《微分流形》课程教学资源（英文讲义）第2章光滑映射的微分及其应用 2.5 Whitney嵌入定理.pdf

2.5Whitney嵌入定理2.5Whitney嵌入定理本书s1.1中提到，历史上有两种流形的定义：由Poincare给出的外蕴/具体的定义（即欧氏空间中满足特定约束条件的点集），和由Weyl给出内蕴/抽象的定义（即由局部坐标卡粘合而成的对象）.在20世纪30年代，Whitney证明了这两种定义实际上是相同的.事实上，Whitney的结果比上述结论更强：不仅可以将任何光滑流形嵌入到某个欧氏空间，而且该欧氏空间的维数只要是流形本身维数的两倍左右就够了：定理2.5.1.（Whitney嵌入/浸入定理）(1)任意m维光滑流形M能被嵌入到R2m+1中(2）任意m维光滑流形M能被浸入到R2m中.V注意“浸入到”并不表示“其像集是一个浸入子流形”，因为浸入可以不是单射注2.5.2.通过使用完全不同的技术，Whitney在1944年证明了更强的定理2.5.3.（强Whitney嵌入/浸入定理）任意 m(≥ 2) 维光滑流形能被嵌入到 R2m,且能被浸入到 R2m-1 中.一另一方面，可以证明，Rm中的任意（m－1）维紧致光滑子流形（也称为闭超曲）一定是可定向的.特别地，不可定向闭曲面例如RIP2，Klein瓶等都不能被嵌入到R3中，故强Whitney嵌入定理中的维数是最佳的。在二十世纪下半叶，人们进一步得到了很多有关嵌入和浸入的结果，例如。任意光滑紧致可定向m维流形能被嵌入到R2m-1中。对于m≠2k，任意光滑m维流形能被嵌入到R2m-1.一般地，任意光滑m维流形能被浸入到R2m-a(m）中，其中a(m）是m的二进制展开中出现的1的个数强Whitney嵌入定理的证明超出了本书的范围，该方法被称作“Whitney技巧”，后被Smale进一步发展为h-配边理论并用于证明维数>5情形的Poincare猜想。本节的目的是证明定理2.5.1.我们将先证明简单情形即M是紧流形的情形，然后证明M是非紧流形的情形7在这两种情况下，定理的证明都可以被分解为以下三步：步骤1：将M单射地浸入到维数K充分大的欧氏空间RK中.。背后的想法：流形的每个“小片”微分同胚于Rm中的“小片”，从而能被嵌入到欧氏空间中；两个“相邻的小片”在嵌入时可能会发生重叠，但是只要被嵌入的欧氏空间维数足够高，那么就可以设法避免这种重叠发生步骤2：若K>2m+1，则将RK投影到某个特定的子空间RK-1中。背后的想法：如果所浸入的外围空间的维数非常高，那么沿着某些方向“看过去”时，你将能看到整个流形[即流形没有“自己把自己挡住”1.沿着这个方向作投影，就可以把流形浸入到维数低一维的外围空间步骤3：应用定理2.4.19或定理2.4.20，当流形紧致或映射逆紧时，单射浸入必然是嵌入，7因为紧流形和非紧流形常常具有很大的区别，人们给了它们特殊的名字：闭流形=紧致无边流形，开流形=非紧无边流形.53

2.5 Whitney 嵌入定理 2.5 Whitney 嵌入定理本书 §1.1 中提到，历史上有两种流形的定义: 由 Poincaré 给出的外蕴/具体的定义(即欧氏空间中满足特定约束条件的点集)，和由 Weyl 给出内蕴/抽象的定义(即由局部坐标卡粘合而成的对象). 在 20 世纪 30 年代，Whitney 证明了这两种定义实际上是相同的. 事实上， Whitney 的结果比上述结论更强：不仅可以将任何光滑流形嵌入到某个欧氏空间，而且该欧氏空间的维数只要是流形本身维数的两倍左右就够了：定理 2.5.1. （Whitney 嵌入/浸入定理） ♥ (1) 任意 m 维光滑流形 M 能被嵌入到 R 2m+1 中. (2) 任意 m 维光滑流形 M 能被浸入到 R 2m 中. 注意“浸入到”并不表示“其像集是一个浸入子流形”, 因为浸入可以不是单射. 注 2.5.2. 通过使用完全不同的技术，Whitney 在 1944 年证明了更强的定理 2.5.3. （强 Whitney 嵌入/浸入定理） ♥ 任意 m(≥ 2) 维光滑流形能被嵌入到 R 2m，且能被浸入到 R 2m−1 中. 