4.3Lie子群4.3Lie子群在定义了Lie群与Lie代数，并初步研究了它们之间的对应之后，本节将在Lie群与Lie代数这两个范畴单定义子对象，并在“给定Lie群的所有Lie子群”和“其对应Lie代数的所有Lie子代数”之间的建立一个良好的对应关系。4.3.1Lie子群v.s.Lie子代数Lie子代数显然，Lie群G的Lie子群应当同时是G的子流形和G的子群：相应地，Lie代数g的Lie子代数应当同时是g的线性子空间和在g的Lie括号下的Lie代数。唯一有一点需要厘清的是：在定义Lie子群时，是应当要求Lie子群是光滑子流形（即嵌入子流形)，还是只需要是浸入子流形？答案是“以目的为导向，适者生存”：哪种定义能给出更好的“Lie子群-Lie子代数对应”就用哪种定义。为此，先研究Lie子代数（其定义是清楚的)，再研究对应的Lie子群。定义4.3.1.（Lie子代数）若h是Lie代数g的一个线性子空间，且满足[X,Y] eh,VX,Y eh,则称 h 为 g 的 Lie 子代数。品例4.3.2.考虑Lie代数g=g(2,R)，以及它的线性子空间(c8):aer), ba=(c 9):0,ber], bs={:a,beR01=容易验证它们都是g=g(2,R)的Lie子代数。注意hi是一个1维的交换Lie子代数，h2是一个2维的交换Lie子代数，而h3是一个2维的非交换Lie子代数.它们对应的GL(2,R）的 Lie子群并不唯一，其中连通Lie子群分别是（将r>0等改为r≠0就得到对应的不连通子群）(6 9):>0], Hz-(69):2,v>0]), Hs-():n≥0ver)H1:此外，W=(c ):a,ber).是g的子空间，却不是它的Lie子代数。Lie子群上面这个例子里，几个Lie子代数对应的Lie子群都是嵌入子流形。然而，下面这个例子则不然：例4.3.3．考虑交换Lie群G=T2，它的Lie代数是赋有平凡Lie括号[,]=0的2维平凡Lie代数g=R2.于是R2的任意线性子空间都是g的Lie子代数因为0维和108
4.3 Lie 子群 4.3 Lie 子群 在定义了 Lie 群与 Lie 代数，并初步研究了它们之间的对应之后，本节将在 Lie 群 与 Lie 代数这两个范畴里定义子对象，并在“给定 Lie 群的所有 Lie 子群”和“其对应 Lie 代数的所有 Lie 子代数”之间的建立一个良好的对应关系。 4.3.1 Lie 子群 v.s.Lie 子代数 ¶ Lie 子代数 显然，Lie 群 G 的 Lie 子群应当同时是 G 的子流形和 G 的子群；相应地，Lie 代数 g 的 Lie 子代数应当同时是 g 的线性子空间和在 g 的 Lie 括号下的 Lie 代数。唯一有一 点需要厘清的是：在定义 Lie 子群时，是应当要求 Lie 子群是光滑子流形(即嵌入子流形), 还是只需要是浸入子流形？ 答案是“以目的为导向，适者生存”：哪种定义能给出更好的“Lie 子群-Lie 子代数 对应”就用哪种定义。为此，先研究 Lie 子代数 (其定义是清楚的)，再研究对应的 Lie 子群。 定义 4.3.1. （Lie 子代数） ♣ 若 h 是 Lie 代数 g 的一个线性子空间，且满足 [X, Y ] ∈ h, ∀X, Y ∈ h, 则称 h 为 g 的 Lie 子代数。 例 4.3.2. 考虑 Lie 代数 g = gl(2, R)，以及它的线性子空间 h1 = ®Ça 0 0 0å : a ∈ R ´ , h2 = ®Ça 0 0 b å : a, b ∈ R ´ , h3 = ®Ça b 0 0å : a, b ∈ R ´ 容易验证它们都是 g = gl(2, R) 的 Lie 子代数. 注意 h1 是一个 1 维的交换 Lie 子代数, h2 是一个 2 维的交换 Lie 子代数, 而 h3 是一个 2 维的非交换 Lie 子代数. 它们对应的 GL(2, R) 的 Lie 子群并不唯一，其中连通 Lie 子群分别是 (将 x > 0 等改为 x 6= 0 就得到对应 的不连通子群) H1 = ®Çx 0 0 1å : x > 0 ´ , H2 = ®Çx 0 0 y å : x, y > 0 ´ , H3 = ®Çx y 0 1å : x > 0, y ∈ R ´ 此外， V1 = ®Ç0 a b 0 å : a, b ∈ R ´ , 是 g 的子空间，却不是它的 Lie 子代数。 ¶ Lie 子群 上面这个例子里，几个 Lie 子代数对应的 Lie 子群都是嵌入子流形。然而，下面这 个例子则不然： 例 4.3.3. 考虑交换 Lie 群 G = T 2，它的 Lie 代数是赋有平凡 Lie 括号 [·, ·] ≡ 0 的 2 维平凡 Lie 代数 g = R 2 . 于是 R 2 的任意线性子空间都是 g 的 Lie 子代数. 因为 0 维和 108
