给出“垂直方向”。令：X→RK为包含映射.对于任意EX，视TX为RK=T,RK的r维线性子空间：TXd(TX)CTRK~RK令N(XRK）为TX在RK中的正交补即N(X,RK):=(ETRK~RKUITX)它是（K一r）-维向量空间类似于切丛的情形，可以把这些“法空间”集合在一起：N(X,RK) =((r,U) I TE X,UE N(X,RK))C TRK利用RK的跟X相容的局部坐标系，可以证明（留作习题）：命题2.6.6.（法空间构成向量丛）N(X,RK）是TRK的K-维光滑子流形，且在典范投影元是淹没映射。定义2.6.7.（欧氏空间子流形的法丛）N(X,RK)被称为 X 在 RK 中的法丛。品60
2.6 管状邻域定理 2.6.2 管状邻域定理 ¶ 欧氏空间子流形的法丛 设 X 是 M 的光滑子流形，管状邻域定理断言 X 总是存在一个“状如管子”的邻域. 为了理解这个概念，考察一些最简单的例子。图2.4展示了平面中一条曲线附近的 ε-邻域。 类似地，如果考察“球面作为欧氏空间的子流形”，或者“赤道作为球面的子流形”，都会 发现在子流形附近应该会有一个“乘积型管子邻域”，即微分同胚于乘积 X × Bm−r 的 邻域，其中 Bm−r 是 m − r 维开球。然而，这个现象并不总成立： 例 2.6.5. 考虑 Möbius 带的中心圆，如图2.5所示。显然中心圆的任意邻域都不同胚于 乘积空间 S 1 × (−1, 1)：从中心圆的连通邻域中挖掉中心圆，所得的集合依然连通；但从 乘积空间 S 1 × (−1, 1) 中挖掉 S 1 × {0}，所得的集合就不连通了。 图 2.4: ε 邻域 图 2.5: Möbius 带的中心圆 可见子流形邻域的形状受子流形本身在外围流形中的“摆放”方式影响。事实上，上 图也说明了子流形的“管状邻域”的大致形状：在子流形上每一点“向外”扩张成邻域 时，需要向“跟切向垂直的方向”（即法向）扩张。粗略来说，把这些“跟切向垂直的方 向”放在一起，就是所谓的法丛。 首先考虑一个简单的情形，即 X 是嵌入到 R K 的 r 维子流形，此时可以用外围空 间 R K 的几何结构来给出“垂直方向”。令 ι : X ,→ R K 为包含映射. 对于任意 x ∈ X, 视 TxX 为 R K = TxR K 的 r 维线性子空间： TxX ' dιx(TxX) ⊂ TxR K ' R K. 令 Nx(X, R K) 为 TxX 在 R K 中的正交补, 即 Nx(X, R K) := {v ∈ TxR K ' R K | v ⊥ TxX}, 它是 (K − r)-维向量空间. 类似于切丛的情形，可以把这些“法空间”集合在一起： N(X, R K) = {(x, v) | x ∈ X, v ∈ Nx(X, R K)} ⊂ TR K. 利用 R K 的跟 X 相容的局部坐标系，可以证明（留作习题）： 命题 2.6.6. （法空间构成向量丛） ♠ N(X, R K) 是 TR K 的 K-维光滑子流形，且在典范投影 π 是淹没映射。 定义 2.6.7. （欧氏空间子流形的法丛） ♣ N(X, R K) 被称为 X 在 R K 中的法丛。 60
2.6管状邻域定理欧氏子流形的管状邻域定理与-邻域定理下面引入欧氏子流形管状邻域的概念并证明管状邻域定理：定义2.6.8.（欧氏子流形的管状邻域）设 X 是 RK的光滑子流形。若存在 X 在 N(X,M)中的邻域 U,X 在 M 中的邻域V以及微分同胚f：U→V使得flx是恒等映射，则称V（或者三元组(f,V,U)）为X的一个管状邻域。吊定理2.6.9.（欧氏子流形的管状邻域定理）RK的任意光滑子流形设X都有管状邻域。0证明定义映射h:N(X,RK)→RK, (,U)-T+V.对于任意(z,0) e N(X,RK),dh(r,0) 将 T(z,0)(X ×[0)) c T(z,0)N(X,RK)双射地映为T,XCT,RK,且将切空间T(a,0)(()×N(X,RK))双射地映为N(X,RK)CT,RK故dh(r,0)是非奇异的.另一方面，由定义,h将X×[0)CN(X,RK）微分同胚地映为XCRK.故由广义反函数定理，h将X×fO在N(X,RK）中的某个邻域U微分同胚口地映为X在RK的邻域V.利用欧氏空间的度量结构，可以给出具体的欧氏管状子流形：定理2.6.10.