《分析力学》课程教学资源（电子教案）第四章 哈密顿力学（上）

第四章哈密顿力学(上) 4.1.哈密顿正则方程 1.第三章介绍了拉格朗日力学。本章介绍分析力学的另一重要组成部分:哈密顿力学。 2.广义坐标和共轭动量正则共轭坐标(正则变量)。 力学的发展是和坐标概念的拓展紧密相连,力学问题的顺利解决往往借助于坐标的适当选择。 我们已经看到了坐标概念的拓展:直角坐标系→曲线坐标→广义坐标。哈密顿正则方程的建立也 是和坐标概念的拓展紧密相连的。 我们已经学过,对于广义坐标qn,可以引入广义动量P。第个义动量可能是动量,角 OL 动量等,总之不是原来意义下的“坐标”;我们还注意到:如果两个拉氏量只满足如下的关系式: L(q,1)-L(q,9) df(a, t) d,它们将给出同样的拉氏方程,但给出不同的广义动量,由于 ∫和λ是完全任意的,所以广义动量与广义坐标是相互独立的,并处于平等(但并不相同)的地 位,合称为正则共轭坐标(或正则变量)。于是s维广义坐标的位形空间就被拓广为2s维的正则 共轭坐标的相空间。相空间的“正则共轭坐标”不仅刻划质点的位置,而且刻划质点的运动状态。 这样,以广义坐标为未知函数的拉格朗日方程就代之以以正则共轭坐标为未知函数的正则方程。 由广义坐标到正则共轭坐标,是坐标概念的又一次重要的飞跃,对力学以至对整个物理学的 发展产生了深刻的影响。随着正则共轭坐标的引入而建立起来的哈密顿正则方程和由此发展起来 的内容极为丰富的哈密顿力学,不仅为求解拉格朗日方程提供了又一有效方法和途径,而且对理 论物理的发展产生了深刻的影响,特别是对量子力学的建立与发展起了积极推动作用 3.勒让德变换 从数学的角度看,引入广义动量,也就是用降阶法(高阶常微分方程(组)可以化为未知函 数个数更多,方程数更多的一阶常微分方程组)来解拉格朗日方程。因此哈密顿正则方程的建立 提供了解拉格朗日方程的又一种方法 最简单易行的降阶法:只要令q。≡y’就可以把拉格朗日方程(含S个未知函数q。的S个二 阶常微分方程组成的方程组)。 d a aL dt 化为含2个未知函数qn,y的2S个一阶常微分方程组成的方程组 d a aL o L=L(qa, Ja, u=L(qa,qa, 1) dt ay 1.2 但是这样做对解方程可能帮助不大。另一种方法,25个未知函数取为,P=2,则得到如下 的一阶常微分方程组