4.3Lie子群2维的情形过于平凡，下面仅考虑1维子代数。任取一个g的1维Lie子代数，hα=R2中斜率为α且过原点的直线.为了得到对应于Lie代数h。的G的Lie子群，需要区分有理斜率的直线与无理斜率的直线：若α=p/q,其中p,q为互素的整数，那么G的具有Lie代数ha的Lie子群等于H"= HP.q := [(eipt,eiqt) I tE R)这类子群全都同构于Sl，并且全都是T2的嵌入子流形，然而，如果α是无理数，那么相应的Lie子群就都是“稠密曲线”，形如H% := {(eit,eiat) [ t e R],它们都只是T?中的浸入子流形，且都同构于R。由于H=T2，它们都不是嵌入子流形。于是，Lie子群“应当”定义为仅要求是浸入子流形而非光滑子流形定义4.3.4（Lie子群）设H是Lie群G的子群，同时也是G的浸入子流形,且群乘法μH：H×H→H(关于H本身的光滑结构）是光滑映射，则称H为G的Lie子群品注4.3.5.事实上，只需假定群乘法μH：H×H→H是连续映射。若H是G的Lie子群，那么包含映射tH：H→G是一个单射Lie群同态LH(μH(h1,h2))=μG(H(h1),LH(h2))注意根据定义，G的Lie子群H上的拓扑与光滑结构不必是作为G的子集从G上继承而来的.注4.3.6.根据例4.3.3，紧Lie群的Lie子群可能是非紧的。Lie子群的Lie子代数下面假设tH：H→G是一个Lie子群，并且设h是H的Lie代数.那么duH：h→g是单射,且根据定义，对于任意Eh，duH(X)是G上由向量XeETH=(duH)e(TH)CT.G生成的左不变向量场.此外，根据定理4.2.8，dH：h→g是Lie代数同态，即dH([X,Y)) =[diH(X),duH(Y),VX,Y eh.所以在将XEh与duH(X)Eg等同起来后，可以认为h是g的一个Lie子代数注4.3.7.注意从左不变向量场的角度看，h给出了G上的一个分布：设G上的左不变向量场X1,,X为h的一组基，则(vh)g=span(Xi)g，,(Xk)g）定义了G上的一个k维分布，h是子代数的条件则说明该分布是对合的。不难发现，H的含单位元的连通分支就是分布vh的经过e的积分子流形根据指数映射的自然性，hdgexPGexPHHHG109
4.3 Lie 子群 2 维的情形过于平凡，下面仅考虑 1 维子代数。任取一个 g 的 1 维 Lie 子代数, hα = R 2中斜率为α且过原点的直线. 为了得到对应于 Lie 代数 ha 的 G 的 Lie 子群, 需要区分有理斜率的直线与无理斜率的 直线: 若 α = p/q, 其中 p, q 为互素的整数, 那么 G 的具有 Lie 代数 hα 的 Lie 子群等于 Hα = Hp,q := {(e ipt, eiqt) | t ∈ R}. 这类子群全都同构于 S 1，并且全都是 T 2 的嵌入子流形. 然而, 如果 α 是无理数, 那么相 应的 Lie 子群就都是“稠密曲线”，形如 Hα := {(e it, eiαt) | t ∈ R}, 它们都只是 T 2 中的浸入子流形，且都同构于 R. 由于 Hα = T 2 , 它们都不是嵌入子流 形。 于是, Lie 子群“应当”定义为仅要求是浸入子流形而非光滑子流形: 定义 4.3.4. （Lie 子群） ♣ 设 H 是 Lie 群 G 的子群，同时也是 G 的浸入子流形，且群乘法 µH : H×H → H(关 于 H 本身的光滑结构) 是光滑映射，则称 H 为 G 的 Lie 子群. 注 4.3.5. 事实上，只需假定群乘法 µH : H × H → H 是连续映射。 