第二章牛顿动力学方程(上) 参阅教材第一章:第三章) 2.1.质点的牛顿动力学方程概述 的牛顿动力学方程(见§1.2.) 2.质点的动力学定理(参阅§1.4.一§1.6.)均由牛顿动力学方程导出 (作为复习可阅读11,13,16页) 3.质点动力学的三个运动积分(参阅§1.4.一§1.6.) 4.简单实例抛射体单摆(自行复习) *5.变质量质点(参阅§1.7.自行选学) 2.2.在中心力场中单粒子的运动有效势能 中心力场:力场中力的作用线保持通过一固定点O(力心)质点P的矢径产=OP F‖PF=F(r,6,9)为径向单位矢量 注意:这里F与力F的大小F含义不同。事实上F=F,是中心力在径向单位矢量 上的投影。F>0对应于斥力:F<0对应于引力。 中心力场的特点:中心力场可以表为:F=石F=1(x,y)是F的数量函数 角动量守恒:m=F=AF∵中心力场的力矩M=F×F=0∴Fxm=0 即4「F×mi=0,从而得到角动量守恒:L=xm=C(即面积速度守恒) 平面运动:由角动量守恒得LF=CP=Cx+C2y+C=(xm),F=0 所以在中心力场中的质点必在平面C1x+C2y+C3二=0内运动。因而可采用平面极坐 标。从而L=7xm(问+r)=mr0k 角动量守恒可表为mr2=L或r2b=h(h为2倍面积速度) 2.有势力场: F=-V(x,y,),或F=-V(r,6,q) V=;+D;aV或变换到球坐标var ve 其中: Oy =[++9 y ax 7+j+-k|=-=
1 第二章 牛顿动力学方程 （上） （参阅教材第一章；第三章） 2．1．质点的牛顿动力学方程概述 1．质点的牛顿动力学方程（见§1．2．） 2．质点的动力学定理 （参阅§1．4．－§1．6．）均由牛顿动力学方程导出 （作为复习可阅读 11，13，16 页） 3．质点动力学的三个运动积分（参阅§1．4．－§1．6．） 4．简单实例 抛射体 单摆 （自行复习） *5．变质量质点（参阅§1．7．自行选学） 2．2．在中心力场中单粒子的运动 有效势能 1．中心力场：力场中力的作用线保持通过一固定点 O (力心),质点 P 的矢径 r OP = F r F F r e = ( , , ) r r e 为径向单位矢量。 注意：这里 F 与力 F 的大小 F 含义不同。事实上 F F e = r 是中心力在径向单位矢量 上的投影。 F ＞ 0 对应于斥力； F ＜ 0 对应于引力。 中心力场的特点：中心力场可以表为： F r = = ( x y z , , ) 是 r 的数量函数。 角动量守恒： mr F r = = 中心力场的力矩 M r F = = 0 = r mr 0 即 0, d r mr dt = 从而得到角动量守恒： L r mr C = = （即面积速度守恒） 平面运动： 由角动量守恒得 L r C r C x C y C z r mr r = = + + = = 1 2 3 ( ) 0 所以在中心力场中的质点必在平面 1 2 3 C x C y C z + + = 0 内运动。因而可采用平面极坐 标。从而 ( ) 2 L re m re r e mr k = + = r r 角动量守恒可表为 2 mr L = 或 2 r h = （ h 为 2 倍面积速度） 2．有势力场： F V x y z = − ( , , ) ，或 F V r = − ( , , ) V V V V i j k x y z = + + 或变换到球坐标 V V V V r r = + + 其中： V r V V V x x r x x = + + ， V y = ， V z = ，或 r r r r x y z r r i j k i j k e x y z r r r r = + + = + + = =
Vo=-arctan=i+-arctan-j=-22i+ t cos p rsin e V6= 〃S°。(请同学们自行计算,可参阅第一章1.2.节球坐标的有关公式。 于是就得到:F=-VV av1 ap ar rae rsIn 8 dg 3.中心势场:上述两方面条件都要满足,V=M·即势能只与r有关:F=(r) 思考:1.F有势:F=_V:2.F是中心力场:F=F;3.F=F与6,9无 关:F=F():在以上三者中,已知其中两者成立,能否推出另一者也成立? 4.在中心势场中单粒子运动的解(参阅70-71页) 动力学微分方程: m(+20)=0…() F 对上面的微分方程组积分,得到r=r(1),O=(1),消去t得到轨道方程。具体做,可利用 守恒定律(初积分):从(1)得角动量守恒,(h=r26是面积速度的两倍 20=L=mh (3) 在(2)中消去O,得r的微分方程,d求另一个初积分,得能量守恒, 2 其中第二项为离心势能,二、三两项之和V()=2+V()为有效势能。 进一步对(3)和(4)式进行积分(参阅教材(2。7)-(2。9)式)可得运动方程: mru dt+0 mr2() 2
