《分析力学》课程教学资源（电子教案）第三章拉格朗日力学（上）.doc

第三章拉格朗日力学(上) (参阅教材第二章) 3.1.理想约束达朗伯原理达朗伯方程(动力学基本方程)(教材§2.1.) 1.虚位移和虚功的概念为了系统地讨论处理未知约束力的比较方便的方法,我们引入虚位移和虚功的概念。先来看一个简单实例:一个质点,质量为m,坐标为(x,y,z),已知的主动力F(x,y,=),受到曲面约束∫(x,y,,1)=0, 未知的约束力N(x,y=) mx-F-N=0 动力学方程为:{m-F1-N,=0 m2-F-N.=0 约束方程为:f(xy,=,)=0.包含六个未知函数x,y,N2,N,N2。在曲面光滑的情况下,未知的约束力可表为N=Vf,于是六个未知函数归结为四个未知函数x,y,z,,由上述四个方程决定在时间间隔d中,质点的位移为d(=d+d+k=成h),称为实位移。(由动力学方程唯一决定) F和产+F分别满足时刻t和t+dt的约束方程 f(x,y=,)=0 (x+dx,y+dy, :+d=, t+dr=0 a 从而a+dy+yd+dt=0 这是完整约束加在实位移上的条件在某一时刻t,想象质点发生一个约束所允许的无限小位移。这个虚位移不是由t变化引起,而是满足某一时刻t的约束条件的假想的位移(并不要求满足动力学方程,因而是不唯一的),所以称为虚位移记为:o6F=xi+y+zk(虚位移用δ来记,以示其无限小)。(广义)坐标的虚位移也称为(广义) 坐标的变分(变更),变分的运算和微分相仿,例如6x=∑,但要注意=0,所以这种变分也称为等时变分。F和产+δF均满足同一时刻t的约束方程 f(x,y,=,) s,可fxf f(x+6x,y+6y,z+6=,t)=0 a0=0 这是完整约束加在虚位移上的条件比较完整约束加在虚、实位移上的条件,可知,在稳定约束情形下9=0,和6满足同样的方程,稳定的完整约束下实位移是虚位移中的一个;不稳定的完整约束下实位移不同于虚位移中的任个。由此可见,虚位移其实不是力学中的位移(不需要用动力学方程来决定),它所刻划的是约束曲面的几何性质:全体虚位移组成了某一时刻约束曲面在某一点的切平面。而实位移仅当约束稳定时才位于约束曲面的切平面内。【例】:膨胀着的肥皂泡∫(xy,=,1)=x2+y2+=2-a2=0(不稳定完整约束)

1 第三章拉格朗日力学（上）（参阅教材第二章） 3．1．理想约束达朗伯原理达朗伯方程（动力学基本方程）（教材§2．1．） 1．虚位移和虚功的概念为了系统地讨论处理未知约束力的比较方便的方法，我们引入虚位移和虚功的概念。先来看一个简单实例：一个质点，质量为 m ，坐标为 (x, y,z) ，已知的主动力 F x y z ( , , ) ，受到曲面约束 f (x, y,z,t) = 0 ，未知的约束力 N x y z ( , , ) 。动力学方程为： 0 0 0 x x y y z z mx F N my F N mz F N  − − =   − − =   − − = 约束方程为： f (x, y,z,t) = 0 . 包含六个未知函数 Nx Ny Nz x, y,z, , , 。在曲面光滑的情况下，未知的约束力可表为 N f =  ，于是六个未知函数归结为四个未知函数 x y z , , , ，由上述四个方程决定。在时间间隔 dt 中，质点的位移为 dr  (= + + = dxi dyj dzk rdt) ，称为实位移。（由动力学方程唯一决定） r 和 r dr + 分别满足时刻 t 和 t dt + 的约束方程  ( )  ( )   + + + + = = , , , 0 , , , 0 f x dx y dy z dz t dt f x y z t 从而 = 0   +   +   +   dt t f dz z f dy y f dx x f 这是完整约束加在实位移上的条件。在某一时刻 t, 想象质点发生一个约束所允许的无限小位移。这个虚位移不是由 t 变化引起，而是满足某一时刻 t 的约束条件的假想的位移（并不要求满足动力学方程，因而是不唯一的），所以称为虚位移。记为：     r xi yj zk = + + （虚位移用  来记，以示其无限小）。（广义）坐标的虚位移也称为（广义）坐标的变分（变更），变分的运算和微分相仿，例如： 1 n s s s x x q q   =  =   但要注意 t = 0. ，所以这种变分也称为等时变分。 r 和 r r + 均满足同一时刻 t 的约束方程  ( ) ( ) , , , 0 , , , 0 f x y z t f x x y y z z t     =   + + + =  从而 0 f f f x y z x y z       + + =    这是完整约束加在虚位移上的条件。比较完整约束加在虚、实位移上的条件，可知，在稳定约束情形下 0 t f =   ， i dr 和 i  r 满足同样的方程，稳定的完整约束下实位移是虚位移中的一个；不稳定的完整约束下实位移不同于虚位移中的任一个。由此可见，虚位移其实不是力学中的位移（不需要用动力学方程来决定），它所刻划的是约束曲面的几何性质：全体虚位移组成了某一时刻约束曲面在某一点的切平面。而实位移仅当约束稳定时才位于约束曲面的切平面内。【例】：膨胀着的肥皂泡 f ( ) 2 2 2 2 2 x y z t x y z a t , , , 0 = + + − = （不稳定完整约束）