若 H 是 G 的 Lie 子群, 那么包含映射 ιH : H ,→ G 是一个单射 Lie 群同态: ιH(µH(h1, h2)) = µG(ιH(h1), ιH(h2)). 注意根据定义，G 的 Lie 子群 H 上的拓扑与光滑结构不必是作为 G 的子集从 G 上继承 而来的. 注 4.3.6. 根据例4.3.3, 紧 Lie 群的 Lie 子群可能是非紧的。 ¶ Lie 子群的 Lie 子代数 下面假设 ιH : H ,→ G 是一个 Lie 子群, 并且设 h 是 H 的 Lie 代数. 那么 dιH : h → g 是单射, 且根据定义，对于任意 ∈ h，dιH(X) 是 G 上由向量 Xe ∈ TeH = (dιH)e(TeH) ⊂ TeG 生成的左不变向量场. 此外，根据定理4.2.8，dιH : h → g 是 Lie 代数同态, 即 dιH([X, Y ] h ) = [dιH(X), dιH(Y )]g , ∀X, Y ∈ h. 所以在将 X ∈ h 与 dιH(X) ∈ g 等同起来后, 可以认为 h 是 g 的一个 Lie 子代数. 注 4.3.7. 注意从左不变向量场的角度看，h 给出了 G 上的一个分布：设 G 上的左不 变向量场 X1 , · · · , Xk 为 h 的一组基，则 (V h )g := span((X1)g, · · · ,(Xk)g) 定义了 G 上 的一个 k 维分布，h 是子代数的条件则说明该分布是对合的. 不难发现，H 的含单位元 的连通分支就是分布 V h 的经过 e 的积分子流形. 根据指数映射的自然性, h dιH −−−−→ g y expH y expG H ιH −−−−→ G 109
4.3Lie子群就得到引理4.3.8.（子群的指数映射）设 H 是 G 的一个 Lie 子群。那么子群的指数映射 exPH : h → H 是指数映射exPG:g→G在子代数h上的限制.A利用指数映射，可以得到下面Lie子群的Lie代数的刻画：定理4.3.9.（Lie子群的Lie代数）假设H是G的Lie子群.那么作为g的Lie子代数，h =[X E g [ 对于任意t E R, 均有 exPc(tX) E H)8证明如果XEh，那么由引理4.3.8，对于任意的tERexPG(tX) = exPH(tX) H反之，固定X&h，下证存在tER使得exp(tX)史H.为此，考察映射 : R × h →G, (t, Y) →exPG(tX)exPG(Y)由 (dexp)o=Id 与 (dμ)e,e(X,Y)=X+Y可得(dp)o.o(T,Y) =TX +Y.由于X史h，（dp)o,0是单射，从而在(0,0)附近是浸入。特别地，存在一个充分小的ε>0以及h中0的邻域U使得将(-s,e)×U单地映入G.必要时缩小U,可以不妨假定exPH将U微分同胚地映到e在H中的一个邻域U.选取e在H中的一个更小的邻域uo，使得u-iuocu.根据第二可数性，存在可数点集{hiljeNcH使得集族[hjuo}覆盖H.对于每个j，记T, = [t eR I expg(tX) ehjUo].下面断言T是一个可数集合，断言的证明：事实上，如果{t-s<且t,sET，那么exPG((t-s)X)=exPG(-sX)expG(tX) EU-"h_1hjUo Cu从而存在唯一的YEU使得exPG(t-s)X)=exPG(Y)，即4(t - s, 0) = (0, Y),因为在(-8,e)×U上是单射,所以Y=0 且 t= 8.于是每个T都是可数集.取tER使得对所有的i都有t&T.则exPc(tX) Uhjuo = H.口这就完成了定理的证明.注4.3.10.注意，XEg且exPG(X)EH并不意味着XEh110