1 第四章 哈密顿力学 （上） 4．1．哈密顿正则方程 1．第三章介绍了拉格朗日力学。本章介绍分析力学的另一重要组成部分：哈密顿力学。 2．广义坐标和共轭动量 正则共轭坐标（正则变量）。 力学的发展是和坐标概念的拓展紧密相连，力学问题的顺利解决往往借助于坐标的适当选择。 我们已经看到了坐标概念的拓展：直角坐标系  曲线坐标  广义坐标。哈密顿正则方程的建立也 是和坐标概念的拓展紧密相连的。 我们已经学过，对于广义坐标  q ，可以引入广义动量   q L p    = ，广义动量可能是动量，角 动量等，总之不是原来意义下的“坐标”；我们还注意到：如果两个拉氏量只满足如下的关系式： ( ) ( ) ( , ) , , , , df q t L q q t L q q t dt − =  ，它们将给出同样的拉氏方程，但给出不同的广义动量，由于 f 和  是完全任意的，所以广义动量与广义坐标是相互独立的，并处于平等（但并不相同）的地 位，合称为正则共轭坐标（或正则变量）。于是 s 维广义坐标的位形空间就被拓广为 2s 维的正则 共轭坐标的相空间。相空间的“正则共轭坐标”不仅刻划质点的位置，而且刻划质点的运动状态。 这样，以广义坐标为未知函数的拉格朗日方程就代之以以正则共轭坐标为未知函数的正则方程。 由广义坐标到正则共轭坐标，是坐标概念的又一次重要的飞跃，对力学以至对整个物理学的 发展产生了深刻的影响。随着正则共轭坐标的引入而建立起来的哈密顿正则方程和由此发展起来 的内容极为丰富的哈密顿力学，不仅为求解拉格朗日方程提供了又一有效方法和途径，而且对理 论物理的发展产生了深刻的影响，特别是对量子力学的建立与发展起了积极推动作用。 3．勒让德变换 从数学的角度看，引入广义动量，也就是用降阶法（高阶常微分方程（组）可以化为未知函 数个数更多，方程数更多的一阶常微分方程组）来解拉格朗日方程。因此哈密顿正则方程的建立 提供了解拉格朗日方程的又一种方法。 最简单易行的降阶法：只要令 q y    ，就可以把拉格朗日方程（含 s 个未知函数 q 的 s 个二 阶常微分方程组成的方程组）。 0 d L L dt q q     − =   ， =1,2, ,s 化为含 2s 个未知函数 , s s q y 的 2s 个一阶常微分方程组成的方程组 0 , , , , ( ) ( ) 1,2, , d L L L L q y t L q q t dt y q y q s              − = =       = = 但是这样做对解方程可能帮助不大。另一种方法， 2s 个未知函数取为 , L q p q       ，则得到如下 的一阶常微分方程组

Np。a=1,2, 我们虽取未知函数为qa2Pa,但L还是qa,nt的函数,若改用qa,Pa2t的函数 L=L(q,P,)=L(qq,),则求就不方便了。另外方程的形式也不对称。为了解决这 些问题,我们利用 Legendre变换 【数学附录】 Legendre变换:一般地,考虑一个函数f=f(x,y)x,y是独立变量 0a0— (3) (1把(u,y)看成独立变量,则由(2)x=x(u,y),代入(3)和(1) (x,y) v(uy),f=f(x,y)=f(x(xy),y)=f(uy)由于 令(ny)2=2x-(x,y)2=(0=2g(x,y)-f7(xy) 则x= ah(uy,-psh(2y)或由dh=udt+x-drx-hy=xdh-hy也得到左式 (2把(V,x)看作独立变量,则由(3)y=y(v,x),f=f(x,y(v,x)=f(v,x) 令g(x)=-f(,x)+(,x),则y≈m=-《或由 dg=-lx-wa+wdy+ych=-lhx+yhv也得到上式。 3把(L2y)看作独立变量,则由(2)、(3)解得x=x(uy),y=y(u,v) f=f(x,y)=f(x(u,v),y(u,v))=f(u,) 2

2 1,2, , L p q L p s q        =      = =  我们虽取未知函数为 q p,   ，但 L 还是 q q t , ,   的函数，若改用 q p t , ,   的函数 L = = L q p t L q q t ( , , , , ) ( ) ，则求 q  就不方便了。另外方程的形式也不对称。为了解决这 些问题，我们利用 Legendre 变换。 【数学附录】 Legendre 变换：一般地，考虑一个函数 f f x y x y = ( , , ) 是独立变量 （1）          =   = （ ） （ ） 3 2 y f v x f u (1)把（ u y, ）看成独立变量，则由（2） x x u y = ( , ) ，代入（3）和（1）， ( ) ( ) ( ) ( ) ( ( ) ) ( ) , , , , , , , , x x x u y f x y v v u y f f x y f x u y y f u y y =    = = = =       由于 ( ) ( ) y y y y y u y u u u f f x x ux u x u x u u u f f x f x ux u v v y x y y y y                  = = = −                                          = + = + = +                         令 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) , , , , , x x u y h u y ux f x y ux u y f u y = = − = − 则 ( , , ) ( ) , h u y h u y x v u y   = − =   或由 dh udx xdu udx vdy xdu vdy = + − − = − 也得到左式. (2)把（ v x, ）看作独立变量，则由（3） y y v x = ( , ) ， f f (x y(v x)) f (v, x) ~ = , ,  。 令 g v x f v x vy v x ( , , ( , ) ) = − + ( ) ，则 , g g y u v x   = = −   或由 dg udx vdy vdy ydv udx ydv = − − + + = − + 也得到上式。 (3)把（ u v, ）看作独立变量，则由（2）、（3）解得 x x u v y y u v = = ( , , , ) ( ) ( ) ( ( ) ( )) ( ) ˆ f f x y f x u v y u v f u v = =  , , , ,