2 t 时刻质点位于 S 球面 2 2 2 2 2 x y z a t + + − = 0 上的一点 M0 ( , , ) x y z ； 1 t t dt = + 时刻质点位于 1 S 球面 2 2 2 2 2 1 x y z a t + + − = 0 上的一点 M x dx y dy z dz 1 ( + + + , , ) 。dr 是实位移。满足 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 2 2 2 f x dx y dy z dz t dt x dx y dy z dz a t dt + + + + = + + + + + − + = , , , 0 相减得 2 2 2 2 2 0 xdx ydy zdz a tdt + + − = ，即 0 f f dr dt t    + =  或 0 f f f f dx dy dz dt x y z t     + + + =     ，即 0 f f f f x y z x y z t     + + + =     另一点 M0  ( , , ) x x y y z z + + +    在 S 球的切平面内距 M0 无限小。 0 0  r M M =  是虚位移满足方程 f  r = 0   ，与稳定球面约束对实位移所加的限制相同。综上所述，我们把实位移和虚位移这两个概念列表比较如下：实位移 dr 虚位移  r 在时间间隔 dt 真实发生的位移在某一时刻想象发生的位移 (t = 0) 满足约束方程 0 f f dr dt t    + =  满足约束方程   = f r  0 并满足动力学方程不要求满足动力学方程唯一确定不唯一（有无限多个）力学中的概念（真实发生的位移）几何学中的概念（刻画约束曲面的切平面）以上讨论很容易推广到 n 个质点组成的质点系，动力学方程为： i i Fi Ni m r     = ＋其中 Fi 为第 i 个质点所受主动力， Ni 为第 i 个质点所受约束力。有 k 个完整约束 f (r1 , rn ,t) = 0      =1,2, k 使独立的坐标数目减少 k 个。完整约束加在实位移上的条件为 0 1 =     + = dt t f f dr n i i i     =1,2, k 其中 i dr  还应满足动力学方程，是唯一确定的。完整约束加在虚位移上的条件为 1 0 n i i i f r   =   = ＝1，2，k 使独立的坐标变分（虚位移）数目也减少了 k 个。由此可见，独立的坐标的数目和独立的坐标的变分的数目是相等的。对于非完整体系，如果还有 g 个线性非完整约束 ( ) 1 0 N i i i i i i i a x b y c z d     =  + + + =  = 1,2, g