4.3 Lie 子群 就得到 引理 4.3.8. （子群的指数映射） ♦ 设 H 是 G 的一个 Lie 子群. 那么子群的指数映射 expH : h → H 是指数映射 expG : g → G 在子代数 h 上的限制. 利用指数映射, 可以得到下面 Lie 子群的 Lie 代数的刻画: 定理 4.3.9. （Lie 子群的 Lie 代数） ♥ 假设 H 是 G 的 Lie 子群. 那么作为 g 的 Lie 子代数, h = {X ∈ g | 对于任意t ∈ R, 均有 expG(tX) ∈ H}. 证明 如果 X ∈ h, 那么由引理4.3.8，对于任意的 t ∈ R, expG(tX) = expH(tX) ∈ H. 反之，固定 X 6∈ h，下证存在 t ∈ R 使得 expG(tX) 6∈ H. 为此，考察映射 ϕ : R × h → G, (t, Y ) 7→ expG(tX) expG(Y ). 由 (d exp)0 = Id 与 (dµ)e,e(X, Y ) = X + Y 可得 (dϕ)0,0(τ, Y ‹) = τX + Y . ‹ 由于 X 6∈ h, (dϕ)0,0 是单射，从而 ϕ 在 (0, 0) 附近是浸入. 特别地，存在一个充分小的 ε > 0 以及 h 中 0 的邻域 U 使得 ϕ 将 (−ε, ε) × U 单地映入 G. 必要时缩小 U, 可以不 妨假定 expH 将 U 微分同胚地映到 e 在 H 中的一个邻域 U. 选取 e 在 H 中的一个更 小的邻域 U0，使得 U −1 0 U0 ⊂ U. 根据第二可数性，存在可数点集 {hj | j ∈ N} ⊂ H 使 得集族 {hjU0} 覆盖 H. 对于每个 j，记 Tj = {t ∈ R | expG(tX) ∈ hjU0}. 下面断言 Tj 是一个可数集合. 断言的证明：事实上, 如果 |t − s| < ε 且 t, s ∈ Tj , 那么 expG((t − s)X) = expG(−sX) expG(tX) ∈ U −1 0 h −1 j hjU0 ⊂ U. 从而存在唯一的 Y ∈ U 使得 expG((t − s)X) = expG(Y )，即 ϕ(t − s, 0) = ϕ(0, Y ). 因为 ϕ 在 (−ε, ε) × U 上是单射, 所以 Y = 0 且 t = s. 于是每个 Tj 都是可数集. 取 t ∈ R 使得对所有的 j 都有 t 6∈ Tj . 则 expG(tX) 6∈ [ j hjU0 = H. 这就完成了定理的证明. □ 注 4.3.10. 注意, X ∈ g 且 expG(X) ∈ H 并不意味着 X ∈ h. 110
4.3Lie子群线性Lie群/线性Lie代数Lie群中最重要的例子是由矩阵组成的Lie群，其群运算为矩阵乘法：从儿何上看它们表示的是n维线性空间的线性变换。由群元素的可逆性知由n阶方阵组成的所有Lie群中，最大的是由全体可逆变换组成的GL(n,R)定义4.3.11.（线性Lie群）一般线性群GL(n,R）的任意Lie子群都被称为线性Lie群或者矩阵Lie群部分书籍在定义矩阵Lie群时，要求Lie子群是闭集品利用一般线性Lie群GL(n,R）的指数映射A2A-eA=I+A+exp : gl(n,R)→GL(n,R),2!以及定理4.3.9，可以计算线性Lie群的Lie代数例4.3.12.（特殊线性群）特殊线性群SL(n, R) = [X E GL(n, R) : det X = 1)是一个非紧的（n?_1)维线性子群：为了确定它的Lie代数s(n,R)，首先注意到det etA = etTr(A).于是对于 n ×n矩阵 A,etA eSL(n,R)当且仅当Tr(A)=0.故s(n, R) =A E gl(n, R) Tr(A) = 0)例4.3.13.（正交群）接下来考察正交群O(n) = (X E GL(n, R) : XTX = In).它是 GL(n,R)的一个nlnt)维紧 Lie 子群。为了确定它的 Lie 代数 o(n),首先注意到(eA)T=eAT,从而(etA)TetA= In etAT=e-tA由于exp在0附近是双射，所以AEo(n)当且仅当AT=-A，即o(n) = [AEg(n, R) [AT +A= 0)是所有n×n斜对称矩阵组成的空间注意O（n）恰有两个连通分支，其中包含In的连通分支被称为特殊正交群，SO(n)= (X E GL(n,R) : xTX = In, det X = 1) = O(n)nSL(n, R).它的 Lie 代数 so(n)与 o(n)是一样的.Lie子群/Lie代数对应给定Lie群G的任意Lie子群H，可以得到g的一个Lie子代数h.接下来证明g的Lie子代数与G的连通Lie子群之间有一个一一对应：111
