2.2光滑映射的局部性态2.2光滑映射的局部性态作为光滑映射的线性逼近，微分是研究光滑映射的重要工具。根据定义，线性映射dfp所“编码”的是映射f在点p附近的性态。本节的目的则是反过来，从dfp的性质出发，“解码”出于在P附近的性态。2.2.1反函数定理局部微分同胚根据命题2.1.11若f：M一→N是一个微分同胚，则df，是一个线性同构。反之-个自然的问题是：如果线性化df是一个线性同构，那么f是否是一个微分同胚？例2.2.1.对于M=N=R2-[0]，考虑映射f : R2 / [0) →R?/ [0], (r,y) -(r? -y2,2ry)虽然在每一点（c,y)ER2|[0)处，(2x-2ydf(r.9)22y是一个线性同构，但f不是微分同胚，因为它不可逆：f(r,y)=f(-r,-y)幸运的是，f与微分同胚相差并不是太远：如果用复坐标C-[0]=R2-[0]，则上述映射f事实上是f(2) = 22.于是对于任意z=（c,)ECI[0]，总可以找到z的一个小邻域U,和z2的小邻域V使得限制到U，后flu,U→V.是一个微分同胚。类似地，还可以把该映射限制在S1上，即考虑f : Sl → Sl,f(ei)=e2i0.同样的，df。是线性同构，不是微分同胚，但限制在任何点的小邻域后是微分同胚。事实上，只要存在开集UCM和开集VCN使得f：U→V是微分同胚，那么对于任意pEU，df当然还是线性同构。所以一开始问f是否是微分同胚根本就是错误的提法，正确的提法应该是问f是否在p的某个小邻域中是微分同胚：定义2.2.2.（局部微分同胚）设f：M→N是一个光滑映射，pEM。如果存在包含p的一个开邻域Up和包含f(p)的一个开邻域Vf(p)，使得flu: Up→V(p)是一个微分同胚，则称f在P点附近是一个局部微分同胚。4局部微分同胚依然具有很多好的性质，例如局部微分同胚都是开映射，局部微分同34
2.2 光滑映射的局部性态 2.2 光滑映射的局部性态 作为光滑映射的线性逼近，微分是研究光滑映射的重要工具。根据定义，线性映射 dfp 所“编码”的是映射 f 在点 p 附近的性态。本节的目的则是反过来，从 dfp 的性质 出发，“解码”出 f 在 p 附近的性态。 2.2.1 反函数定理 ¶ 局部微分同胚 根据命题2.1.11，若 f : M → N 是一个微分同胚，则 dfp 是一个线性同构。反之一 个自然的问题是: 如果线性化 dfx 是一个线性同构，那么 f 是否是一个微分同胚？ 例 2.2.1. 对于 M = N = R 2 − {0}，考虑映射 f : R 2 \ {0} → R 2 \ {0}, (x, y) 7→ (x 2 − y 2 , 2xy). 虽然在每一点 (x, y) ∈ R 2 \ {0} 处, df(x,y) = Ñ 2x −2y 2y 2x é , 是一个线性同构，但 f 不是微分同胚，因为它不可逆：f(x, y) = f(−x, −y). 幸运的是，f 与微分同胚相差并不是太远：如果用复坐标 C − {0} = R 2 − {0}，则 上述映射 f 事实上是 f(z) = z 2 . 于是对于任意 z = (x, y) ∈ C \ {0}, 总可以找到 z 的一个小邻域 Uz 和 z 2 的小邻域 Vz, 使得限制到 Uz 后 f|Uz : Uz → Vz 是一个微分同胚. 类似地，还可以把该映射限制在 S 1 上，即考虑 f : S 1 → S 1 , f(e iθ) = e 2iθ . 同样的，dfp 是线性同构，f 不是微分同胚，但限制在任何点的小邻域后是微分同胚。 事实上，只要存在开集 U ⊂ M 和开集 V ⊂ N 使得 f : U → V 是微分同胚，那么 对于任意 p ∈ U，dfp 当然还是线性同构。所以一开始问 f 是否是微分同胚根本就是错 误的提法，正确的提法应该是问 f 是否在 p 的某个小邻域中是微分同胚： 定义 2.2.2. （局部微分同胚） ♣ 设 f : M → N 是一个光滑映射，p ∈ M。如果存在包含 p 的一个开邻域 Up 和包 含 f(p) 的一个开邻域 Vf(p)，使得 f|Ux : Up → Vf(p) 是一个微分同胚，则称 f 在 p 点附近是一个局部微分同胚。 局部微分同胚依然具有很多好的性质，例如局部微分同胚都是开映射，局部微分同 34
