3.4分布3.4分布3.4.1分布分布设M是m维光滑流形，则对于M上的任意光滑向量场X以及任意pEM，均存在唯一的从p点出发的极大积分曲线p，并且。若X，=0，那么p是常曲线p(t)=p，从而其像是0-维点；。若Xp≠0，那么%p是经过p的1维浸入子流形，从而其像局部上是1维曲线。本节的目的是发展“向量场积分曲线”对应关系的高维版本，为此，首先需要给出向量场的“高维”对应：定义3.4.1.（光滑分布）令M为光滑流形.(1)若对任意点pEM，均指定T,M的一个k维线性子空间Vp，则称V为M上的秩为k的分布.a(2)若V是M上的秩为k的分布，且对于每一点pEM,存在p的邻域U和U上的个光滑向量场Xi,..,X使得对于每点qEU,[Xi(g),*,X(g))构成V。的一组基，则称V为光滑分布若X是M上的一个向量场，V是M上的一个分布，且对于任意PEM，有XpEVp，则称向量场X属于分布V,并记作XET(V)“注意在分析中以及在概率论中，“分布”一词各有其不同的含义。在下文中，如无例外说明，所考虑的分布都是光滑的。接着给出积分曲线的“高维对应”：定义3.4.2（积分流形）设 V 是 M 上的秩为 k 的分布.(1)若i:N→M是维浸入子流形，且对于任意pEN,di:T,N→T,M的像集是Vp，则称N是V的积分流形.(2若对于任意pEM，都存在V的积分流形过p点，则称分布V是可积的.业86
3.4 分布 3.4 分布 3.4.1 分布 ¶ 分布 设 M 是 m 维光滑流形，则对于 M 上的任意光滑向量场 X 以及任意 p ∈ M，均 存在唯一的从 p 点出发的极大积分曲线 γp, 并且 若 Xp = 0, 那么 γp 是常曲线 γp(t) ≡ p，从而其像是 0-维点； 若 Xp 6= 0, 那么 γp 是经过 p 的 1 维浸入子流形，从而其像局部上是 1 维曲线。 本节的目的是发展“向量场 ↭ 积分曲线”对应关系的高维版本. 为此，首先需要给出 向量场的“高维”对应： 定义 3.4.1. （光滑分布） ♣ 令 M 为光滑流形. (1) 若对任意点 p ∈ M，均指定 TpM 的一个 k 维线性子空间 Vp，则称 V 为 M 上的秩为 k 的 分布. a (2) 若 V 是 M 上的秩为 k 的分布，且对于每一点 p ∈ M, 存在 p 的邻域 U 和 U 上的 k 个光滑向量场 X1, · · · , Xk 使得对于每点 q ∈ U, {X1(q), · · · , Xk(q)} 构成 Vq 的一组基，则称 V 为光滑分布. 若 X 是 M 上的一个向量场，V 是 M 上的一个分布，且对于任意 p ∈ M，有 Xp ∈ Vp，则称向量场 X 属于 分布 V，并记作 X ∈ Γ∞(V). a注意在分析中以及在概率论中，“分布”一词各有其不同的含义。 在下文中, 如无例外说明，所考虑的分布都是光滑的. 接着给出积分曲线的“高维对应”: 定义 3.4.2. （积分流形） ♣ 设 V 是 M 上的秩为 k 的分布. (1) 若 ι : N ,→ M 是 k 维浸入子流形，且对于任意 p ∈ N, dιN : TpN → TpM 的像集是 Vp，则称 N 是 V 的积分流形. (2) 若对于任意 p ∈ M，都存在 V 的积分流形过 p 点，则称分布 V 是可积的. 86
