《微分流形》课程教学资源（英文讲义）第1章 光滑流形 1.3 单位分解及其应用

1.3单位分解及其应用1.3单位分解及其应用本节研究光滑流形上一类非常常用的函数一一鼓包函数，证明光滑流形上最重要的工具之一一单位分解，并给出单位分解在函数逼近方面的应用。1.3.1鼓包函数对于任意fEC(M)，定义f的支集为如下集合supp(f)= (pE M I f(p) +0).若的支集是M的紧子集，则称是紧支的．M上全体紧支光滑函数的集合记为Co(M).不难发现C(M）是代数C(M)的一个理想。如果f.gECoo(M),那么af+bgECo(M)。如果fECo(M),gEC(M)那么fgECo(M)注意到如果M是紧致的，那么M上任意一个光滑函数都是紧支的紧支光滑实值函数也被称为鼓包函数（或者测试函数）.在很多具体问题中，往往会假设鼓包函数具有一些特殊的性质，例如。是非负的，。值不超过1，。在一个给定的紧集上等于1，或者其积分值为1等欧氏鼓包雨数下面在Rn上构造鼓包函数。首先考虑定义在R上的函数[e-1/,>0fi(r)=L 0,≤0这个函数在≠0出显然是光滑的。在=0出，注意到e-1/的各阶导数都形如e-1/rP(1/a)，其中P是多项式，于是函数fi在=0处也是光滑的。（当然，fi在a=0处不是解析函数，因为在该点处其各阶导数都是0。）由于fi(r）是非负光滑函数，且当≤0时fi(a）=0，故函数fi(r)f2(r) = -fi() + fi(1 - r)也是非负光滑函数，其值域为[0,1]，且满足当≤0时f2()=0,当≥1时f2()=1最后，为了得到R"上的紧支光滑函数，定义f3() = f2(2 - [rl)由f2的性质易见f3(α）是Rn上的一个光滑函数，其值域为[0,1]，且满足当≤1时f3()=1,当≥2时f()=0这就是我们需要的鼓包函数。20

1.3 单位分解及其应用 1.3 单位分解及其应用 本节研究光滑流形上一类非常常用的函数—–鼓包函数，证明光滑流形上最重要的工 具之一—–单位分解，并给出单位分解在函数逼近方面的应用。 1.3.1 鼓包函数 对于任意 f ∈ C∞(M)，定义 f 的支集为如下集合 supp(f) = {p ∈ M | f(p) 6= 0}. 若 f 的支集是 M 的紧子集，则称 f 是紧支的. M 上全体紧支光滑函数的集合记为 C∞ 0 (M). 不难发现 C∞ 0 (M) 是代数 C∞(M) 的一个理想： 如果 f, g ∈ C∞ 0 (M), 那么 af + bg ∈ C∞ 0 (M). 如果 f ∈ C∞ 0 (M), g ∈ C∞(M), 那么 fg ∈ C∞ 0 (M). 注意到如果 M 是紧致的，那么 M 上任意一个光滑函数都是紧支的. 紧支光滑实值函数也被称为鼓包函数 (或者测试函数). 在很多具体问题中，往往会 假设鼓包函数具有一些特殊的性质，例如 是非负的， 值不超过 1， 在一个给定的紧集上等于 1，或者其积分值为 1 等. ¶ 欧氏鼓包函数 下面在 R n 上构造鼓包函数。首先考虑定义在 R 上的函数 f1(x) =    e −1/x, x > 0 0, x ≤ 0 这个函数在 x 6= 0 出显然是光滑的。在 x = 0 出，注意到 e −1/x 的各阶导数都形如 e −1/xP(1/x)，其中 P 是多项式，于是函数 f1 在 x = 0 处也是光滑的。(当然，f1 在 x = 0 处不是解析函数，因为在该点处其各阶导数都是 0。) 由于 f1(x) 是非负光滑函数，且当 x ≤ 0 时 f1(x) = 0，故函数 f2(x) = f1(x) f1(x) + f1(1 − x) 也是非负光滑函数，其值域为 [0, 1]，且满足 当 x ≤ 0 时 f2(x) = 0, 当 x ≥ 1 时 f2(x) = 1. 最后，为了得到 R n 上的紧支光滑函数，定义 f3(x) = f2(2 − |x|). 由 f2 的性质易见 f3(x) 是 R n 上的一个光滑函数，其值域为 [0, 1]，且满足 当 |x| ≤ 1 时 f3(x) = 1, 当 x ≥ 2 时 f3(x) = 0. 这就是我们需要的鼓包函数。 20