2.2光滑映射的局部性态胚的流形具有相同的维数，两个局部微分同胚的复合依然是局部微分同胚等3。例2.2.1表明，一个光滑映射可能在每一点处都是局部微分同胚，但是在整体上并不是微分同胚，因为它未必可逆。这样的例子其实有很多，比如任何光滑覆叠映射都是局部微分同胚（但反之未必）。事实上，跟习题1中局部同胚的情形类似，可递性是一个“处处局部微分同胚”成为整体微分同胚的唯一障碍命题2.2.3.（从局部微分同胚到整体微分同胚）假设光滑映射f：M→N在每一点pEM附近都是一个局部微分同胚.如果f还是可逆的，那么十是一个整体微分同胚证明仅需证明于-1的光滑性，而f-1在任意一点g=f(p）处的光滑性仅依赖于f-1在g附近的行为。因为f是从p的邻域到q的邻域的微分同胚，故f-1是从g的邻域口到p的邻域的光滑映射，从而f-1在g处光滑反函数定理显然若光滑映射f：M→N在p点附近是一个局部微分同胚，则dfp : T,M=T,U→ Tf(p)V=Tf(p)N是一个线性同构。反之，线性范畴中的同构蕴含了光滑范畴中的局部微分同胚定理2.2.4.（流形上的反函数定理）如果f：M→N是光滑映射，且dfp:TpM→Tf(p)N是一个线性同构，那么f在P点附近是局部一个微分同胚V其证明依赖于如下欧氏情形的反函数定理，该定理是隐函数定理的特例，也可以通过压缩映射原理证明，参见[5]的附录或者一般的数学分析教材。定理2.2.5.（欧氏情形的反函数定理）如果 U,V 是 Rn 中的开集，f :U → V 是光滑映射，并且 df 是一个线性同构,那么f在附近是一个局部微分同胚3证明定理2.2.4的证明]取p附近的一个坐标卡（,U,V）和f(p)附近的一个坐标卡(,X,Y)使得f(U)CX.因为:U→V和：X→Y是微分同胚，d(b f o 0-l)(0) = dbg o dpo dol) To(o)V=R" -→ Tu(a)Y = R"是线性同构.由欧氏情形的反函数定理可知，存在(p）的邻域Vi和(g）的邻域Yi使得ofo-1是一个从Vi到Yi的微分同胚.取Ui=-1(Vi)和Xi=-1(Yi).则f=b-1o(ofop-1)op口是从Ui到X1的一个微分同胚.3考虑“带点光滑流形”范畴，其中态射定义为“光滑映射芽”，则局部微分同胚恰好是这个范畴的“等价”。35
2.2 光滑映射的局部性态 胚的流形具有相同的维数，两个局部微分同胚的复合依然是局部微分同胚等3。 例2.2.1表明，一个光滑映射可能在每一点处都是局部微分同胚，但是在整体上并不 是微分同胚，因为它未必可逆。这样的例子其实有很多，比如任何光滑覆叠映射都是局 部微分同胚（但反之未必）。事实上，跟习题 1 中局部同胚的情形类似，可逆性是一个 “处处局部微分同胚”成为整体微分同胚的唯一障碍: 命题 2.2.3. (从局部微分同胚到整体微分同胚) ♠ 假设光滑映射 f : M → N 在每一点 p ∈ M 附近都是一个局部微分同胚. 如果 f 还是可逆的，那么 f 是一个整体微分同胚. 证明 仅需证明 f −1 的光滑性，而 f −1 在任意一点 q = f(p) 处的光滑性仅依赖于 f −1 在 q 附近的行为. 因为 f 是从 p 的邻域到 q 的邻域的微分同胚，故 f −1 是从 q 的邻域 到 p 的邻域的光滑映射，从而 f −1 在 q 处光滑. □ ¶ 反函数定理 显然若光滑映射 f : M → N 在 p 点附近是一个局部微分同胚，则 dfp : TpM = TpU → Tf(p)V = Tf(p)N 是一个线性同构。反之，线性范畴中的同构蕴含了光滑范畴中的局部微分同胚： 定理 2.2.4. （流形上的反函数定理） ♥ 如果 f : M → N 是光滑映射，且 dfp : TpM → Tf(p)N 是一个线性同构，那么 f 在 p 点附近是局部一个微分同胚. 