3.4分布注意若N1.N都是V的过点p的积分流形，则NiUN2也是V的过点p的积分流形。下面这个引理给出了可积分布中向量场的积分曲线跟该分布的积分流形的关系：引理3.4.3.（积分曲线与积分流形）设V是可积分布，X是属于V的光滑向量场。(1)对于V的任意积分流形N，存在N上的光滑向量场X使得dup(Xp)=Xp对于任意pEN成立：(2)对于任意pEN，设p为X的经过点p的积分曲线，则充分小时p((-e,e)位于V的经过点p的积分流形上A证明假设：N→M是V的积分流形且pEN根据积分流形的定义，对于任意pEN=(N)，存在XET,N使得X=dup(X,)取N的坐标邻域(,U,V)使得(U)是M的嵌入子流形，且取M上相容坐标卡使得U由rk+1=..=am=0给出。则向量场X在相应的N上的坐标向量场i，.·，Ok下的系数跟X在M的坐标向量场01，...，0m下的系数一致（其中X在Ok+1,...，m下的系数为0)。于是由X的光滑性可知X是N上的光滑向量场，即(1)成立。特别地，X在N中有唯一的过p点的极大积分曲线，而由定义该曲线也是X在M中过p点的积分曲线，从而由积分曲线的口唯一性可知（2）成立。分布可积性的例子例3.4.4。向量场，…·，张成Rm中的秩为k的分布V.它是可积的，其积分流形是由以下方程组定义的“超平面”r=ci(k+l≤i≤m).【根据局部Frobenius定理（见定理3.4.19），任意可积分布局部都能表示成这种形式.】例3.4.5.M上的任意非0向量场X可以生成一个秩为1的分布V，其中Vp=R·Xp.注意对于任意fECα(M)，fX是属于V的向量场，且对于任意恒非零的光滑函数f，fX也生成同一个分布V.该分布总是可积的：X的积分曲线的像集就是V的积分流形.例3.4.6.积分流形可以不是M的嵌入子流形.例如，考虑M=Sl×SlCR×R2固定任意无理数a,非0向量场X°=(22.0 -21 2u2010) +a(y?01-02ylQy?的积分流形是M上的“稠密曲线”，（它们都是浸入子流形.）显然，对于M上任意一个秩为1的分布V，存在M上的非0向量场X使得X生成的分布就是V.于是任意秩为1的分布一定是可积的。不过，秩大于1的分布有可能不是可积的：例3.4.7.考虑R3上由以下两个向量场张成的光滑分布V，0220Xi=+X2= 2r287
3.4 分布 注意若 N1, N2 都是 V 的过点 p 的积分流形，则 N1 ∪ N2 也是 V 的过点 p 的积分 流形。 下面这个引理给出了可积分布中向量场的积分曲线跟该分布的积分流形的关系： 引理 3.4.3. （积分曲线与积分流形） ♦ 设 V 是可积分布，X 是属于 V 的光滑向量场。 (1) 对于 V 的任意积分流形 N，存在 N 上的光滑向量场 X ‹ 使得 dιp(X ‹ p) = Xp 对于任意 p ∈ N 成立. (2) 对于任意 p ∈ N, 设 γp 为 X 的经过点 p 的积分曲线，则 ε 充分小时 γp((−ε, ε)) 位于 V 的经过点 p 的积分流形上. 证明 假设 ι : N ,→ M 是 V 的积分流形且 p ∈ N. 根据积分流形的定义，对于任意 p ∈ N = ι(N)，存在 X ‹ p ∈ TpN 使得 Xp = dιp(X ‹ p). 取 N 的坐标邻域 (ϕ, U, V ) 使得 ι(U) 是 M 的嵌入子流形，且取 M 上相容坐标卡使得 U 由 x k+1 = · · · = x m = 0 给出。 则向量场 X ‹ 在相应的 N 上的坐标向量场 ∂1, · · · , ∂k 下的系数跟 X 在 M 的坐标向量场 ∂1, · · · , ∂m 下的系数一致（其中 X 在 ∂k+1, · · · , ∂m 下的系数为 0）。于是由 X 的光滑 性可知 X ‹ 是 N 上的光滑向量场，即 (1) 成立。特别地，X ‹ 在 N 中有唯一的过 p 点的 极大积分曲线，而由定义该曲线也是 X 在 M 中过 p 点的积分曲线，从而由积分曲线的 唯一性可知 (2) 成立。 □ ¶ 分布可积性的例子 例 3.4.4. 向量场 ∂ ∂x1 , · · · , ∂ ∂xk 张成 R m 中的秩为 k 的分布 V. 它是可积的，其积分流 形是由以下方程组定义的“超平面” x i = c i (k + 1 ≤ i ≤ m). 【根据局部 Frobenius 定理（见定理3.4.19），任意可积分布局部都能表示成这种形式.】 