1.3单位分解及其应用这三个函数f1，f2和f3（在n=1时）的图像如下所示：图1.7:f2的图像212-1图1.6f1的图像图1.8:f3的图像光滑流形上的鼓包函数借助欧氏空间中的鼓包函数，可以在任意光滑流形上构造鼓包函数，使得它的支集落在任意事先给定的开集内，且在另一个给定的稍小的紧集上“值恒等于1”定理1.3.1.（特定鼓包函数的存在性）令M是光滑流形，KCM是一个紧集，而UCM是一个包含A的开子集，则存在鼓包函数ECo(M）使得0≤≤1,在A上=1并且supp()CU[证明思路：用有限个小区域覆盖紧集K，其中每个小区域都包含于一个（特别选取的）坐标卡，然后将之前构造的“欧氏空间中的鼓包函数”复制到这些小区域上。1证明对于任意aEA,存在q附近的坐标卡（g,Ug,V）使得UgCU,并且V。包含于Rn中半径为3，球心为0的开球B3(0).令U。=4-1(Bi(0)，f3(pq(p), peUq,fq(p) :0,paUq.则在U。上f。=1.此外，。fgEC(M)：由定义，fg在(B2(0))°上恒等于0。由B2(0)的紧性以及1(视为从Va到M的映射，即复合上从U。到M的包含映射）的连续性知a(B2(O)）是M的紧子集。从而由M的Hausdorff性质可知-1(B2(O)）是M的闭子集?。于是fg在开集-1(B2(0))c上恒等于0。由粘接引理可知fgEC(M)。。supp(f）CUg：由Hausdorff性质可知任意pa1(B2(O）都有一个开邻域跟P-1(B2(0))不交。于是supp(fa)=(B2(0)C1(B2(0)CUq注意由1的连续性，1(B2(0)C(B2(0)).于是supp(f)=(-1(B2(0)）是紧集。因为[U.}gEA是A的一族开覆盖，而A是紧致的，所以存在一个有限子覆盖[Uan,Ua]令=1f，则是M上的紧支光滑函数，在A上≥1,并且 supp() c U. 因此(p(p) := f2((p)口满足定理中的所有条件，作为该定理的一个简单推论，不难发现鼓包函数非常多：只要dimM>0，向量空间Cα(M)(以及C(M)）就是无穷维的2注意对于非Hausdorf的局部欧空间，例如有两个原点的直线，这种“开子集的紧/闭子集”未必是原空间的闭集，从而所构造的函数未必连续。21

1.3 单位分解及其应用 这三个函数 f1, f2 和 f3 (在 n = 1 时) 的图像如下所示： 图 1.6: f1 的图像 图 1.7: f2 的图像 图 1.8: f3 的图像 ¶ 光滑流形上的鼓包函数 借助欧氏空间中的鼓包函数，可以在任意光滑流形上构造鼓包函数，使得它的支集 落在任意事先给定的开集内，且在另一个给定的稍小的紧集上“值恒等于 1”. 定理 1.3.1. （特定鼓包函数的存在性） ♥ 令 M 是光滑流形，K ⊂ M 是一个紧集，而 U ⊂ M 是一个包含 A 的开子集，则 存在鼓包函数 ϕ ∈ C∞ 0 (M) 使得 0 ≤ ϕ ≤ 1, 在 A 上 ϕ ≡ 1 并且 supp(ϕ) ⊂ U. [证明思路：用有限个小区域覆盖紧集 K，其中每个小区域都包含于一个 (特别选取的) 坐标卡，然后将之 前构造的“欧氏空间中的鼓包函数”复制到这些小区域上. ] 证明 对于任意 x ∈ A, 存在 q 附近的坐标卡 (ϕq, Uq, Vq) 使得 Uq ⊂ U, 并且 Vq 包含于 R n 中半径为 3，球心为 0 的开球 B3(0). 