其证明依赖于如下欧氏情形的反函数定理，该定理是隐函数定理的特例，也可以通 过压缩映射原理证明，参见 [5] 的附录或者一般的数学分析教材。 定理 2.2.5. （欧氏情形的反函数定理） ♥ 如果 U, V 是 R n 中的开集，f : U → V 是光滑映射，并且 dfx 是一个线性同构， 那么 f 在 x 附近是一个局部微分同胚. 证明 [定理2.2.4的证明] 取 p 附近的一个坐标卡 (ϕ, U, V ) 和 f(p) 附近的一个坐标卡 (ψ, X, Y ) 使得 f(U) ⊂ X. 因为 ϕ : U → V 和 ψ : X → Y 是微分同胚, d(ψ ◦ f ◦ ϕ −1 )φ(p) = dψq ◦ dfp ◦ dϕ−1 φ(p) : Tφ(p)V = R n → Tψ(q)Y = R n 是线性同构. 由欧氏情形的反函数定理可知，存在 ϕ(p) 的邻域 V1 和 ψ(q) 的邻域 Y1 使 得 ψ ◦ f ◦ ϕ −1 是一个从 V1 到 Y1 的微分同胚. 取 U1 = ϕ −1 (V1) 和 X1 = ψ −1 (Y1). 则 f = ψ −1 ◦ (ψ ◦ f ◦ ϕ −1 ) ◦ ϕ 是从 U1 到 X1 的一个微分同胚. □ 3考虑“带点光滑流形”范畴，其中态射定义为“光滑映射芽”，则局部微分同胚恰好是这个范畴的“等价”。 35
2.2光滑映射的局部性态2.2.2没、浸人和常秩映射没和浸人如果df，不是一个线性同构呢？注意到线性同构既是满射也是单射，研究那些微分为满射或单射的光滑映射是很自然的：定义2.2.6.（淹没与浸人）设f：M→N是一个光滑映射(1)若 dfp:TpM →Tf(p)N是满射，则称 f 在 p点处是淹没.若 f 处处是淹没,则称于是一个淹没映射，(2)若dfp:TpM→ Tf(p)N是单射，则称于在p点处是浸人.若于处处是浸入,则称于是一个浸人映射福显然。如果f在一点处是淹没，那么dimM>dimN。如果f在一点处是浸入，那么dimM<dimN显然任何局部微分同胚都同时是淹没和浸入，下面是两个典范的例子：例2.2.7.（典范淹没）如果m≥n，那么投影映射:Rm-→Rn,(rl,...,am)H(l,...,an)是淹没.例2.2.8.（典范浸人）如果m≤n，那么嵌入映射t:Rm-Rn,(rl,...,am)-(rl,...,rm,0,...,0)是浸入事实上，任何淹没/浸入从局部看都跟以上两种典范情形一致：定理2.2.9.（典范范没定理）设f：M→N是在点pEM处的淹没，那么m=dimM≥n=dimN,并且存在p附近的坐标卡（1,Ui,Vi)和 q=f(p)附近的坐标卡(1,X1,Yi)使得bofoil=V.3定理2.2.10.（典范浸人定理）设f:M→N是在点pEM 处的浸入,那么m=dimM<n=dimN,并且存在p附近的坐标卡(1,Ui,Vi)和 g=f(p)附近的坐标卡（1,Xi,Yi)使得1 0 f 041l =4v1.0这两个定理在处理没和浸入的时候非常有用，我们不分别证明上述两个定理，而是证明一个更一般的定理，即下面的常秩定理，36
2.2 光滑映射的局部性态 2.2.2 淹没、浸入和常秩映射 ¶ 淹没和浸入 如果 dfp 不是一个线性同构呢? 注意到线性同构既是满射也是单射. 研究那些微分 为满射或单射的光滑映射是很自然的: 定义 2.2.6. （淹没与浸入） ♣ 设 f : M → N 是一个光滑映射. (1) 若 dfp : TpM → Tf(p)N 是满射，则称 f 在 p 点处是淹没. 若 f 处处是淹没， 则称 f 是一个淹没映射. (2) 若 dfp : TpM → Tf(p)N 是单射，则称 f 在 p 点处是浸入. 若 f 处处是浸入， 则称 f 是一个浸入映射. 显然 如果 f 在一点处是淹没，那么 dim M ≥ dim N. 