另一方面，可以证明，R m 中的任意 (m − 1) 维紧致光滑子流形（也称为闭超曲）一定是可定向的. 特别地，不可定向闭曲面例如 RP2 , Klein 瓶等都不能被嵌入到 R 3 中，故强 Whitney 嵌入定理中的维数是最佳的。在二十世纪下半叶，人们进一步得到了很多有关嵌入和浸入的结果，例如任意光滑紧致可定向 m 维流形能被嵌入到 R 2m−1 中. 对于 m 6= 2k , 任意光滑 m 维流形能被嵌入到 R 2m−1 . 一般地，任意光滑 m 维流形能被浸入到 R 2m−a(m) 中, 其中 a(m) 是 m 的二进制展开中出现的 1 的个数. 强 Whitney 嵌入定理的证明超出了本书的范围，该方法被称作“Whitney 技巧”，后被 Smale 进一步发展为 h-配边理论并用于证明维数 ≥ 5 情形的 Poincaré 猜想。本节的目的是证明定理 2.5.1. 我们将先证明简单情形即 M 是紧流形的情形，然后证明 M 是非紧流形的情形7 . 在这两种情况下，定理的证明都可以被分解为以下三步: 步骤 1 : 将 M 单射地浸入到维数 K 充分大的欧氏空间 R K 中. 背后的想法：流形的每个“小片”微分同胚于 R m 中的“小片”，从而能被嵌入到欧氏空间中; 两个“相邻的小片”在嵌入时可能会发生重叠，但是只要被嵌入的欧氏空间维数足够高，那么就可以设法避免这种重叠发生. 步骤 2 : 若 K > 2m + 1, 则将 R K 投影到某个特定的子空间 R K−1 中. 背后的想法：如果所浸入的外围空间的维数非常高，那么沿着某些方向“看过去”时，你将能看到整个流形[即流形没有“自己把自己挡住”]. 沿着这个方向作投影，就可以把流形浸入到维数低一维的外围空间. 步骤 3 : 应用定理2.4.19或定理2.4.20，当流形紧致或映射逆紧时，单射浸入必然是嵌入. 7因为紧流形和非紧流形常常具有很大的区别，人们给了它们特殊的名字: 闭流形= 紧致无边流形，开流形= 非紧无边流形. 53

2.5 Whitney 嵌入定理 2.5.1 Whitney 嵌入定理：紧致情形的证明 ¶ 从紧流形单射浸入到 R N 为了证明紧流形的 Whitney 嵌入定理，我们先证明定理 2.5.4. （紧流形到欧氏空间的单射浸入）任意紧光滑流形 M 可以被单射浸入到足够高维数的 ♥ K 维欧氏空间 R K 中. 证明因为 M 是紧致的，存在有限个坐标卡 {(ϕi , Ui , Vi) | 1 ≤ i ≤ k} 覆盖 M. 令 {ρi | 1 ≤ i ≤ k} 为从属于 {Ui | 1 ≤ i ≤ k} 的一个单位分解. 定义 Φ : M → R k(m+1), p 7→ (ρ1(p)ϕ1(p), · · · , ρk(p)ϕk(p), ρ1(p), · · · , ρk(p)). 则 Φ 是一个单射. 设 Φ(p1) = Φ(p2). 取下标 i 使得 ρi(p1) = ρi(p2) 6= 0. 那么 p1, p2 ∈ supp(ρi) ⊂ Ui . 于是有 ϕi(p1) = ϕi(p2). 但是 ϕi 是双射，故 p1 = p2. Φ 是一个浸入. 对于任意 Xp ∈ TpM, 由 Leibnitz 法则, dΦp(Xp) = (Xp(ρ1)ϕ1(p) + ρ1(p)(dϕ1)p(Xp), · · · , Xp(ρk)ϕk(p) + ρk(p)(dϕk)p(Xp), Xp(ρ1), · · · , Xp(ρk)). 若 dΦp(Xp) = 0, 那么对于所有的 i，都有 Xp(ρi) = 0, 从而 ρi(p)(dϕi)p(Xp) = 0, ∀i. 取下标 i 使得 ρi(p) 6= 0，则 (dϕi)p(Xp) = 0. 由 ϕi 是微分同胚可知 Xp = 0. 因此 dΦp 是单射. □ 注 2.5.5. 