令 U ‹ q = ϕ −1 q (B1(0)), fq(p) =    f3(ϕq(p)), p ∈ Uq, 0, p /∈ Uq. 则在 U ‹ q 上 fq ≡ 1. 此外， fq ∈ C∞ 0 (M)：由定义，fq 在 ϕ −1 q (B2(0))c 上恒等于 0。由 B2(0) 的紧性以及 ϕ −1 q (视 为从 Vq 到 M 的映射，即复合上从 Uq 到 M 的包含映射) 的连续性知 ϕ −1 q (B2(0)) 是 M 的 紧子集。从而由 M 的 Hausdorff 性质可知 ϕ −1 q (B2(0)) 是 M 的闭子集2。于是 fq 在开集 ϕ −1 q (B2(0))c 上恒等于 0。由粘接引理可知 fq ∈ C∞ 0 (M)。 supp(fq) ⊂ Uq：由 Hausdorff 性质可知任意 p 6∈ ϕ −1 q (B2(0)) 都有一个开邻域跟 ϕ −1 q (B2(0)) 不交。于是 supp(fq) = ϕ −1 q (B2(0)) ⊂ ϕ −1 q (B2(0)) ⊂ Uq. 注意由 ϕ −1 q 的连续性，ϕ −1 q (B2(0)) ⊂ ϕ −1 q (B2(0)). 于是 supp(fq) = ϕ −1 q (B2(0)) 是紧集。 因为 {U ‹ q}q∈A 是 A 的一族开覆盖，而 A 是紧致的，所以存在一个有限子覆盖 {U ‹ q1 , · · · ,U ‹ qN }. 令 ψ = PN i=1 fqi，则 ψ 是 M 上的紧支光滑函数，在 A 上 ψ ≥ 1， 并且 supp(ψ) ⊂ U. 因此 ϕ(p) := f2(ψ(p)) 满足定理中的所有条件. □ 作为该定理的一个简单推论，不难发现鼓包函数非常多：只要 dim M > 0，向量空 间 C∞ 0 (M)(以及 C ∞(M)) 就是无穷维的. 2注意对于非 Hausdorff 的局部欧空间，例如有两个原点的直线，这种“开子集的紧/闭子集”未必是原空间 的闭集，从而所构造的函数未必连续。 21

1.3单位分解及其应用1.3.2单位分解单位分解在上述证明中用到的事实是：对于任意紧集KCM，总可以用有限个“好的坐标邻域”去覆盖它，而每个好邻域中又可以构造出好的“局部”函数.通过将这些（有限个）好的局部函数相加，最终可以得到一个在整个M上的整体定义的函数，使之在K上具有良好性质，事实上，还可以将相同的想法用在整个流形M上：我们完全可以从无穷个光滑函数出发，这要这些函数满足局部有限性，即“在每一点附近只有有限个函数的值非0”，那就可以将它们相加并得到一个整体的光滑函数，更重要地是，还可以利用这样一族函数，将“局部定义”的几何/分析对象“粘合”成整体定义的对象，定义1.3.2.（（光滑）单位分解）令M为一个光滑流形，[Ual是M的一个开覆盖，若[pal是一族定义在整个流形M上光滑函数，且满足(1) 对于任意 α, 0 ≤P≤1.(2)对于任意 α, supp(pa) C Ua(3）任意一点pEM都存在一个只与有限个supp(pα）相交的邻域(4)对于任意 pE M, aPa(p)=1.则称【pa为一个从属于[U)的（光滑）单位分解(简记为P.O.U.)a“本书在讨论P.O.U.的时候，始终默认是光滑单位分解.关于仿紧空间上的连续函数的单位分解的理论可以参考作者的拓扑学教材福注1.3.3.局部有限性条件（3）有两个很重要的推论：若对于任意P，取定一个仅与有限多个supp(p）相交的开邻域Wp，则。