令k(u,)=-f(uy)+ax(uv)+y(u)则x 或由a=-lx-wdy+udx+xdh+wdhy+ydhv=xd+yh也得到上式。 以上这种独立变量的变换(同时函数也作相应变换)叫做 Legendre变换。 Legendre变換可推广到x,y,u,v 均代表一组变量的情形。 望学习更多数学知识的冋学可阅读参考资料4:甘特马赫《分析力学讲义》68页§1唐肯定理 4.哈密顿正则方程的引入和建立(有势力,非有势力,广义有势力) 我们将数学中的 Legendre变换,运用到力学中来,按情形(1)作如下的对应 h 由Pn=,选P2,qn为独立坐标,解得=n(Pq);L(qna)变换为 L(n,,1)=(an4n(qm,D2))=L(Pn9) d aL aL 由拉格朗日方程,我们得到 Pa dr aqa ag进一步得到: 9n=∑÷=日 cn(点p9} OL aL aqa d aL di ag +2pp ag=pa PBb 2/Em9(p)-E(P9)=。059n(p)-(40)=-P 引入哈密顿( Hamilton)函数[或称哈密顿量( Hamiltonian) H(n192)=n9-1(9)aw=>n29(qnp1)-(P29) 其中Pa,qa称为正则变量,P称为qn的共轭动量。(注意:函数H的自变量是p,q,t而不 是q,q,t)。由此推导得 Hamilton正则方程 ah aH p 【注意】正则变量(广义坐标和它们的正则共轭动量)的定义就包含着力学体系的动力学方

3 令 ( ) ( ) ( ) ( ) ˆ k u v f u v ux u v vy u v , , , , = − + + 则 , k k x y u v   = =   或由 dk udx vdy udx xdu vdy ydv xdu ydv = − − + + + + = + 也得到上式。 以上这种独立变量的变换（同时函数也作相应变换）叫做 Legendre 变换。Legendre 变换可推广到 x y u v , , , 均代表一组变量的情形。 希望学习更多数学知识的同学可阅读参考资料 4：甘特马赫《分析力学讲义》68 页§12 唐肯定理 4．哈密顿正则方程的引入和建立 （有势力，非有势力，广义有势力） 我们将数学中的 Legendre 变换，运用到力学中来，按情形（1)作如下的对应： f x y u v h L q q p p H    由 L p q    =  ，选 p q,   为独立坐标，解得 q q p q t   = ( , , ) ； L q q t (   , , ) 变换为： L q q t L q q q p t t L p q t (         , , , , , , , , ) =  ( ( ) ) ( ) 由拉格朗日方程，我们得到 d L L p dt q q      = =   。进一步得到： 1 1 1 1 1 s s s s s L L q q p p p q q p q q p q p p p p p                       = = = = =            = = = − = −                     1 1 1 L L L d L s s s q q p p p q q q q q dt q q q                 = = =          = + = + = +               即 ( ) ( ) 1 , , , , s p q q p t L p q t q p      =      − =     ， ( ) ( ) 1 , , , , s p q q p t L p q t p q      =      − = −     引入哈密顿（Hamilton）函数[或称哈密顿量（Hamiltonian）] ( ) ( ) ( ) ( , ) ( ) , , 1 1 , , [ , , ] , , , s s q q q p t H p q t p q L q q t p q q p t L p q t                   = = = = − = −   其中 p q,   称为正则变量， p 称为 q 的共轭动量。（注意：函数 H 的自变量是 p,q,t 而不 是 q, q  ,t ）。由此推导得 Hamilton 正则方程 H q p H p q       =      − =    【注意】正则变量（广义坐标和它们的正则共轭动量）的定义就包含着力学体系的动力学方