事实上，上述证明给出了一个更强的结果: 定理 2.5.6. （有限坐标覆盖 =⇒ 单射浸入到欧氏空间） ♥ 若光滑流形 M 能被有限个坐标卡覆盖，则 M 可被单射浸入到某欧氏空间. ¶ 降维投影接下来应用 Sard 定理证明(注意：此处不假设紧性) 定理 2.5.7. （单射浸入的降维） ♥ 如果 m 维光滑流形 M 可被单射浸入到欧氏空间 R K 中，且 K > 2m + 1, 那么 M 可被单射浸入到 R K−1 中. 证明设 Φ : M → R K 是一个单射浸入，且 K > 2m + 1. 为了构造从 M 到 R K−1 的单射浸入，考虑从 R K 到它的所有 K − 1 维线性子空间的正交投影, 并将 Φ 与每一个这样的投影映射复合. 下证：对于“几乎所有的”投影，该复合映射都是一个单射浸入. 注意 R K 中任意 K − 1 维线性子空间都被它的法方向唯一决定，法方向是过原点的一维直线，而 R K 中所有过原点的直线构成了实射影空间 RPK−1 , 它是一个 K − 1 维光 54

2.5Whitney嵌入定理滑流形.对于任意过原点的直线[]ERPK-1，令Pm=[uE RK [ u-= 0] ~RK-1为直线[]在RK中的正交补空间记：RK→P为RK到这个超平面的正交投影，并令[=[]。重断言：集合[]|不是单射浸入】是RIPK-1中的零测集.于是对几乎所有的[3] eRPK-1,映射Φ[] 是从M 到某个 RK-1 的单射浸入.下面证明断言．首先考虑使得Φ[不是单射的[]。此时可以找到p1≠p2，使得[(p1)=[(p2),即0≠(p1)-(p2)位于直线[]中换句话说，[] = [(p1) - (p2)].因此必然位于光滑映射α : (M × M) /△M → RPK-1, (P1,p2) -→[(p1) -(p2))的像集中，其中△M=[(p,P)IpEM)是M×M中的“对角线”.由于（M×M)\△M是维数为2m<K-1的光滑流形，根据Sard定理的最简单情形，α的像集在RpK-1中是零测集，因此使得Φ[不是单射的[]构成的集合是零测集.最后考虑使得Φ[不是浸入的[]，此时存在pEM和0≠XpETpM使得0 = (d()p(Xp) = (d[可)(p)(d)p(Xp)因为"[ 是线性的，所以d[]="[]:于是非零向量(d)p(Xp)在[] 中，从而[] =[(d)p(Xp)]换句话说，[3]位于光滑映射β: TM /[0) →RPK-1, (p,Xp) →[(dΦ)p(Xp)]的像集中，其中TM\[0}=((p,X)|Xp≠0)是切丛TM的开子流形.因为TM的维数2m<K-1,由Sard定理，β的像集是零测集.故使得Φ不是浸入的[u]也是零口测集，于是断言成立，从而定理得证，注意到以下事实：Xp1=0(d[)(Xp)=0 (d)(岚)所以若不要求浸入是单射，可以修改上述证明的最后一步，再降一维：定理2.5.8.（从嵌入到漫入）如果m维光滑流形M能被嵌入到R2m+1，那么它能被浸入到IR2m3证明概要设重：M→R2m+1是嵌入。重复定理2.5.7证明中的最后一步，并做以下修正，即可证明本定理：选取XET,M使得[X,l=1(因为流形已嵌入欧氏空间，切向量X,ET,M的长度是指欧氏空间中的长度），于是以上证明中的映射β能被替换为映射B : SM -→RP2m, (p,Xp)-→[(d)p(Xp)],其中SM=[(p,Xp)IIX,l=1)一个2m-1维光滑流形，被称作M的单位球丛.55