例 3.4.5. M 上的任意非 0 向量场 X 可以生成一个秩为 1 的分布 V，其中 Vp = R·Xp. 注意对于任意 f ∈ C∞(M)，fX 是属于 V 的向量场，且对于任意恒非零的光滑函数 f， fX 也生成同一个分布 V. 该分布总是可积的: X 的积分曲线的像集就是 V 的积分流 形. 例 3.4.6. 积分流形可以不是 M 的嵌入子流形. 例如，考虑 M = S 1 × S 1 ⊂ R 2 x × R 2 y . 固定任意无理数 a, 非 0 向量场 Xa = (x 2 ∂ ∂x1 − x 1 ∂ ∂x2 ) + a(y 2 ∂ ∂y1 − y 1 ∂ ∂y2 ) 的积分流形是 M 上的“稠密曲线”. (它们都是浸入子流形.) 显然，对于 M 上任意一个秩为 1 的分布 V，存在 M 上的非 0 向量场 X 使得 X 生成的分布就是 V. 于是任意秩为 1 的分布一定是可积的。不过，秩大于 1 的分布有可 能不是可积的： 例 3.4.7. 考虑 R 3 上由以下两个向量场张成的光滑分布 V， X1 = ∂ ∂x1 + x 2 ∂ ∂x3 , X2 = ∂ ∂x2 . 87
3.4分布下证它没有经过原点的积分流形.事实上，假设V是可积的，且记V的包含原点的积分流形为N，则根据引理3.4.3，N必然也包含向量场X1的经过原点的积分曲线，从而N (t, 0, 0) II<e.类似地，对于任意t，N必然包含向量场X2的经过（t,0,0）的积分曲线，从而N[(t, s, 0) I It], Isl<e.]换句话说，N包含了a1-r2平面中原点的一个开邻域。这说明当t,s充分小时，对于p=(t,s,0)，向量最（作为N的切向量）也在Vp中，但这在80时并不成立，矛盾。Frobenius条件和对合分布因为不是所有分布都可积，因此很自然要问：何时分布是可积的？一个必要条件是容易发现的.直观上，如果M两个向量场都与M的子流形N相切，那么它们的Lie括号也应该和N相切.于是不难得出定理3.4.8.（可积分布中向量场的Lie括号）如果分布V是可积的，则对于任意XYE(V),均有[X,Y]ET(V)证明根据引理3.4.3，存在X,Ye(TN）使得对于任意pEN=(N)，Xp= dip(Xp) 且 Yp= dp(Yp)于是从习题可知对于任意pEN,[X,Y]M = dp([X,Y],)) e Vp口因此[X,YI也属于V.用代数的语言来说，就是对于可积分布V而言，(V)是P(TM)的Lie子代数。定义3.4.9.（对合分布）如果分布V满足Frobenius条件：若X,Yeroo(TM属于V,则[X,Y]也属于那么称V是对合的。例3.4.10.任意秩为1的分布总是是对合的：若V在开集U上是由向量场X生成的分布，则[fX,gX] = (fx(g) - gX(f)X在U中依然在由X生成的分布V里.虽然根据定义，要证明V是对合的，需要对于所有的X,YEV验证Frobenius条件，但下面的引理说明，只要在任意点附近对V中的一组局部光滑基中的向量场验证Frobenius条件即可。其证明留作习题：88
3.4 分布 下证它没有经过原点的积分流形. 事实上，假设 V 是可积的，且记 V 的包含原点的积分 流形为 N，则根据引理3.4.3，N 必然也包含向量场 X1 的经过原点的积分曲线, 从而 N ⊃ {(t, 0, 0) | |t| < ε. 类似地，对于任意 t，N 必然包含向量场 X2 的经过 (t, 0, 0) 的积分曲线，从而 N ⊃ {(t, s, 0) | |t|, |s| < ε.} 换句话说, N 包含了 x 1 -x 2 平面中原点的一个开邻域. 这说明当 t, s 充分小时，对于 p = (t, s, 0)，向量 ∂ ∂x1 (作为 N 的切向量) 也在 Vp 中，但这在 s 6= 0 时并不成立，矛盾。 ¶ Frobenius 条件和对合分布 因为不是所有分布都可积，因此很自然要问：何时分布是可积的？