2 ( ) 2 2 2 2 1 1 arctan arctan sin cos sin sin y y y x i j i j i j e x x y x r r x y x y = + = − + = − + = + + 1 sin e r = （请同学们自行计算，可参阅第一章 1．2．节球坐标的有关公式。） 于是就得到： 1 1 ( ) sin r V V V F V e e e r r r = − = − + + 3．中心势场：上述两方面条件都要满足，即 0, 0 V V = = ，即势能只与 r 有关： V V r = ( ) r dV dV F V r e dr dr = − = − = − ， dV F dr = − 思考：1．F 有势： F V = − ；2．F 是中心力场： F Fe = r ；3．F F e = r 与 , 无 关： F F r = ( ) ；在以上三者中，已知其中两者成立，能否推出另一者也成立？ 4．在中心势场中单粒子运动的解 （参阅 70—71 页） 动力学微分方程： ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 0 1 2 m r r dV m r r F dr + = − = = − 对上面的微分方程组积分,得到 r r t t = = ( ), ( ) ,消去 t 得到轨道方程。具体做，可利用 守恒定律（初积分）：从（1）得角动量守恒， ( h 2 = r 是面积速度的两倍,) 2 mr L = = mh. （3） 在（2）中消去 ，得 r 的微分方程， dr 求另一个初积分，得能量守恒， ( ) 2 2 2 2 2 m L r V r E mr + + = （4） 其中第二项为离心势能，二、三两项之和 ( ) ( ) 2 2 2 eff L V r V r mr = + 为有效势能。 进一步对（3）和（4）式进行积分（参阅教材（2。7）—（2。9）式）可得运动方程： ( ) ( ) ( ) 0 0 0 2 2 2 0 5 2 6 ( ) r r t t mrdr t t m E V r r L L dt mr t = + − − = +
和轨道方程 Ldr r 2m[E-v()]2-12 【思考】1.(5)(7)式中的±号怎样确定?(6)式中应该有±号吗? 2.分析以上积分过程中引入的积分常数的物理意义和它们之间的关系 另一种方法:利用比耐(Bine)公式直接求轨道方程,然后求运动方程。(见教材80页)具体 方法如下:利用m20=L可将运动微分方程(2)中的消去(并记=u)事实上, dt de m de l dr mr2 de m i l du 12d2u m de d-u 于是得到比耐公式(轨道微分方程):u +u F de- 方程(8)中的F应满足中心力的要求,但不限于有势力。 积分此微分方程即得到轨道方程u=u(0)或r=r(0)进一步可利用角动量守恒求得运动方 程。在中心力有势的条件下,能量积分可由(4)式经变量代换得到:(也可由比耐公式(8) 积分得到) L(du ++V=E 2ml 5.讨论:(不仅要会定量计算,分析结果的物理意义,也要会分析得到一些定性的结论) ①不变号:得到θ的单调性(增或减随坐标的不同选择而定。) r26=cons.面积速度守恒(本质就是角动量守恒) r:由于角动量守恒,很容易得到r满足的一维方程(利用(3)式消去(2)式中的O) 转变点和轨道的有限性和无限性 可以由r取值的范围判断轨道的有限与无限 道伸向无限。 轨道限制在某一环域内。 也可由势能和总能量的值之间的关系判断轨道的有限与无限 V(∞)>E质点不可能到无限远处(束缚态) (∞)≤E质点可以到无限远处(散射态)