2.5 Whitney 嵌入定理滑流形. 对于任意过原点的直线 [v] ∈ RPK−1 , 令 P[v] = {u ∈ R K | u · v = 0} ' R K−1 为直线 [v] 在 R K 中的正交补空间. 记 π[v] : R K → P[v] 为 R K 到这个超平面的正交投影，并令 Φ[v] = π[v] ◦ Φ. 断言：集合 [v] | Φ[v]不是单射浸入是 RPK−1 中的零测集. 于是对几乎所有的 [v] ∈ RPK−1 , 映射 Φ[v] 是从 M 到某个 R K−1 的单射浸入. 下面证明断言. 首先考虑使得 Φ[v] 不是单射的 [v]. 此时可以找到 p1 6= p2，使得 Φ[v] (p1) = Φ[v] (p2), 即 0 6= Φ(p1) − Φ(p2) 位于直线 [v] 中. 换句话说, [v] = [Φ(p1) − Φ(p2)]. 因此 [v] 必然位于光滑映射 α : (M × M) \ ∆M → RPK−1 , (p1, p2) 7→ [Φ(p1) − Φ(p2)] 的像集中，其中 ∆M = {(p, p) | p ∈ M} 是 M ×M 中的“对角线”. 由于 (M ×M) \∆M 是维数为 2m < K − 1 的光滑流形, 根据 Sard 定理的最简单情形，α 的像集在 RPK−1 中是零测集. 因此使得 Φ[v] 不是单射的 [v] 构成的集合是零测集. 最后考虑使得 Φ[v] 不是浸入的 [v]，此时存在 p ∈ M 和 0 6= Xp ∈ TpM 使得 0 = (dΦ[v] )p(Xp) = (dπ[v] )Φ(p) (dΦ)p(Xp). 因为 π[v] 是线性的, 所以 dπ[v] = π[v] . 于是非零向量 (dΦ)p(Xp) 在 [v] 中, 从而 [v] = [(dΦ)p(Xp)]. 换句话说, [v] 位于光滑映射 β : TM \ {0} → RPK−1 , (p, Xp) 7→ [(dΦ)p(Xp)] 的像集中，其中 TM \ {0} = {(p, Xp) | Xp 6= 0} 是切丛 TM 的开子流形. 因为 TM 的维数 2m < K − 1, 由 Sard 定理, β 的像集是零测集. 故使得 Φ[v] 不是浸入的 [v] 也是零测集. 于是断言成立，从而定理得证. □ 注意到以下事实： (dΦ[v] )p(Xp) = 0 ⇐⇒ (dΦ[v] )p( Xp |Xp| ) = 0, 所以若不要求浸入是单射，可以修改上述证明的最后一步，再降一维：定理 2.5.8. （从嵌入到浸入） ♥ 如果 m 维光滑流形 M 能被嵌入到 R 2m+1 , 那么它能被浸入到 R 2m. 证明概要设 Φ : M → R 2m+1 是嵌入。重复定理2.5.7证明中的最后一步, 并做以下修正，即可证明本定理：选取 Xp ∈ TpM 使得 |Xp| = 1(因为流形已嵌入欧氏空间，切向量 Xp ∈ TpM 的长度是指欧氏空间中的长度)，于是以上证明中的映射 β 能被替换为映射 β˜ : SM → RP2m, (p, Xp) 7→ [(dΦ)p(Xp)], 其中 SM = {(p, Xp) | |Xp| = 1} 一个 2m − 1 维光滑流形，被称作 M 的单位球丛. □ 55

2.5Whitney嵌入定理紧流形情形下Whitney定理的证明证明设M是m维紧致光滑流形。根据定理2.5.4，定理2.5.7和定理2.4.19，M可被嵌入到R2m+1中。再根据定理2.5.8，M可被浸入到R2m中。口2.5.2Whitney嵌入定理：非紧情形上述证明在流形M非紧时不能完全照搬，因为一方面我们不知道非紧流形是否可以用有限多个坐标卡覆盖虽然答案是“是”，但证明并不简单]，另一方面从非紧流形出发的单射浸入不一定是嵌入，所以还需要把所得的单射浸入改造成逆紧的单射浸入。从非紧流形到RN的单射浸入先证明定理2.5.4的非紧版本：定理2.5.9.（非紧流形到欧氏空间的单射浸入）任意非紧光滑流形M都存在到足够大的维数K的欧氏空间RK的单射浸入，3证明的思路很简单：如果每次嵌入一个流形片的话，无穷多个“杂乱的流形片”不太好浸入到欧氏空间，但如果这些流形片排列很规整，则可能一次性嵌入很多流形片。证明根据习题1，在M上存在光滑穷竭函数f.对于每个iEN，定义M; = f-1([i,i + 1),用有限多个坐标卡Ui,，Uk去覆盖紧集Mi，并且令N;=(UiU.:-UU)nf-1((i-0.1,i+1.1))那么每个N是M的（开）子流形，且MiCN.