一个必要条件是 容易发现的. 直观上，如果 M 两个向量场都与 M 的子流形 N 相切，那么它们的 Lie 括 号也应该和 N 相切. 于是不难得出 定理 3.4.8. （可积分布中向量场的 Lie 括号） ♥ 如果分布 V 是可积的, 则对于任意 X, Y ∈ Γ∞(V), 均有 [X, Y ] ∈ Γ∞(V). 证明 根据引理3.4.3，存在 X, ‹ Y ‹ ∈ Γ∞(T N) 使得对于任意 p ∈ N = ι(N)， Xp = dιp(X ‹ p) 且 Yp = dιp(Y ‹ p). 于是从习题可知对于任意 p ∈ N, [X, Y ] M p = dιp([X, ‹ Y ‹] N p ) ∈ Vp. 因此 [X, Y ] 也属于 V. □ 用代数的语言来说，就是对于可积分布 V 而言，Γ∞(V) 是 Γ∞(TM) 的 Lie 子代数。 定义 3.4.9. （对合分布） ♣ 如果分布 V 满足 Frobenius 条件: 若 X, Y ∈ Γ∞(TM) 属于 V, 则 [X, Y ] 也属于 V ， 那么称 V 是对合的。 例 3.4.10. 任意秩为 1 的分布总是是对合的：若 V 在开集 U 上是由向量场 X 生成的 分布，则 [fX, gX] = (fX(g) − gX(f))X 在 U 中依然在由 X 生成的分布 V 里. 虽然根据定义，要证明 V 是对合的，需要对于所有的 X, Y ∈ V 验证 Frobenius 条 件，但下面的引理说明，只要在任意点附近对 V 中的一组局部光滑基中的向量场验证 Frobenius 条件即可。其证明留作习题： 88
3.4分布引理3.4.11：（对合性与基）设V为M上秩为k的分布.若对于每点pEM,均存在p的邻域U和k个在U上逐点线性无关的光滑向量场X1,.,XEFo(V)，使得对于所有1≤ij≤k,[Xi,X] 属于V，则V是对合的A例3.4.12.R"中由最，，是张成的分布是对合的，因为aa=0,Vl≤i,j<k.aror例3.4.13.Rn(n≥3)中由a020aXi =X2 =ori+Or30r2张成的分布V不是对合的，因为a[X1, X2] =0r3不在V中Frobenius定理根据定理3.4.8，任意可积分布都是对合的.本节的主要定理是证明反过来也成立，即任意对合分布都是可积的：定理3.4.14.（整体Frobenius定理）设V为秩为k对合分布，那么对于任意pEM,都存在过p的V的唯一的极大连通积分流形（特别地，V是可积的）3在证明之前给出几个例子。例3.4.15：令f：M→N为淹没.对于任意pEM，令Vp=ker(dfp).那么。V是分布，这是由于对于所有的pEM，dimV,=dimM-dimN是常数。V是对合的：如果X,Y是属于V的向量场，那么对于所有的pEM，dfp(Xp)=df,(Yp)=0. 于是对于任意 g E Co(N),X(g o f)(p)=df,(X,)(g)=0对于所有 p成立，即X(gof)=0.类似地Y(g。f)=0.于是dfp([X, Ylp)(g) = [X,Y]p(g o f) = Xp(Y(g o f)) - Yp(X(g o f)) = 0。V是可积的：经过pEM的积分流形是子流形f-1(f(p)）的连通分支例3.4.16.考虑R3中由M=R3-[zl=z2=0上的向量场a10320Xi=TX2=0r3ar2-orl;张成的分布V.因为[X1,X2]=0,V是对合的.它的积分流形是什么？首先计算Xi和X2的积分曲线：X1的经过点（αl,a2,α3）的积分曲线是3_平面上以原点为圆心的圆周而X2的积分曲线是平行于r3-轴的直线。由于对于任意t,s，点1(pX2(al,a2,a3)）都在该分布的经过（a1,α2,a3）的积分流形中，所有这些积分流形恰好是所有以3-轴为中心的圆柱面89