3 和轨道方程： ( ) ( ) 0 0 2 2 7 2 r r Ldr r m E V r r L = + − − 【思考】1．（5）（7）式中的 号怎样确定？（6）式中应该有 号吗？ 2．分析以上积分过程中引入的积分常数的物理意义和它们之间的关系。 另一种方法：利用比耐(Binet)公式直接求轨道方程，然后求运动方程。（见教材 80 页）具体 方法如下： 利用 2 mr L = 可将运动微分方程（2）中的 d dt 消去.(并记 1 u r = )事实上, 2 d d Lu d dt d m d = = 2 L dr L du r mr d m d = = − 2 2 2 2 2 2 ( ) L d L du L d u r u u m d m d m d = − = − 于是得到比耐公式(轨道微分方程)： 2 2 2 2 d u m u u F d L + = − （8） 方程（8）中的 F 应满足中心力的要求，但不限于有势力。 积分此微分方程即得到轨道方程 u u = ( ) 或 r r = ( ) 进一步可利用角动量守恒求得运动方 程。在中心力有势的条件下，能量积分可由（4）式经变量代换得到：（也可由比耐公式（8） 积分得到） 2 2 2 2 L du u V E m d + + = （9） 5．讨论；（不仅要会定量计算，分析结果的物理意义，也要会分析得到一些定性的结论） ○1 不变号：得到 的单调性（增或减随坐标的不同选择而定。） 2 r const = . 面积速度守恒（本质就是角动量守恒） r ：由于角动量守恒，很容易得到 r 满足的一维方程（利用(3)式消去（2）式中的 ） ○2 转变点和轨道的有限性和无限性； 可以由 r 取值的范围判断轨道的有限与无限； min r r 轨道伸向无限。 min max r r r 轨道限制在某一环域内。 也可由势能和总能量的值之间的关系判断轨道的有限与无限； V E ( ) 质点不可能到无限远处（束缚态） V( ) E 质点可以到无限远处（散射态）
*⑥轨道的封闭性的讨论(见71—72页)。 *④中心势场中粒子运动轨道的稳定性(见§3.4.) 【例】与距离成反比的中心势场 (r)∝(牛顿引力势和库仑静电势均属此。)分为两种情况:V(r)=±、(a>0)“+” 对应于排斥势,“一”对应于吸引势。下面我们首先讨论吸引势。万有引力就是一个实例 GMm k =-mkan引力势(r) nu=-au a=mk 其中M:太阳质量,m:行星质量,G万有引力常数;k2=GM太阳的高斯常数(注意: 这里我们设定∞处的势能值为零) 1.利用对有效势能vn=-+ 2m2的定量的分析(必有一负的极小值)得到对粒 子运动情况的定性描述(由势能和总能量的值之间的关系判断轨道的有限与无限)。(见74 75页) 2.利用比耐公式: u +l4= L/am 解得:l=Acos(6-)+n或 1+4(L2/ma)cos(-) 其中A,为积分常数,这是圆锥曲线,力心位于一个焦点。适当选择极轴,使b=0 与圆锥曲线的标准方程r=P 1+ e cose相比较可得 AL2 半通径P=一,偏心率e=Ap 也可利用由能量积分得到的(7)式推导轨道方程(见76页)并与圆锥曲线的标准方 P相比可得;p=E 2ELZ 1+ecos 讨论轨道曲线的几何参数和动力参数之间的关系。(76—77页) 与圆锥曲线的标准方 程相比较就可得到物理参量E,L和几何参量p,e之间的关系 p=L /ma L=√pmx 2E或 2L2 (e2-1)=(e2-1) n 当E<0,e<1,轨道为椭园。与直角坐标系中的椭圆标准方程+y2
4 *○3 轨道的封闭性的讨论（见 71—72 页）。 *○4 中心势场中粒子运动轨道的稳定性 （见§3．4．） 【例】 与距离成反比的中心势场 ( ) 1 V r r （牛顿引力势和库仑静电势均属此。）分为两种情况： V r( ) , 0 ( ) r = “+” 对应于排斥势，“—”对应于吸引势。下面我们首先讨论吸引势。 万有引力就是一个实例 2 2 2 2 2 GMm k m F mk u r r = − = − = − 引力势 2 V r k mu u ( ) = − = − 2 = mk 其中 M :太阳质量; m :行星质量; G :万有引力常数; 2 k GM = 太阳的高斯常数（注意： 这里我们设定 ∞ 处的势能值为零） 1．利用对有效势能 2 2 2 eff L V r mr = − + 的定量的分析（必有一负的极小值）得到对粒 子运动情况的定性描述（由势能和总能量的值之间的关系判断轨道的有限与无限）。（见 74 —75 页） 2． 利用比耐公式： 2 2 2 2 2 2 2 2 d u m m m u u F u d L L r L + = − = − − = 解得： ( 0 ) 2 cos m u A L = − + 或 ( ) 2 2 0 / 1 / cos( ) L m r A L m = + − 其中 0 A, 为积分常数，这是圆锥曲线，力心位于一个焦点。适当选择极轴,使 0 = 0 , 与圆锥曲线的标准方程 1 cos p r e = + 相比较可得： 半通径 2 L p m = ， 偏心率 2 AL e Ap m = = 也可利用由能量积分得到的（7）式推导轨道方程（见 76 页）并与圆锥曲线的标准方 程 1 cos p r e = + 相比可得： 2 L p m = ， 2 2 2 1 EL e m = + 讨论轨道曲线的几何参数和动力参数之间的关系。（76—77 页） 与圆锥曲线的标准方 程相比较就可得到物理参量 E L, 和几何参量 p e, 之间的关系: 2 2 2 / 2 1 p L m EL e m = = + 或 2 2 2 2 ( 1) ( 1) 2 2 L pm m E e e L p = = − = − 当 E 0 ， e 1 ，轨道为椭圆。与直角坐标系中的椭圆标准方程 2 2 2 2 1 x y a b + =