其中aB;,b;,CB;,d2均为坐标和时间的函数线性非完整约束加在实位移上的条件是∑(am+bah+ca)+dd=0 把d改成δ并取δt=0,就得到线性非完整约束加在虚位移上的条件: ∑(an。bx+bby+cb=)=0 比较上两式可知,对于线性非完整约束,实位移是否与某一个虚位移相同,就看dp是否为零。也就是约束方程对于速度是否齐次。几何约束加在虚、实位移上的条件和线性非完整约束具有相似的形式 (Pa∥形式)。不同点在于前者可以积分:后者不可积分,不能像完整约束那样对广义坐标加以限制。因此,非完整约束使独立的坐标变分数目减少,而并不减少独立坐标的数目。我们把力与虚位移的内积F·δF称为虚功,这是因为它与功的形式F·相仿,虽然虚功实际上并不是功。虚功可以用来刻划约束和约束力的某些特点(参阅下节理想约束) 对于光滑曲面约束,约束力N应沿着曲面的法线方向(即f的方向)。但对于非稳定的光滑曲面,约束力一般不与实位移垂直,∵C=8F+d其中:=d-6F是牵连位移,由于约束随时间变化而引起的。即使质点“静止”,由于约束变化引起布∴N·d≠0,也就是说,即使曲面是光滑约束力仍可能做功。然而无论稳定与否,只要约束曲面是光滑的,约束力与虚位移垂直,即N·δF=0 (光滑曲面约束力的虚功为零),这样,引入了虚位移和虚功的概念,就得到可能消去光滑曲面(无论稳定与否)的约束力的一种途径 2.理想约束达朗贝尔原理达朗贝尔方程我们来考虑一般的有完整约束的质点系。动力学方程为m=F+N1=1,2,…,n 约束方程(当然不限于曲面约束)为:f(,2…,,1)=0a=12,…k 对动力学方程移项,可得F+N-mF=0i=1,2,…,n(称为达朗贝尔原理) 如果约束力的虚功之和为零,即满足∑N6=0,(满足此条件的约束称为理想约束)则上述动力学方程就可化为∑(F一m)=0这个方程称为达朗贝尔方程(或称为达朗贝尔一拉格朗日原理,又称动力学基本方程)。显然,上述光滑曲面约束下单质点是理想约束的一个实例。我们回到图1.7的例题,来看看达朗贝尔方程应如何写出由于m1=m,m2=mF=0,F2=-mg,N1=-F,N2=Fk我们得到

3 其中    d  a ,b ,c , i i i 均为坐标和时间的函数。线性非完整约束加在实位移上的条件是 ( ) 1 0 N i i i i i i i a dx b dy c dz d dt     =  + + + = 把 d 改成  , 并取 t = 0 ，就得到线性非完整约束加在虚位移上的条件： ( ) 1 0 N i i i i i i i a x b y c z       =  + + =  = 1,2, g 比较上两式可知，对于线性非完整约束，实位移是否与某一个虚位移相同，就看 d 是否为零。也就是约束方程对于速度是否齐次。几何约束加在虚、实位移上的条件和线性非完整约束具有相似的形式（ Pfaff 形式）。不同点在于前者可以积分；后者不可积分，不能像完整约束那样对广义坐标加以限制。因此，非完整约束使独立的坐标变分数目减少，而并不减少独立坐标的数目。我们把力与虚位移的内积 F r  称为虚功，这是因为它与功的形式 F dr    相仿，虽然虚功实际上并不是功。虚功可以用来刻划约束和约束力的某些特点（参阅下节理想约束）。对于光滑曲面约束，约束力 N 应沿着曲面的法线方向（即 f 的方向）。但对于非稳定的光滑曲面，约束力一般不与实位移垂直，  1 dr r d r = +  其中： 1 dr dr r = − 是牵连位移，由于约束随时间变化而引起的。即使质点“静止”，由于约束变化引起 1 dr  N dr   0 ，也就是说，即使曲面是光滑的，约束力仍可能做功。然而无论稳定与否，只要约束曲面是光滑的，约束力与虚位移垂直，即 N r  =  0 （光滑曲面约束力的虚功为零），这样，引入了虚位移和虚功的概念，就得到可能消去光滑曲面（无论稳定与否）的约束力的一种途径。 2．理想约束达朗贝尔原理达朗贝尔方程我们来考虑一般的有完整约束的质点系。动力学方程为 m r F N i i i i = + i = 1,2,  , n 约束方程（当然不限于曲面约束）为： f r r r t k  ( 1 2 , , , , 0 1,2, n ) = =  对动力学方程移项，可得 0 F N m r i i i i + − = i = 1,2,  , n （称为达朗贝尔原理）如果约束力的虚功之和为零，即满足 0 i i i N r  =  ，（满足此条件的约束称为理想约束）则上述动力学方程就可化为 ( ) 0 i i i i i  F m r r −  =  这个方程称为达朗贝尔方程（或称为达朗贝尔－拉格朗日原理，又称动力学基本方程）。显然，上述光滑曲面约束下单质点是理想约束的一个实例。我们回到图 1．7 的例题，来看看达朗贝尔方程应如何写出：由于 1 2 1 2 1 2 , 0, , , m m m m F F m gk N F e N F k T r T = = = = − = − =   我们得到