3.4 分布 引理 3.4.11. （对合性与基） ♦ 设 V 为 M 上秩为 k 的分布. 若对于每点 p ∈ M, 均存在 p 的邻域 U 和 k 个在 U 上逐点线性无关的光滑向量场 X1, · · · , Xk ∈ Γ∞(V)，使得对于所有 1 ≤ i, j ≤ k， [Xi , Xj ] 属于 V，则 V 是对合的. 例 3.4.12. R n 中由 ∂ ∂x1 , · · · , ∂ ∂xk 张成的分布是对合的，因为 [ ∂ ∂xi , ∂ ∂xj ] = 0, ∀1 ≤ i, j ≤ k. 例 3.4.13. R n (n ≥ 3) 中由 X1 = ∂ ∂x1 + x 2 ∂ ∂x3 , X2 = ∂ ∂x2 张成的分布 V 不是对合的，因为 [X1, X2] = − ∂ ∂x3 不在 V 中. ¶ Frobenius 定理 根据定理3.4.8，任意可积分布都是对合的. 本节的主要定理是证明反过来也成立，即 任意对合分布都是可积的: 定理 3.4.14. （整体 Frobenius 定理） ♥ 设 V 为秩为 k 对合分布. 那么对于任意 p ∈ M, 都存在过 p 的 V 的唯一的极大连 通积分流形(特别地, V 是可积的). 在证明之前给出几个例子。 例 3.4.15. 令 f : M → N 为淹没. 对于任意 p ∈ M, 令 Vp = ker(dfp). 那么 V 是分布，这是由于对于所有的 p ∈ M，dim Vp = dim M − dim N 是常数. V 是对合的: 如果 X, Y 是属于 V 的向量场, 那么对于所有的 p ∈ M，dfp(Xp) = dfp(Yp) = 0. 于是对于任意 g ∈ C∞(N), X(g ◦ f)(p) = dfp(Xp)(g) = 0 对于所有 p 成立, 即 X(g ◦ f) = 0. 类似地 Y (g ◦ f) = 0. 于是 dfp([X, Y ]p)(g) = [X, Y ]p(g ◦ f) = Xp(Y (g ◦ f)) − Yp(X(g ◦ f)) = 0. V 是可积的: 经过 p ∈ M 的积分流形是子流形 f −1 (f(p)) 的连通分支. 例 3.4.16. 考虑 R 3 中由 M = R 3 − {x 1 = x 2 = 0} 上的向量场 X1 = x 1 ∂ ∂x2 − x 2 ∂ ∂x1 , X2 = ∂ ∂x3 张成的分布 V. 因为 [X1, X2] = 0, V 是对合的. 它的积分流形是什么? 首先计算 X1 和 X2 的积分曲线. X1 的经过点 (a 1 , a2 , a3 ) 的积分曲线是 x 3 -平面上以原点为圆心的圆周, 而 X2 的积分曲线是平行于 x 3 -轴的直线. 由于对于任意 t, s，点 ϕ X1 t (ϕ X2 s (a 1 , a2 , a3 )) 都 在该分布的经过 (a 1 , a2 , a3 ) 的积分流形中，所有这些积分流形恰好是所有以 x 3 -轴为中 心的圆柱面. 89
3.4分布3.4.2Frobenius定理的证明向量场在局部上的拉直首先证明以下有用的引理：引理3.4.17：（拉直一个向量场）设X为M上的光滑向量场，且Xp0.那么存在p附近的局部坐标卡（o,U.V）使得在U上有X=01A证明选择p附近的局部坐标卡(U,g，"）使得Xp=最：在U上有X==15i最，其中S是上的光滑函数。必要时缩小U，可以假设在上有i0.考虑以下常微分方程组dy-si(yl;y",,yn)2≤i≤n.dysi(yl;y2,...yn)"根据常微分方程组的基本理论，局部上对于任意初始值（z2，，2n)，其中[<8，以上方程组都有满足初值条件y(0;22,...,z")=z,2≤i≤n的唯一解y=y'(yl;z?,...,z"),ly'l<e,且其中光滑地依赖于y和.考虑坐标变换yl=zl.y'=y(zl;22,..,2zn), 2<i<n.