如果 f 在一点处是浸入，那么 dim M ≤ dim N. 显然任何局部微分同胚都同时是淹没和浸入. 下面是两个典范的例子： 例 2.2.7. （典范淹没）如果 m ≥ n, 那么投影映射 π : R m → R n , (x 1 , · · · , xm) 7→ (x 1 , · · · , xn ) 是淹没. 例 2.2.8. （典范浸入）如果 m ≤ n, 那么嵌入映射 ι : R m ,→ R n , (x 1 , · · · , xm) 7→ (x 1 , · · · , xm, 0, · · · , 0) 是浸入. 事实上，任何淹没/浸入从局部看都跟以上两种典范情形一致： 定理 2.2.9. （典范淹没定理） ♥ 设 f : M → N 是在点 p ∈ M 处的淹没, 那么 m = dim M ≥ n = dim N, 并且存 在 p 附近的坐标卡 (ϕ1, U1, V1) 和 q = f(p) 附近的坐标卡 (ψ1, X1, Y1) 使得 ψ1 ◦ f ◦ ϕ −1 1 = π|V1 . 定理 2.2.10. （典范浸入定理） ♥ 设 f : M → N 是在点 p ∈ M 处的浸入, 那么 m = dim M ≤ n = dim N, 并且存 在 p 附近的坐标卡 (ϕ1, U1, V1) 和 q = f(p) 附近的坐标卡 (ψ1, X1, Y1) 使得 ψ1 ◦ f ◦ ϕ −1 1 = ι|V1 . 这两个定理在处理淹没和浸入的时候非常有用. 我们不分别证明上述两个定理，而 是证明一个更一般的定理，即下面的常秩定理. 36
2.2光滑映射的局部性态常秩定理在叙述常秩定理之前，需要先定义定义2.2.11.（常秩映射）设f：M→N是光滑映射，pEM.如果存在p的一个邻域U以及常数rEN使得对于任意qEU，线性映射df。的秩为r，则称f为p附近的一个（秩为r的）常秩映射品例2.2.12.如果f在p.点处是一个淹没/浸入，则在p的坐标邻域里，dfp对应的Jacobi矩阵有一个满秩子矩阵。由连续性，存在p的小邻域Up使得对于任意qEUp，对应的子矩阵是满秩的。于是f在P附逝处处是淹没/浸入。换而言之，若于在点处是一个淹没或浸入，那么它在p附近是一个常秩映射.例2.2.13.（“典范”常秩映射）典范淹没和典范浸入的复合是常秩映射Rm - Rr+m-r "R' Rr+n-r-Rn,它将(rl,...,rr,rr+1,...,am)eRm映射到(rl,...,r,0,...,0)eRn.下面证明这样得到的常秩映射是典范的：定理2.2.14（常秩定理）设：M→N是一个在p附近秩恒为r的常秩映射.那么存在p附近的坐标卡(1,Ui,Vi）和f(p）附近的坐标卡（1,Xi,Yi）使得biofop-l(rl,...rm)= (rl,.,ar,o,.,o)证明先证明欧氏情形，然后把一般情形转化成欧氏情况，步骤1：欧氏空间的情形首先假设UCRm是开集，f:U→Rn是光滑映射且对于任意&EU,df的秩为常数T在对于的定义域与值域均复合上适当的平移（注意平移是微分同胚）后，可以假设0EU且f(O)=0.因为rank(df)o=r,通过调整定义域和值域中坐标的次序（注意调整坐标次序是微分同胚）不妨可以假设Jacobi矩阵（）i<i<n,1<j<m的左上角r×r子矩阵在a=0处是非奇异的，从而在=0附近也是非奇异的。定义映射:U→Rm为p(r) = (fi(a),.., fr(),ar+1,.,am).则(0)=0,且微分((%)srdp=0Idn在=0处是非奇异的，由反函数定理，是0附近的局部微分同胚，即存在0在UCRm中的邻域Ui和0在Rm中的邻域Vi使得：Ui→Vi是一个微分同胚.记f op-1(rl,,am) =(gi(r),,9n(r),reVi.37