此外，如果li-≥2，则NinNj=0根据构造，每个N，能被有限多个坐标卡覆盖.故由定理2.5.6，存在从N，到某个（高维）欧氏空间RK的单射浸入.因为Ni是m维光滑（无边）流形，定理2.5.7说明存在从N到IR2m+1的单射浸入(Pi.取光滑鼓包函数pi，使得在M的一个开邻域上pi=1，且supppiCNi（该函数的存在性可由习题1中光滑Urysohn引理保证)，定义ΦM→R4m+3. pi(p)pi(p), pi(p)p;(p), f(p)pH（是奇数是偶数注意上式中的两个“无穷”求和，在每个点pEM的充分小邻域中，至多有一项非零.因此重是光滑映射以下只需要证明重是单射浸入：。重是单射如果(p1)=Φ(p2),那么i eN使得f(p1)=f(p2)[i,i+1].故Pi,p2EMiCN:并且(pi(pi)=(i(p2).因为Pi是单射，所以p1=p2.。重是浸入设pEM不失一般性，设i是奇数.那么对于0≠XpeT,M,dp(Xp) = (dpi)p(Xp),*,*)因为pi是在Uip上是漫入，故（dupi)p(Xp)0，从而dtp(Xp)≠0.这样就完成了证明56

2.5 Whitney 嵌入定理 ¶ 紧流形情形下 Whitney 定理的证明证明设 M 是 m 维紧致光滑流形。根据定理2.5.4，定理2.5.7和定理2.4.19，M 可被嵌入到 R 2m+1 中。再根据定理2.5.8，M 可被浸入到 R 2m 中。 □ 2.5.2 Whitney 嵌入定理：非紧情形上述证明在流形 M 非紧时不能完全照搬，因为一方面我们不知道非紧流形是否可以用有限多个坐标卡覆盖[虽然答案是“是”，但证明并不简单]，另一方面从非紧流形出发的单射浸入不一定是嵌入，所以还需要把所得的单射浸入改造成逆紧的单射浸入。 ¶ 从非紧流形到 R N 的单射浸入先证明定理2.5.4的非紧版本：定理 2.5.9. （非紧流形到欧氏空间的单射浸入）任意非紧光滑流形 ♥ M 都存在到足够大的维数 K 的欧氏空间 R K 的单射浸入. 证明的思路很简单：如果每次嵌入一个流形片的话，无穷多个“杂乱的流形片”不太好浸入到欧氏空间，但如果这些流形片排列很规整，则可能一次性嵌入很多流形片。证明根据习题 1, 在 M 上存在光滑穷竭函数 f. 对于每个 i ∈ N, 定义 Mi = f −1 [i, i + 1] . 用有限多个坐标卡 U1, · · · , Uk 去覆盖紧集 Mi , 并且令 Ni = (U1 ∪ · · · ∪ Uk) ∩ f −1 (i − 0.1, i + 1.1) . 那么每个 Ni 是 M 的 (开) 子流形，且 Mi ⊂ Ni . 此外, 如果 |i − j| ≥ 2, 则 Ni ∩ Nj = ∅. 根据构造，每个 Ni 能被有限多个坐标卡覆盖. 故由定理2.5.6, 存在从 Ni 到某个（高维）欧氏空间 R K 的单射浸入. 因为 Ni 是 m 维光滑 (无边) 流形, 定理2.5.7说明存在从 Ni 到 R 2m+1 的单射浸入 ϕi . 取光滑鼓包函数 ρi，使得在 Mi 的一个开邻域上 ρi = 1，且 suppρi ⊂ Ni (该函数的存在性可由习题 1 中光滑 Urysohn 引理保证). 定义 Φ : M → R 4m+3, p 7→ Ñ X i是奇数 ρi(p)ϕi(p), X i 是偶数 ρi(p)ϕi(p), f(p) é . 注意上式中的两个“无穷”求和，在每个点 p ∈ M 的充分小邻域中, 至多有一项非零. 因此 Φ 是光滑映射. 以下只需要证明 Φ 是单射浸入: Φ 是单射如果 Φ(p1) = Φ(p2), 那么 ∃i ∈ N 使得 f(p1) = f(p2) ∈ [i, i + 1]. 故 p1, p2 ∈ Mi ⊂ Ni 并且 ϕi(p1) = ϕi(p2). 因为 ϕi 是单射, 所以 p1 = p2. Φ 是浸入设 p ∈ Mi . 不失一般性，设 i 是奇数. 那么对于 0 6= Xp ∈ TpM, dΦp(Xp) = ((dϕi)p(Xp), ∗, ∗). 因为 ϕi 是在 Ui 3 p 上是浸入, 故 (dϕi)p(Xp) = 0 6 ，从而 dΦp(Xp) 6= 0. 这样就完成了证明. □ 56