因为{W，lpEM构成了M的一个开覆盖，而M是第二可数的，所以存在可数个开集Wp.构成M的开覆盖，又因为每个Wp都仅与有限个supp(p）相交，所以仅有可数个Pα的支集是非空的．换而言之，即使我们一开始选择的开覆盖{U。}中有不可数个开集，单位分解过程自动“删除了”它们中的绝大多数，使得仅有可数个开集保留下来（它们仍然构成了M的开覆盖）。对于任意一点p，在开集W上，（4)中的求和式[这个求和看上去可能是一个不可数求和或者根据上一段，可以是一个可数无限求和事实上只是一个有限求和.这个事实在应用单位分解时往往是至关重要的本节的主要目的是证明：定理1.3.4.（单位分解的存在性）对于任意光滑流形M以及M的任意一个开覆盖Ua]，均存在从属于[Ua}的一个（光滑）单位分解C22

1.3 单位分解及其应用 1.3.2 单位分解 ¶ 单位分解 在上述证明中用到的事实是：对于任意紧集 K ⊂ M, 总可以用有限个“好的坐标邻 域”去覆盖它，而每个好邻域中又可以构造出好的“局部”函数. 通过将这些 (有限个) 好的局部函数相加，最终可以得到一个在整个 M 上的整体定义的函数，使之在 K 上具 有良好性质. 事实上，还可以将相同的想法用在整个流形 M 上：我们完全可以从无穷个光滑函 数出发，这要这些函数满足局部有限性，即“在每一点✿✿✿✿ 附近只有有限个函数的值非 0”， 那就可以将它们相加并得到一个整体的光滑函数. 更重要地是，还可以利用这样一族函 数，将“局部定义”的几何/分析对象“粘合”成整体定义的对象. 定义 1.3.2. （(光滑) 单位分解） ♣ 令 M 为一个光滑流形，{Uα} 是 M 的一个开覆盖. 若 {ρα} 是一族定义在整个流 形 M 上光滑函数，且满足 (1) 对于任意 α, 0 ≤ ρα ≤ 1. (2) 对于任意 α, supp(ρα) ⊂ Uα. (3) 任意一点 p ∈ M 都存在一个只与有限个 supp(ρα) 相交的邻域. (4) 对于任意 p ∈ M, P α ρα(p) = 1. 则称 {ρα} 为一个从属于 {Uα} 的 (光滑) 单位分解(简记为 P.O.U.)a a本书在讨论 P.O.U. 的时候，始终默认是光滑单位分解. 关于仿紧空间上的连续函数的单位分解的理 论可以参考作者的拓扑学教材. 注 1.3.3. 局部有限性条件 (3) 有两个很重要的推论：若对于任意 p，取定一个仅与有 限多个 supp(ρα) 相交的开邻域 Wp，则 因为 {Wp}p∈M 构成了 M 的一个开覆盖，而 M 是第二可数的，所以存在可数个开 集 Wpi 构成 M 的开覆盖. 又因为每个 Wpi 都仅与有限个 supp(ρα) 相交，所以仅 有可数个 ρα 的支集是非空的. 换而言之，即使我们一开始选择的开覆盖 {Uα} 中 有不可数个开集，单位分解过程自动“删除了”它们中的绝大多数，使得仅有可数 个开集保留下来 (它们仍然构成了 M 的开覆盖). 对于任意一点 p, 在开集 Wp 上，(4) 中的求和式[这个求和看上去可能是一个不可数求和， 或者根据上一段，可以是一个可数无限求和] 事实上只是一个有限求和. 这个事实在应用单 位分解时往往是至关重要的. 本节的主要目的是证明： 定理 1.3.4. （单位分解的存在性） ♥ 对于任意光滑流形 M 以及 M 的任意一个开覆盖 {Uα}，均存在从属于 {Uα} 的 一个（光滑）单位分解. 22