（e-邻域定理）对RK的任意光滑子流形X，存在正值连续函数e：X一→R+，使得X的e-邻域X:=(yERKI存在EX使得ly-l<e(r))满足：(1) 对任意 y E X,在 X 中存在唯一一个“距离 y 最近的点” πe(y);(2)映射 元e:X→ X,y → 元e(y)是淹没.3证明令h,U,V如上述定理证明。对于每点EX，定义e() = sup(r<1 / Br() C Vl可验证e在X上是连续的正函数.由定义，XCV是开子流形.考虑映射Te: XX.y Te(y) = π o h-l(y)因为π是淹没而h-1在V上是微分同胚，所以πe是淹没映射：故只需证元e(y）是X中唯一的离y最近的点，事实上，令zEX为在X中一个距离y最近的点。那么以y为中心，半径为ly一z的球面在z处与X相切.于是，向量y一z在处垂直于TX,即y-zEN(X,RK).因此y=2+(y-z)=h(z,y-2),口即πe(y)=z.于是z是唯一的，且e(y)是X中唯一距离最近的点注意，如果X是紧致的，那么函数可被取为常数.61
2.6 管状邻域定理 ¶ 欧氏子流形的管状邻域定理与 ε-邻域定理 下面引入欧氏子流形管状邻域的概念并证明管状邻域定理： 定义 2.6.8. （欧氏子流形的管状邻域） ♣ 设 X 是 R K 的光滑子流形。若存在 X 在 N(X, M) 中的邻域 U，X 在 M 中的 邻域 V 以及微分同胚 f : U → V 使得 f|X 是恒等映射，则称 V （或者三元组 (f, V, U)）为 X 的一个管状邻域。 定理 2.6.9. （欧氏子流形的管状邻域定理） ♥ R K 的任意光滑子流形设 X 都有管状邻域。 证明 定义映射 h : N(X, R K) → R K, (x, v) 7→ x + v. 对于任意 (x, 0) ∈ N(X, R K), dh(x,0) 将 T(x,0)(X × {0}) ⊂ T(x,0)N(X, R K) 双射地映为 TxX ⊂ TxR K, 且将切空间 T(x,0)({x} × Nx(X, R K)) 双射地映为 Nx(X, R K) ⊂ TxR K. 故 dh(x,0) 是非奇异的. 另一方面，由定义, h 将 X × {0} ⊂ N(X, R K) 微分同胚地映为 X ⊂ R K. 故由广义反函数定理, h 将 X × {0} 在 N(X, R K) 中的某个邻域 U 微分同胚 地映为 X 在 R K 的邻域 V . □ 利用欧氏空间的度量结构，可以给出具体的欧氏管状子流形： 定理 2.6.10. （ε-邻域定理） ♥ 对 R K 的任意光滑子流形 X，存在正值连续函数 ε : X → R +, 使得 X 的 ε-邻域 Xε := {y ∈ R K | 存在x ∈ X使得|y − x| < ε(x)} 满足： (1) 对任意 y ∈ Xε，在 X 中存在唯一一个“距离 y 最近的点”πε(y); (2) 映射 πϵ : Xε → X, y 7→ πε(y) 是淹没. 证明 令 h, U, V 如上述定理证明。对于每点 x ∈ X, 定义 ε(x) = sup{r ≤ 1 | Br(x) ⊂ V }. 可验证 ε 在 X 上是连续的正函数. 由定义, Xε ⊂ V 是开子流形. 考虑映射 πε : Xε → X, y 7→ πε(y) = π ◦ h −1 (y). 因为 π 是淹没而 h −1 在 V 上是微分同胚，所以 πε 是淹没映射. 故只需证 πε(y) 是 X 中唯一的离 y 最近的点. 事实上，令 z ∈ X 为在 X 中一个距离 y 最近的点. 那么以 y 为中心，半径为 |y − z| 的球面在 z 处与 X 相切. 于是，向量 y − z 在 z 处垂直于 TzX, 即 y − z ∈ Nz(X, R K). 因此 y = z + (y − z) = h(z, y − z), 即 πε(y) = z. 于是 z 是唯一的，且 πε(y) 是 X 中唯一距离 y 最近的点. □ 注意，如果 X 是紧致的，那么函数 ε 可被取为常数. 61