2.5 Whitney 嵌入定理 ¶ 从单射浸入到逆紧单射浸入在很多情况下，把紧流形的性质推广到非紧流形时，只需假设映射的逆紧性即可. 为了应用定理2.4.20，需要先证明定理 2.5.10. （单射浸入 ⇒ 逆紧单射浸入） ♥ 若 m 维光滑非紧流形 M 能被单射浸入到 R K，其中 K > 2m，则它能被逆紧单射浸入到 R K 中. 证明设 Φ : M → R K 是单射浸入。将 Φ 和微分同胚 R K → B K(1) = {x ∈ R K | |x| ≤ 1}, x 7→ x 1 + |x| 2 复合，可以假设对于所有 p ∈ M 都有 |Φ(p)| ≤ 1 成立. 取 M 上任意正的光滑穷竭函数 f, 并且定义 Φ = (Φ e , f) : M → R K+1, p 7→ (Φ(p), f(p)). 则 Φe 也是一个单射浸入，且 K + 1 > 2m + 1. 于是可以重复定理2.5.7的证明, 得到另一个单射浸入 Ψ = π[v] ◦ Φ : e M → R K, 其中 π[v] 是某个投影 π : R K+1 → P[v] ' R K，且总可以选择 [v] 使得 [v] 6= [0 : · · · : 0 : 1]. 下面证明 Ψ 是逆紧的. 不失一般性，假设 v 是单位向量，并记 v = (v ′ , vK+1). 于是条件 [v] 6= [0 : · · · : 0 : 1] 等价于 |v K+1| < 1. 由 |v| = 1 可知 π[v] (x) = x − (x · v)v. 因此 Ψ(p) = (Φ(p), f(p)) − î (Φ(p), f(p)) · (v ′ , vK+1) ó (v ′ , vK+1) = Ä ∗, f(p)[1 − (v K+1) 2 ] − (Φ(p) · v ′ )v K+1ä . 现在证明 Ψ 的逆紧性. 对于任意紧集 C ⊂ P[v] ' R K, ∃A > 0 使得 C ⊂ {x | |x K+1| < A}. 由 |Φ(p)| ≤ 1, |v K+1| ≤ 1 且 |v ′ | ≤ 1 可知 p ∈ Ψ −1 (C) =⇒ f(p)[1 − (v K+1) 2 ] − (Φ(p) · v ′ )v K+1 < A =⇒ f(p)[1 − (v K+1) 2 ] ≤ A + (Φ(p) · v ′ )v K+1 ≤ A + 1. 于是 Ψ−1 (C) ⊂ f −1 ([− A+1 1−|vK+1| 2 , A+1 1−|vK+1| 2 ]). 但是由 Ψ 的连续性可知 Ψ−1 (C) 在 M 中是闭集，而由 f 的逆紧性可知 f −1 ([− A+1 1−|vK+1| 2 , A+1 1−|vK+1| 2 ]) 在 M 中是紧集. 因此 Ψ−1 (C) 是紧集. 故 Ψ 是逆紧的，从而完成了证明. □ ¶ 非紧流形情形 Whitney 定理的证明证明设 M 是 m 维光滑非紧流形。根据定理2.5.9，定理2.5.7，定理2.4.20以及定理2.4.20， M 可被嵌入 R 2m+1。再根据定理2.5.8, M 可被浸入到 R 2m 中. □ 注 2.5.11. 这里事实上证明了更强的结论：任何 m 维光滑流形可被逆紧地嵌入 R 2m+1。注 2.5.12. 对于带边流形同样有 Whitney 嵌入/浸入定理，参见 [2] 第 1 章定理 4.3. 57

《微分流形》课程教学资源（英文讲义）第2章 光滑映射的微分及其应用 2.5 Whitney嵌入定理

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