1.3单位分解及其应用单位分解存在性的证明单位分解定理的证明依赖于以下来自点集拓扑的技术性引理：引理1.3.5.（两族加细覆盖）对于拓扑流形M的任意开覆盖u=[Ua]，存在M的两族可数开覆盖V=[Vi]和W=[Wi],使得(1)对于任意的j,V,是紧致的，并且V,CWj(2)W 是u 的一个加细：对于任意的 j,存在一个 Q =Q(i)使得 W; C Uα.(3）W是局部有限的：任意pEM均有一个邻域Wp，使得仅有有限个W满足W.nWi+g.A下面先用这个引理证明定理1.3.4，然后再证明引理1.3.5。证明【定理1.3.4的证明】因为V;是紧集并且VCWj，根据定理1.3.1，存在非负函数PiECo（M）使得0≤4i≤1,在上=1,supp(p)cW,因为W是一个局部有限覆盖，函数6=Epjj是M上良好定义的光滑函数.因为每个i是非负的，而V是M的一个开覆盖，故是M上的严格正函数，从而函数3:=24是光滑的，并且满足0≤≤1和，=1.下面通过对函数族【}重新编号，得到从属于开覆盖U。}的单位分解.对于任意的j，先固定一个指标α()，使得WiCUa)，然后定义Pa= ja(i)=α注意上式右侧在每一点的附近都是一个有限求和，因此定义了一个光滑函数，由W的局部有限性，supppa=Usupp=supp=UsuppcUaα()=α()=0α()=0其中第二个等号的原因是“局部有限集族的并集的闭包等于其闭包的并”（如果没有见过这个结论，请尝试证明之。）口于是函数族【pa}就是一个从属于Ua】的单位分解23

1.3 单位分解及其应用 ¶ 单位分解存在性的证明 单位分解定理的证明依赖于以下来自点集拓扑的技术性引理： 引理 1.3.5. （两族加细覆盖） ♦ 对于拓扑流形 M 的任意开覆盖 U = {Uα}, 存在 M 的两族可数开覆盖 V = {Vj} 和 W = {Wj}，使得 (1) 对于任意的 j, V j 是紧致的，并且 V j ⊂ Wj . (2) W 是 U 的一个加细: 对于任意的 j, 存在一个 α = α(j) 使得 Wj ⊂ Uα. (3) W 是局部有限的: 任意 p ∈ M 均有一个邻域 Wp，使得仅有有限个 Wj 满足 Wp ∩ Wj 6= ∅. 下面先用这个引理证明定理1.3.4，然后再证明引理1.3.5。 证明 【定理1.3.4的证明】因为 V j 是紧集并且 V j ⊂ Wj , 根据定理1.3.1，存在非负函数 ϕj ∈ C∞ 0 (M) 使得 0 ≤ ϕj ≤ 1, 在 V j 上 ϕj ≡ 1, supp(ϕj ) ⊂ Wj . 因为 W 是一个局部有限覆盖，函数 ϕ := X j ϕj 是 M 上良好定义的光滑函数. 因为每个 ϕj 是非负的，而 V 是 M 的一个开覆盖, 故 ϕ 是 M 上的严格正函数，从而函数 ψj := ϕj ϕ 是光滑的，并且满足 0 ≤ ψj ≤ 1 和 P j ψj = 1. 下面通过对函数族 {ψj} 重新编号, 得到从属于开覆盖 {Uα} 的单位分解. 对于任意 的 j, 先固定一个指标 α(j)，使得 Wj ⊂ Uα(j) , 然后定义 ρα := X α(j)=α ψj . 注意上式右侧在每一点的附近都是一个有限求和，因此定义了一个光滑函数. 由 W 的局 部有限性， suppρα = [ α(j)=α suppψj = [ α(j)=α suppψj = [ α(j)=α suppψj ⊂ Uα, 其中第二个等号的原因是“局部有限集族的并集的闭包等于其闭包的并”(如果没有见过这 个结论，请尝试证明之。) 于是函数族 {ρα} 就是一个从属于 {Uα} 的单位分解. □ 23