2.2 光滑映射的局部性态 ¶ 常秩定理 在叙述常秩定理之前，需要先定义 定义 2.2.11. （常秩映射） ♣ 设 f : M → N 是光滑映射，p ∈ M. 如果存在 p 的一个邻域 U 以及常数 r ∈ N 使 得对于任意 q ∈ U，线性映射 dfq 的秩为 r，则称 f 为 p 附近的一个（秩为 r 的） 常秩映射. 例 2.2.12. 如果 f在✿✿✿✿✿✿✿✿✿ p 点处是一个淹没/浸入, 则在 p 的坐标邻域里，dfp 对应的 Jacobi 矩阵有一个满秩子矩阵。由连续性，存在 p 的小邻域 Up 使得对于任意 q ∈ Up，对应的 子矩阵是满秩的。于是 f ✿✿✿✿✿✿✿✿✿ 在 p 附近处处是淹没/浸入。换而言之，若 f 在 p 点处是一个 淹没或浸入，那么它在 p 附近是一个常秩映射. 例 2.2.13. （“典范”常秩映射）典范淹没和典范浸入的复合是常秩映射 R m = R r+m−r π−→ R r ι −→ R r+n−r = R n , 它将 (x 1 , · · · , xr , xr+1 , · · · , xm) ∈ R m 映射到 (x 1 , · · · , xr , 0, · · · , 0) ∈ R n . 下面证明这样得到的常秩映射是典范的： 定理 2.2.14. （常秩定理） ♥ 设 f : M → N 是一个在 p 附近秩恒为 r 的常秩映射. 那么存在 p 附近的坐标卡 (ϕ1, U1, V1) 和 f(p) 附近的坐标卡 (ψ1, X1, Y1) 使得 ψ1 ◦ f ◦ ϕ −1 1 (x 1 , · · · x m) = (x 1 , · · · , xr , 0, · · · , 0). 证明 先证明欧氏情形，然后把一般情形转化成欧氏情况. 步骤 1: 欧氏空间的情形. 首先假设 U ⊂ R m 是开集，f : U → R n 是光滑映射且对于任意 x ∈ U, dfx 的秩为 常数 r. 在对 f 的定义域与值域均复合上适当的平移（注意平移是微分同胚）后，可以假设 0 ∈ U 且 f(0) = 0. 因为 rank(df)0 = r, 通过调整定义域和值域中坐标的次序（注意调整 坐标次序是微分同胚) 不妨可以假设 Jacobi 矩阵 ( ∂fi ∂xj )1≤i≤n,1≤j≤m 的左上角 r × r 子矩阵在 x = 0✿✿处是非奇异的，从而在 x = 0✿✿✿✿✿ 附近也是非奇异的. 定义映射 ϕ : U → R m 为 ϕ(x) = (f1(x), · · · , fr(x), xr+1 , · · · , xm). 则 ϕ(0) = 0, 且微分 dϕ = ÑÄ ∂fi ∂xj ä 1≤i,j≤r ∗ 0 Idn−r é 在 x = 0 处是非奇异的. 由反函数定理, ϕ 是 0 附近的局部微分同胚，即存在 0 在 U ⊂ R m 中的邻域 U1 和 0 在 R m 中的邻域 V1 使得 ϕ : U1 → V1 是一个微分同胚. 记 f ◦ ϕ −1 (x 1 , · · · , xm) = (g1(x), · · · , gn(x)), x ∈ V1. 37
2.2光滑映射的局部性态注意到由定义，f o p-1(fi(r),.*, fr(a),ar+1,..-,zm) = f o-(o(r)) = f(a) = (fi(a),, fn(a))即在0附近有fo-1(a)= (al,...,ar,gr+1(a),...,9n(a),故g1(c)=al,.,9r(a)=a"，而当i≥r+1时有gi(0)=0.此外，由链式法则，Idr0dfg-1(m) (dp-1)=（）+1≤n,r+1m）*关键观察：因为（dp-1)是一个线性同构，“在0附近有rank(dfa）=r”蕴含着“在0附近有rank(df。-1(a)(dp-1)r)=r”，因此在0附近必须有gi=0,Vr+l<i≤n,r+l≤j≤m.dri由此可知，在0的一个小邻域中，gi(a) = gi(rl,..,r"),Vr+l≤i<n.