m一F一N=[m(-)+月+m(R+2R)。6元=0x+6y=6R已+R ,F2-F2-N,=(mE-F +mg k r=szk 由达朗贝尔原理可得(m-F-N1)D+(m22-F2-N2)Cn2=0 [m(R-R)+F]6R+m(+2月)RC0+(m2-F+mg)5=0 利用z=R-1,一方面可消去不独立坐标z,另一方面由于 N1·+N2·O=-FδR+F6z=0说明这是理想约束,从而得到达朗贝尔方程 [(m+m)R一mR分2+mg]6R+m(R+2R)R=0 变分δR,oq完全独立,系数各自为零,就得到两个方程。(与牛顿动力学方程消去约束力以后的方程相同,见33页(5)(6)式为了正确掌握达朗贝尔方程的适用范围,我们需要知道:哪些约束满足理想约束的条件? ①光滑曲面约束光滑曲线约束(可仿上法进行讨论) (质点和刚体光滑表面的接触也属于上两者) 质量可忽略的刚性杆链接的两质点(刚体内部的约束也是理想约東) ④刚体间以光滑表面或完全粗糙表面(无滑动)相接触轻软不可伸长的绳 ⑥理想的铰链综上所述,我们可以看到 ①.理想约束是光滑曲面约束,曲线约束的推广,但不限于此。如果质点间连接是刚性的,轻的(可忽略质量);刚体间用理想铰链相联结:质点与刚体或刚体与刚体间以理想光滑表面,或完全粗糙表面相接触(没有相对滑动),所受到的约束也是理想约東。因此理想约束涵盖了相当广泛的一大类(没有摩擦或摩檫力不做功的)复杂的由质点和刚体组成的力学体系。(参阅参考资料4.) .引进虚功而不讨论实际的功,讨论理想约束时也可把不稳定约束包括在内。 ⑥.出现摩檫力做功不能忽略的情况时,可将摩檫力看作未知主动力,(通过其他关系求出)而约束仍可认为是理想的。但是,理想约束并不限于上述各种情况,在某些摩檫力做功的不稳定约束情形下,仍可能是理想约束 (例如参考资料3习题4.7.第173页)因此我们判断一个约束是不是理想约束,还是应该根据定义即条件∑N,·D7=0 3.力学体系的自由度般地说,如果质点系有n个质点,有k个完整约束,g个线性非完整约束,则应有(n-k)个独立的广义坐标,③n-k-g)个独立的广义坐标的变分。我们把s=3n-k-g叫做这个力学体系的自由度。也就是说,力学体系的自由度数就是独立的广义坐标的变分的数目。由于完整体系的独立广义坐标的数目和独立广义坐标的变分的数目是相等的,因此完整力学体系的自由度数目就是独立的广义坐标的数目3n-k 3.2.拉格朗日方程(教材§2.3.)