4.3 Lie 子群 ¶ 线性 Lie 群/线性 Lie 代数 Lie 群中最重要的例子是由矩阵组成的 Lie 群，其群运算为矩阵乘法：从几何上看， 它们表示的是 n 维线性空间的线性变换。由群元素的可逆性知由 n 阶方阵组成的所有 Lie 群中，最大的是由全体可逆变换组成的 GL(n, R). 定义 4.3.11. （线性 Lie 群） ♣ 一般线性群 GL(n, R) 的任意 Lie 子群都被称为线性 Lie 群或者矩阵 Lie 群a . a部分书籍在定义矩阵 Lie 群时，要求 Lie 子群是闭集. 利用一般线性 Lie 群 GL(n, R) 的指数映射 exp : gl(n, R) → GL(n, R), A 7→ e A = I + A + A2 2! + · · · , 以及定理 4.3.9，可以计算线性 Lie 群的 Lie 代数. 例 4.3.12. (特殊线性群) 特殊线性群 SL(n, R) = {X ∈ GL(n, R) : det X = 1}. 是一个非紧的 (n 2 − 1) 维线性子群. 为了确定它的 Lie 代数 sl(n, R), 首先注意到 det e tA = e tTr(A) . 于是对于 n × n 矩阵 A, e tA ∈ SL(n, R) 当且仅当 Tr(A) = 0. 故 sl(n, R) = {A ∈ gl(n, R) | Tr(A) = 0}. 例 4.3.13. (正交群) 接下来考察正交群 O(n) = {X ∈ GL(n, R) : XT X = In}. 它是 GL(n, R) 的一个 n(n+1) 2 维紧 Lie 子群. 为了确定它的 Lie 代数 o(n), 首先注意到 (e A) T = e AT , 从而 (e tA) T e tA = In ⇐⇒ e tAT = e −tA. 由于 exp 在 0 附近是双射, 所以 A ∈ o(n) 当且仅当 AT = −A，即 o(n) = {A ∈ gl(n, R) | A T + A = 0} 是所有 n × n 斜对称矩阵组成的空间. 注意 O(n) 恰有两个连通分支，其中包含 In 的连通分支被称为 特殊正交群， SO(n) = {X ∈ GL(n, R) : XT X = In, det X = 1} = O(n) ∩ SL(n, R). 它的 Lie 代数 so(n) 与 o(n) 是一样的. ¶ Lie 子群/Lie 代数对应 给定 Lie 群 G 的任意 Lie 子群 H，可以得到 g 的一个 Lie 子代数 h. 接下来证明 g 的 Lie 子代数与 G 的连通 Lie 子群之间有一个一一对应: 111
4.3Lie子群定理4.3.14：（Lie子群-Lie子代数对应）设G是一个Lie群，g是它的 Lie 代数.如果h 是g的一个Lie子代数,那么存在G的唯一一个连通Lie子群H，使得它的Lie代数是h0证明分为4步：构造目标浸入子流形，证明它是子群，是Lie群，以及证明其唯一性。第一步：构造H：【思路：如何从h出发，构造出所求的浸入子流形？参见注记4.3.7】设Xi.，Xk是hCg的一组基.由于X，都是G上的左不变向量场，并且在e处线性无关，所以它们在任意9EG点处都线性无关.令Vg=span(Xi(g),.,X(g))则。V是G上的一个k维分布。此分布是对合的，因为对所有的i,j，都有[X,XlEh于是根据Frobenius定理，分布V存在唯一的经过e的极大连通积分流形，记为H.它是G的一个浸入子流形注意这些左不变向量场所张成的分布V也是“左不变”的，即(dLg1)g2(Vg2) =Vg1g2所以如果N是V的一个积分流形，那么对任意的g，Lg(N）也是它的积分流形第二步：H是一个子群：【思路：如何证明一个元素是包含在极大连通积分子流形H中的？利用H的极大性：如果H'是另一个积分流形并且HnH≠0,那么HCH.I任取hi,h2EH。由于hi=LheEHnLhiH≠O,而H是极大的，所以LhHCH.特别地，hih2= Lhh2 E H.。由于Ln-(h）=eEHnLiH，而H是极大的，所以Lh-iHCH特别地，hi' = Lh-ie e H.于是H是G的子群.第三步：H的光滑性，【光滑性是一个问题，因为H上的拓扑/光滑结构并不来自于G.