换句话说，在0附近有fop-l(a)=(rl,.,r,gr+i(rl,,),...,gn(rl,...,a)下面“消灭”这些多余的9i：在0附近的一个小邻域里，令b(y) = (yl,,y',yr+l- gr+i(yl,..,y'),..,yn -gn(yl,...,y')从而bofo-l(cl,.,r,ar+1,,an)=(al,.,a,0,...,0)最后只需验证是一个局部微分同胚，而这是反函数定理的推论，因为由定义可得Idr0dabo:*Idn-步骤2：光滑流形的情形通过标准的技巧可以轻松从欧氏情形过渡到一般情形：取P附近的一个坐标邻域(g,U,V)和f(p)附近的一个坐标邻域（,X,Y),使得f(U)CX，并且df。在U上的秩是常数.因为（dp-1)和df(s-1(ar)都是线性同构，而d( o f o-1) = df(p-1(r) odfa-1(r) (dp-1)所以ofo-1：V→Y是常秩r的光滑映射，于是由欧氏空间情形的结论可以得到一口般情形的结论特别地，常秩满射一定是一个淹没，常秩单射一定是一个浸人，而一般的常秩映射在局部总能被写作一个没s和一个浸人j的复合js。38
2.2 光滑映射的局部性态 注意到由定义， f ◦ ϕ −1 (f1(x), · · · , fr(x), xr+1 , · · · , xm) = f ◦ ϕ −1 (ϕ(x)) = f(x) = (f1(x), · · · , fn(x)) 即在 0 附近有 f ◦ ϕ −1 (x) = (x 1 , · · · , xr , gr+1(x), · · · , gn(x)), 故 g1(x) = x 1 , · · · , gr(x) = x r，而当 i ≥ r + 1 时有 gi(0) = 0. 此外，由链式法则， dfφ−1(x) ◦ (dϕ−1 )x = Ñ Idr 0 ∗ Ä ∂gi ∂xj ä r+1≤i≤n,r+1≤j≤m é . 关键观察： 因为 (dϕ−1 )x 是一个线性同构, “在 0 附近有 rank(dfx) = r”蕴含着“在 0 附近有 rank(dfφ−1(x) ◦ (dϕ−1 )x) = r”, 因此在 0 附近必须有 ∂gi ∂xj = 0, ∀r + 1 ≤ i ≤ n, r + 1 ≤ j ≤ m. 由此可知，在 0 的一个小邻域中， gi(x) = gi(x 1 , · · · , xr ), ∀r + 1 ≤ i ≤ n. 换句话说，在 0 附近有 f ◦ ϕ −1 (x) = (x 1 , · · · , xr , gr+1(x 1 , · · · , xr ), · · · , gn(x 1 , · · · , xr )). 下面“消灭”这些多余的 gi：在 0 附近的一个小邻域里，令 ψ(y) = y 1 , · · · , yr , yr+1 − gr+1(y 1 , · · · , yr ), · · · , yn − gn(y 1 , · · · , yr ) , 从而 ψ ◦ f ◦ ϕ −1 (x 1 , · · · , xr , xr+1 , · · · , xn ) = (x 1 , · · · , xr , 0, · · · , 0). 最后只需验证 ψ 是一个局部微分同胚，而这是反函数定理的推论，因为由定义可得 dψ0 = Ñ Idr 0 ∗ Idn−r é . 步骤 2: 光滑流形的情形. 通过标准的技巧可以轻松从欧氏情形过渡到一般情形: 取 p 附近的一个坐标邻域 (ϕ, U, V ) 和 f(p) 附近的一个坐标邻域 (ψ, X, Y ), 使得 f(U) ⊂ X, 并且 dfq 在 U 上的秩 是常数. 因为 (dϕ−1 )x 和 dψf(φ−1(x)) 都是线性同构，而 d(ψ ◦ f ◦ ϕ −1 )x = dψf(φ−1(x)) ◦ dfφ−1(x) ◦ (dϕ−1 )x, 所以 ψ ◦ f ◦ ϕ −1 : V → Y 是常秩 r 的光滑映射, 于是由欧氏空间情形的结论可以得到一 般情形的结论. □ 特别地，常秩满射一定是一个淹没，常秩单射一定是一个浸入，而一般的常秩映射 在局部总能被写作一个淹没 s 和一个浸入 j 的复合 j ◦ s。 38