4 ( ) ( ) 2 1 1 1 1 2 2 2 2 2 ( ) T r T m r F N m R R F e m R R e m r F N m z F m g k     − − = − + + +     − − = − +   1 2 r r xi yj R e R e r zk         = + =  +  = 由达朗贝尔原理可得 1 1 1 1 1 2 2 2 2 2 ( ) ( ) 0 m r F N r m r F N r − −  + − −  =   即 ( ) ( ) ( ) 2 2 0 m R R F R m R R R m z F m g z       T T   − + + + + − + =     利用 z R l = − ，一方面可消去不独立坐标 z ，另一方面由于 1 1 2 2 0 N r N r F R F z     T T  +  = − + = 说明这是理想约束，从而得到达朗贝尔方程 ( ) ( ) 2   m m R mR mg R m R R R + − + + + =       2 0   变分   R, 完全独立，系数各自为零，就得到两个方程。（与牛顿动力学方程消去约束力以后的方程相同，见 33 页（5）（6）式）为了正确掌握达朗贝尔方程的适用范围，我们需要知道：哪些约束满足理想约束的条件？ ○1 光滑曲面约束 ○2 光滑曲线约束（可仿上法进行讨论）（质点和刚体光滑表面的接触也属于上两者） ○3 质量可忽略的刚性杆链接的两质点（刚体内部的约束也是理想约束） ○4 刚体间以光滑表面或完全粗糙表面（无滑动）相接触 ○5 轻软不可伸长的绳 ○6 理想的铰链综上所述，我们可以看到， ○1 ．理想约束是光滑曲面约束，曲线约束的推广，但不限于此。如果质点间连接是刚性的，轻的（可忽略质量）；刚体间用理想铰链相联结；质点与刚体或刚体与刚体间以理想光滑表面，或完全粗糙表面相接触（没有相对滑动），所受到的约束也是理想约束。因此理想约束涵盖了相当广泛的一大类（没有摩擦或摩檫力不做功的）复杂的由质点和刚体组成的力学体系。（参阅参考资料 4．） ○2 ．引进虚功而不讨论实际的功，讨论理想约束时也可把不稳定约束包括在内。 ○3 ．出现摩檫力做功不能忽略的情况时，可将摩檫力看作未知主动力，（通过其他关系求出）而约束仍可认为是理想的。但是，理想约束并不限于上述各种情况，在某些摩檫力做功的不稳定约束情形下，仍可能是理想约束。（例如参考资料 3 习题 4．7．第 173 页）因此我们判断一个约束是不是理想约束，还是应该根据定义，即条件 0 i i i N r  =  。 3．力学体系的自由度一般地说，如果质点系有 n 个质点，有 k 个完整约束， g 个线性非完整约束，则应有 (3n − k) 个独立的广义坐标，（3n − k − g）个独立的广义坐标的变分。我们把 s = 3n − k − g 叫做这个力学体系的自由度。也就是说，力学体系的自由度数就是独立的广义坐标的变分的数目。由于完整体系的独立广义坐标的数目和独立广义坐标的变分的数目是相等的，因此完整力学体系的自由度数目就是独立的广义坐标的数目 3n − k 。 3．2．拉格朗日方程（教材§2．3．）

5 1．第一类拉格朗日方程拉格朗日乘子法（参阅参考资料 1．§5．2 第 277 页；参考资料 4．§3） 2．（第二类）拉格朗日方程（基本形式的拉格朗日方程）的推导为了方便地运用达朗贝尔方程，我们还需要用独立的广义坐标来表达。从达朗贝尔方程 ( ) 1 0 n i i i i i F m r r  =  −  = (1) 出发，利用坐标变换（换为独立的广义坐标 q ） 1 s i i r r q q      =  =    得 1 1 1 0 s n n i i i i i i i r r F m r q q q      = = =        −  =          中第一项   Q q r F n i i i      =1   称为对应于广义坐标  q 的广义力,是主动力在(由广义坐标构成的曲线坐标系的)坐标曲线的切线方向上的投影之和（可能相差一个函数因子，其量纲也可能与力不同；因而广义力可以不是力，例如：力矩也是一种广义力）；第二项 1 1 1 n n n i i i i i i i i i i i i i i i i r r r r r d d d d T T m r m r r m r r q dt q dt q dt q q dt q q = = =                        =  −  =  −  = −                             是加速度乘以质量在对应的坐标曲线的切线方向上的投影之和(参阅第一章任意曲线坐标系)。其中 2 1 1 2 n i i i T m r = =  为动能。推导过程中运用了第一、第二两个经典拉格朗日关系 kkk v r r qqq    = =  和 kkk d r r v dt q q q    = =  代入达朗贝尔方程，得 1 0 s d T T Q q dt q q       =       − +  =      (2) 由于   q 是相互独立的（这里就用到了约束的完整性。如果有非完整约束，即使对于独立的广义坐标 q ，其变分 q  也不完全独立），就得理想、完整体系的普遍方程－—拉格朗日方程：    Q q T q T dt d =   −     = 1,2,  ,s (3) 【思考】○1 .为什么不能直接令达朗贝尔方程(1)中各项系数为零而能够令(2)式中各项系数为零？ ○2 .对于直角坐标和平面极坐标分别讨论拉格朗日方程中(3)的各项的具体形式和它们的物理意义。 3．拉格朗日方程的各种形式（1）基本形式：    Q q T q T dt d =   −     = 1,2,  ,s 这是理想、完整体系的普遍方程－—基本形式的拉格朗日方程（2）保守系：如果主动力均为保守力 F V r r t i i i n = − ( , , , ) ，则

《分析力学》课程教学资源（电子教案）第三章 拉格朗日力学（上）

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