2.6管状邻域定理一般的管状邻域定理上述构造需要用到RK的几何结构。对于一般光滑流形M而言，其切空间TM中并没有“垂直”这个概念。此时有两种方式定义X在M中的法从：。第一种方式是添加一个可以定义“垂直”的结构，即在每个切空间TM中都指定一个内积结构（这就是所谓的黎曼度量），于是能跟嵌入欧氏空间情形一样，定义X在M中的法丛。不过这种方式定义的法丛依赖于M上的黎曼度量结构的选取。。第二种方式则不依赖于额外结构：设X是M的光滑子流形，则对于任意pEX，切空间TX可被视为是T_M的子空间。于是在处有商空间N(X,M)=TM/TX.把这些空间集合起来，就得到X在M中的法丛N(X, M) =((r, u)r E X,uENr(X,M))通过使用M上跟X相容的局部坐标卡，不难在N(X.M）上给出一个拓扑和光滑结构，使之成为m维光滑流形，且典范投影映射元是淹没。注意此时N（X，M）不是TM的子空间，从而跟切丛TX不同的是，法丛不是TM的子集。这两种方式定义的法丛作为流形是微分同胚的（作为向量丛也是同构的）：因为任何流形都能嵌入欧氏空间，将M嵌入到RK后，可得向量空间的嵌入TXCTMTRK此时商空间TrM/TrX同构于TM中由“垂直”于TX的向量组成的子空间，从而N(X,M) ~((r,) IrEX,uETrM 且uITX)通过这个等同关系，可以得到向量空间的分解T(r,0)N(X,M) ~TX @T+X,其中TX是TX在TM的正交补注意，这种方法所给出的“法丛”是切丛的子丛，且这种构造方法对“切丛赋有度量结构”（即“黎曼流形”）均有效通过把M嵌入欧氏空间，并利用ε邻域定理，可以证明定理2.6.11：（管状邻域定理）光滑流形M的任意光滑子流形设X都有管状邻域。3证明将M嵌入到RK.取ε-邻域定理（对于嵌入1:M→RK）中所得的元e：M°→M依然考虑映射h:N(X,M)→RK, h(a,u)-→r+v.则W：=h-1(M）是X在N(X,M）中的开邻域.于是复合映射he=ngoh:W→M是光滑的，且在XCN(X,M）上为恒等映射。此外根据以上T(r.0)N(X,M）的分解，口(dhe)(ar.0)将T(ar.0)N(X,M）双射地映射到TM.从而由定理2.6.4即得欲证.62
2.6 管状邻域定理 ¶ 一般的管状邻域定理 上述构造需要用到 R K 的几何结构。对于一般光滑流形 M 而言，其切空间 TxM 中 并没有“垂直”这个概念。此时有两种方式定义 X 在 M 中的法丛： 第一种方式是添加一个可以定义“垂直”的结构，即在每个切空间 TxM 中都指定 一个内积结构（这就是所谓的黎曼度量），于是能跟嵌入欧氏空间情形一样，定义 X 在 M 中的法丛。不过这种方式定义的法丛依赖于 M 上的黎曼度量结构的选取。 第二种方式则不依赖于额外结构：设 X 是 M 的光滑子流形，则对于任意 p ∈ X， 切空间 TxX 可被视为是 TxM 的子空间。于是在 x 处有商空间 Nx(X, M) = TxM/TxX. 把这些空间集合起来，就得到 X 在 M 中的法丛 N(X, M) = {(x, v)|x ∈ X, v ∈ Nx(X, M)}. 通过使用 M 上跟 X 相容的局部坐标卡，不难在 N(X, M) 上给出一个拓扑和光滑 结构，使之成为 m 维光滑流形，且典范投影映射 π 是淹没。注意此时 Nx(X, M) 不是 TxM 的子空间，从而跟切丛 T X 不同的是，法丛不是 TM 的子集。 这两种方式定义的法丛作为流形是微分同胚的（作为向量丛也是同构的）：因为任何流形都能 嵌入欧氏空间，将 M 嵌入到 R K 后，可得向量空间的嵌入 TxX ⊂ TxM ⊂ TxR K, 此时商空间 TxM/TxX 同构于 TxM 中由“垂直”于 TxX 的向量组成的子空间，从而 N(X, M) ' {(x, v) | x ∈ X, v ∈ TxM 且v ⊥ TxX}. 通过这个等同关系，可以得到向量空间的分解 T(x,0)N(X, M) ' TxX ⊕ T ⊥ x X, 其中 T ⊥ x X 是 TxX 在 TxM 的正交补. 注意，这种方法所给出的“法丛”是切丛的子丛， 且这种构造方法对“切丛赋有度量结构”（即“黎曼流形”）均有效. 通过把 M 嵌入欧氏空间，并利用 ε 邻域定理，可以证明 定理 2.6.11. （管状邻域定理） 光滑流形 ♥ M 的任意光滑子流形设 X 都有管状邻域。 证明 将 M 嵌入到 R K. 取 ε-邻域定理 (对于嵌入 ι : M ,→ R K) 中所得的 πε : Mε → M. 依然考虑映射 h : N(X, M) → R K, h(x, v) → x + v. 则 W := h −1 (Mε ) 是 X 在 N(X, M) 中的开邻域. 于是复合映射 hε = πε ◦ h : W −→ M 是光滑的，且在 X ⊂ N(X, M) 上为恒等映射. 此外根据以上 T(x,0)N(X, M) 的分解, (dhε)(x,0) 将 T(x,0)N(X, M) 双射地映射到 TxM. 从而由定理2.6.4 即得欲证. □ 62