相比较,可得 2E2ma(1-e) E=-a/(2),2=-2mEb2=ma(1-e) 当E=0,轨道为抛物线:当E>0,轨道为双曲线。三类轨道的主要特性,列表比较如下: 轨道的分类 双曲线 抛物线 椭圆 (圆) ≥0 (e=0) E>0 E=0 <0 (==-ma 2L2 当b=0 c-a=a(e-1r= P q a-c=adl-e) (r=a 4=g=1(半实轴)q=2(焦顶距)a (半长轴) L=√mae2-1) L=√2ma L E E=0 E 3.有了轨道方程,可以进一步推导运动方程(78页) 讨论排斥势(78-79页)a→-c,V=+a/r为正,E必须大于零。轨道必定为双曲线 L/am 由r =,P为使r>0,0≤<acos(e-) 1+A(L2/ma)-cos0 当=0,r达到r=c+a(在直角坐标系中的标准方程下,力心所在的焦点和这支双 曲线分别位于原点的左右两侧。) 开普勒( Kepler)三定律(77页) 2.3.质点系的牛顿动力学方程 1.从动力学方面看,一个质点系能不能归结为单个质点的力学问题,要看这些质点间有 没有相互作用力,有没有涉及两个或多个质点的约束关系(此时约束力就是相互作用力)。 10页的实例: (1)忽略太阳的运动,M,=∞忽略行星间相互作用:各行星为独立的质点 (2)太阳质量有限,忽略其余行星的质量:地球与太阳是两体问题 (3)太阳和行星间的所有相互作用均考虑:太阳系是一个质点系 2.质点系的牛顿动力学方程 m =F1=12,…n共3个方程,含3个未知函数(),正好求解
5 相比较，可得： ( ) 2 2 2 1 2 2 1 p L a e E m e = = − = − − , ( ) 2 2 2 2 1 2 L b a e mE = − = − E a = − / 2( ), ( ) 2 2 2 L mEb ma e = − = − 2 1 当 E = 0 ，轨道为抛物线；当 E 0 ，轨道为双曲线。三类轨道的主要特性，列表比较如下： 轨道的分类: 双曲线 抛物线 椭圆 (圆) e 1 e =1 1 0 e ( 0) e = E 0 E = 0 E 0 ( 2 2 2 m E L = − ) 当 = 0 ( 1) 1 p r c a a e e = = − = − + 2 p r q = = (1 ) 1 p r a c a e e = = − = − + ( ) r a = 2 1 p a e = − (半实轴) 2 p q = (焦顶距) 2 1 p a e = − (半长轴) 2 L m a e = − ( 1) L m q = 2 2 L m a e = − (1 ) 2 E a = + E = 0 2 E a = − 3．有了轨道方程，可以进一步推导运动方程（78 页） 讨论排斥势（78—79 页） →− ，V r = + / 为正， E 必须大于零。轨道必定为双曲线。 由 ( ) 2 2 / 1 / cos L m r A L m = + 1 cos p r e − = − 为使 r 0 ， 1 0 arccos( ) e − 当 = 0， r 达到 min r c a = + （在直角坐标系中的标准方程下，力心所在的焦点和这支双 曲线分别位于原点的左右两侧。） 开普勒（Kepler）三定律（77 页） 2．3．质点系的牛顿动力学方程 1．从动力学方面看，一个质点系能不能归结为单个质点的力学问题，要看这些质点间有 没有相互作用力，有没有涉及两个或多个质点的约束关系（此时约束力就是相互作用力）。 10 页的实例： （1）忽略太阳的运动， M s = 忽略行星间相互作用：各行星为独立的质点。 （2）太阳质量有限，忽略其余行星的质量：地球与太阳是两体问题。 （3）太阳和行星间的所有相互作用均考虑：太阳系是一个质点系。 2．质点系的牛顿动力学方程 i i Fi m r = i = 1,2, n 共 3n 个方程，含 3n 个未知函数 r (t) i ，正好求解