由于Jacobi矩阵a(yl,...,y")=1,0(21,...,zn)|21=0局部可以进行从（yl，..,yn）到（zl,.*，zn）坐标变换，即存在p的邻域UcU，它的局部坐标为（z1,…，zn)，且在新坐标卡下，a-24%-42品-6元a最后，令(22)=J（并且对于≥2令=，那么[，)口是U上的局部坐标函数，且在U上有X=品注3.4.18．更一般地，如果[X1，，X}是处处线性无关的向量场，且[X,X,]=0对于任意1<ii<k都成立，那么存在局部坐标卡使得X，=（1<i<k）：证明留作练习.注意到条件[X,X,]=0是必要的，因为在任意局部坐标卡中有[α,9]=0.局部Frobenius定理：“拉直”对合分布在证明整体Frobenius定理之前，首先证明以下的局部版本：任意可积对合分布在局部上是“平坦的”，从而是可积的90
3.4 分布 3.4.2 Frobenius 定理的证明 ¶ 向量场在局部上的拉直 首先证明以下有用的引理: 引理 3.4.17. （拉直一个向量场） ♦ 设 X 为 M 上的光滑向量场，且 Xp 6= 0. 那么存在 p 附近的局部坐标卡 (ϕ, U, V ) 使得在 U 上有 X = ∂1. 证明 选择 p 附近的局部坐标卡 (U, y ‹ 1 , · · · , yn ) 使得 Xp = ∂ ∂y1 p . 在 U ‹ 上有 X = Pn i=1 ξi ∂ ∂yi , 其中 ξi 是 U ‹ 上的光滑函数. 必要时缩小 U ‹，可以假设在 U ‹ 上有 ξ1 6= 0. 考 虑以下常微分方程组 dyi dy1 = ξi(y 1 ; y 2 , · · · , yn ) ξ1(y 1; y 2, · · · , yn) , 2 ≤ i ≤ n. 根据常微分方程组的基本理论，局部上对于任意初始值 (z 2 , · · · , zn ), 其中 |z| < ε, 以上 方程组都有满足初值条件 y i (0; z 2 , · · · , zn ) = z i , 2 ≤ i ≤ n 的唯一解 y i = y i (y 1 ; z 2 , · · · , zn ), |y 1 | < ε, 且其中 y i 光滑地依赖于 y 1 和 z j . 考虑坐标变换 y 1 = z 1 , y i = y i (z 1 ; z 2 , · · · , zn ), 2 ≤ i ≤ n. 由于 Jacobi 矩阵 ∂(y 1 , · · · , yn ) ∂(z 1, · · · , zn) z 1=0 = 1, 局部可以进行从 (y 1 , · · · , yn ) 到 (z 1 , · · · , zn ) 坐标变换，即存在 p 的邻域 U ⊂ U ‹, 它的 局部坐标为 (z 1 , · · · , zn )，且在新坐标卡下， X = Xξi ∂ ∂yi = ξ1 X ∂yi ∂z1 ∂ ∂yi = ξ1 ∂ ∂z1 . 最后，令 x 1 (z 1 , · · · , zn ) = R z1 0 dt ξ1(t,z2,··· ,zn) 并且对于 j ≥ 2 令 xj = zj , 那么 {x 1 , · · · , xn} 是 U 上的局部坐标函数，且在 U 上有 X = ∂ ∂x1 . □ 注 3.4.18. 更一般地，如果 {X1, · · · , Xk} 是处处线性无关的向量场，且 [Xi , Xj ] = 0 对于任意 1 ≤ i, j ≤ k 都成立，那么存在局部坐标卡使得 Xi = ∂i（1 ≤ i ≤ k）. 证明留 作练习. 注意到条件 [Xi , Xj ] = 0 是必要的，因为在任意局部坐标卡中有 [∂i , ∂j ] = 0. ¶ 局部 Frobenius 定理: “拉直”对合分布 在证明整体 Frobenius 定理之前，首先证明以下的局部版本: 任意可积对合分布在 局部上是“平坦的”, 从而是可积的. 90