1.3单位分解及其应用引理1.3.5的证明下面证明引理1.3.5.这一证明是非常“几何”的.首先证明引理1.3.6.（穷竭的存在性）对于任意拓扑流形M,存在一个可数开集族X]使得(1)对于任意,X,的闭包X，是紧致的.(2)对于任意 j,X, C Xj+1.(3) M=UjXj.这样一个子集族被称为M的一个穷竭A证明因为M是第二可数的，所以有一个可数的拓扑基，在这个可数开集族中，选取那些闭包是紧致集的开集，并将它们记为Yi.Y2.·：因为M是局部欧氏的，容易看到V=[Y)是M的一个开覆盖.令Xi=Yi.因为V是紧集Xi的开覆盖，存在有限个开集Yi...Yi使得XI CYi, U...UYik.令X2 - Y,UYi U...-UYik显然X2是紧致的.重复这一过程，可得一列满足（1）和(2)的开集X1,X2,X3..它口还满足（3）是因为X=最后我们完成证明：证明【引理1.3.5的证明】对于任意pEM，存在j和α(p使得pEX+i|X,和pEUa(p)：因为M是局部欧氏的，可以选取p的开邻域Vp,Wp使得Vp是紧致的，且VpC Wp C Ua(p) n(Xj+2 / Xj-1).XXi+图1.9:邻域示意图对于任意j，因为“环状区域"Xi+1X是紧致的，所以可以选取有限个点pi，，P使得Ve，，Ve是Xi+1|X，的一个开覆盖.将全体的Ve记为V,V2,，并且将对应的W记为Wi,W2,..则V={Vi)和W=[Wi)都是M的开覆盖，它们满足引理1.3.5中的所有条件.例如，W的局部有限性来自于“仅有有限多个W（对应于上文中口的j-2,j-1,j和+1)与Xi+1|X-1相交”24

1.3 单位分解及其应用 ¶ 引理1.3.5的证明 下面证明引理1.3.5. 这一证明是非常“几何”的. 首先证明 引理 1.3.6. （穷竭的存在性） ♦ 对于任意拓扑流形 M, 存在一个可数开集族 {Xi} 使得 (1) 对于任意 j, Xj 的闭包 Xj 是紧致的. (2) 对于任意 j, Xj ⊂ Xj+1. (3) M = ∪jXj . 这样一个子集族被称为 M 的一个穷竭. 证明 因为 M 是第二可数的，所以有一个可数的拓扑基. 在这个可数开集族中，选取 那些闭包是紧致集的开集，并将它们记为 Y1, Y2, · · · . 因为 M 是局部欧氏的，容易看到 Y = {Yj} 是 M 的一个开覆盖. 令 X1 = Y1. 因为 Y 是紧集 X1 的开覆盖，存在有限个 开集 Yi1 , · · · , Yik 使得 X1 ⊂ Yi1 ∪ · · · ∪ Yik . 令 X2 = Y2 ∪ Yi1 ∪ · · · ∪ Yik . 显然 X2 是紧致的. 重复这一过程，可得一列满足 (1) 和 (2) 的开集 X1, X2, X3, · · · . 它 还满足 (3) 是因为 Xk ⊃ ∪k j=1Yj . □ 最后我们完成证明： 证明 【引理1.3.5的证明】对于任意 p ∈ M, 存在 j 和 α(p) 使得 p ∈ Xj+1 \ Xj 和 p ∈ Uα(p) . 因为 M 是局部欧氏的，可以选取 p 的开邻域 Vp, Wp 使得 V p 是紧致的，且 V p ⊂ Wp ⊂ Uα(p) ∩ (Xj+2 \ Xj−1). 图 1.9: 邻域示意图 对于任意 j, 因为“环状区域”Xj+1\Xj 是紧致的，所以可以选取有限个点 p j 1 , · · · , p j kj 使得 V p j 1 , · · · , Vp j kj 是 Xj+1 \ Xj 的一个开覆盖. 将全体的 V p j k 记为 V1, V2, · · · , 并且将对 应的 W p j k 记为 W1, W2, · · · . 则 V = {Vk} 和 W = {Wk} 都是 M 的开覆盖，它们满足引 理1.3.5中的所有条件. 例如，W 的局部有限性来自于“仅有有限多个 Wk(对应于上文中 的 j − 2,j − 1,j 和 j + 1) 与 Xj+1 \ Xj−1 相交”. □ 24