不过，H的拓扑并不太差：由局部Frobenius定理，在任意点的小邻域中，H是“分层的”，每一层都是嵌入子流形,】首先注意到复合映射μGHxH:H×H-→G×GSG是光滑的.设hih2=hEH，并取h的满足局部Frobenius定理（见定理3.4.19）的邻域U(该邻域是G中开集且以h为中心)，则HnU的包含h的连通分支恰为Ho=[aEU|ak+l=.=an=0].取h1,h2在G中的邻域Ui,U2使得Ui·U2CU(此处使用的是G中乘法的连续性)不妨设Ui,U2充分小使得它们也分别是hi,h2的满足局部Frobenius定理的邻域.令H1,H2分别为在HnUi和HnU2的包含hi,h2的连通分支，则HiHzCHo.由于H上的拓扑与光滑结构是从G中继承的，所以μH：H1×H2→Ho是光滑的。特别地，由h的任意性可知μHH×H→H是连续映射.于是μH：H×H→H是光滑映射112
4.3 Lie 子群 定理 4.3.14. （Lie 子群-Lie 子代数对应） ♥ 设 G 是一个 Lie 群，g 是它的 Lie 代数. 如果 h 是 g 的一个 Lie 子代数, 那么存 在 G 的唯一一个连通 Lie 子群 H，使得它的 Lie 代数是 h. 证明 分为 4 步：构造目标浸入子流形，证明它是子群，是 Lie 群，以及证明其唯一性。 第一步：构造 H:【思路：如何从 h 出发，构造出所求的浸入子流形？参见注记4.3.7】 设 X1, · · · , Xk 是 h ⊂ g 的一组基. 由于 Xi 都是 G 上的左不变向量场, 并且在 e 处 线性无关, 所以它们在任意 g ∈ G 点处都线性无关. 令 Vg = span{X1(g), · · · , Xk(g)}. 则 V 是 G 上的一个 k 维分布. 此分布是对合的, 因为对所有的 i, j，都有 [Xi , Xj ] ∈ h. 于是根据 Frobenius 定理, 分布 V 存在唯一的经过 e 的极大连通积分流形，记为 H. 它 是 G 的一个浸入子流形. 注意这些左不变向量场所张成的分布 V 也是“左不变”的，即 (dLg1 )g2 (Vg2 ) = Vg1g2 . 所以如果 N 是 V 的一个积分流形, 那么对任意的 g，Lg(N) 也是它的积分流形. 第二步：H 是一个子群:【思路: 如何证明一个元素是包含在极大连通积分子流形 H 中的? 利用 H 的 极大性: 如果 H′ 是另一个积分流形并且 H′ ∩ H 6= ∅, 那么 H′ ⊂ H.】 任取 h1, h2 ∈ H. 由于 h1 = Lh1 e ∈ H ∩ Lh1H 6= ∅, 而 H 是极大的, 所以 Lh1H ⊂ H. 特别地， h1h2 = Lh1 h2 ∈ H. 由于 Lh −1 1 (h1) = e ∈ H ∩ Lh −1 1 H, 而 H 是极大的, 所以 Lh −1 1 H ⊂ H. 特别地， h −1 1 = Lh −1 1 e ∈ H. 于是 H 是 G 的子群. 第三步：µH 的光滑性. 【光滑性是一个问题，因为 H 上的拓扑/光滑结构并不来自于 G. 不过，H 的 拓扑并不太差：由局部 Frobenius 定理，在任意点的小邻域中，H 是“分层的”，每一层都是嵌入子流形.】 首先注意到复合映射 µG|H×H : H × H ,→ G × G µ→G G 是光滑的. 设 h1h2 = h ∈ H, 并取 h 的满足局部 Frobenius 定理 (见定理3.4.19) 的邻域 U(该邻域是 G 中开集且以 h 为中心)，则 H ∩ U 的包含 h 的连通分支恰为 H0 = {x ∈ U | x k+1 = · · · = x n = 0}. 取 h1, h2 在 G 中的邻域 U1, U2 使得 U1 · U2 ⊂ U(此处使用的是 G 中乘法的连续性). 不妨设 U1, U2 充分小使得它们也分别是 h1, h2 的满足局部 Frobenius 定理的邻域. 令 H1, H2 分 别为在 H ∩ U1 和 H ∩ U2 的包含 h1, h2 的连通分支，则 H1 · H2 ⊂ H0. 由于 Hi 上的拓 扑与光滑结构是从 G 中继承的, 所以 µH : H1 × H2 → H0 是光滑的. 特别地，由 h 的任 意性可知 µH : H × H → H 是连续映射. 于是 µH : H × H → H 是光滑映射. 112