程为正则方程的意思 我们还可以从不同角度计算H的全微分(参阅教材241-243页),比较(2。1)(2。4) aL 式的系数,同样可得正则方程,并可得 aH ana:若拉格朗日函数还依赖某些参数例如 参数,L=L(q,9,1,),则H=H(Pq1,4)我们同样可以证明: ah a 【思考】由上式能否得到(+)=0?2(H+∠) aH aL 0?应如何理解 【思考】对于有非保守力的力学体系,正则方程为: aH +O 应如何推导? 【思考】对于有广义势的力学体系,上述推导应如何推广? 5.哈密顿量的显式和意义: H L L=T-VT=72+T+7W=(q,)(1) =272+71-(72+7+7-V) =72-To+1 此时H为广义能量。特别对于稳定系统,且以不显含时间的坐标变换引入广义坐标,则 T=72,T1=T=0,从而H为能量H=7+ (2) 注意:H=H(Pq,),右边诸式中q应按q=qn(P4)换为变量(Pq) 【思考】如果V=V(qq,1)是广义势,以上讨论应如何修改 6.前面我们是从拉格朗日方程导出正则方程的。能不能从正则方程导出拉氏方程呢?回答是肯 定的。事实上,利用正则方程可以得到 aq, aH op 分ca=∑9n+∑,my=P d aL aH p 从而得到拉格朗日方程。也就是说,正则方程与拉氏方程是等价的,但与拉格朗日方程相比较,正 则方程有其优点:其解不但有广义坐标表达式,而且有共轭动量表达式,内容比较丰富:一阶方程 在有些情况下比较易解:方程形式对称比较易于研究:对正则方程的研究比较深入,已经有了一系 列解的方法 4.2.哈密顿正则方程的解和积分 正则方程是含有2s个未知函数Pa,qa的一阶方程组,其通解应为

4 程为正则方程的意思。 我们还可以从不同角度计算 H 的全微分(参阅教材 241－243 页)，比较（2。1）（2。4） 式的系数，同样可得正则方程，并可得 t L t H   = −   ；若拉格朗日函数还依赖某些参数,例如 参数  ， L L q q t = ( , , ,) ，则 H H p q t = ( , , ,) 我们同样可以证明： H L     = −   【思考】由上式能否得到 ( + ) = 0   H L t ？ ( ) 0 H L   + =  ？应如何理解 H L     = −   ？ 【思考】对于有非保守力的力学体系，正则方程为： H p Q q     = − +  ， H q p    =  ， 应如何推导？ 【思考】对于有广义势的力学体系，上述推导应如何推广？ 5． 哈密顿量的显式和意义： ( ) 1 1 2 1 2 1 0 2 0 2 s s L H q L q T q L q T T T T T V T T V       = =  = −   = −  = + − + + − = − +   L T V = − T T T T = + + 2 1 0 V V q t = ( , ) （1） 此时 H 为广义能量。特别对于稳定系统，且以不显含时间的坐标变换引入广义坐标，则 2 1 0 T T T T = = = , 0 ， 从而 H 为能量 H = T +V （2） 注意： H H p q t = ( , , ) ，右边诸式中 q 应按 q q p q t   = ( , , ) 换为变量 ( p q, )。 【思考】如果 V V q q t = ( , , ) 是广义势，以上讨论应如何修改？ 6．前面我们是从拉格朗日方程导出正则方程的。能不能从正则方程导出拉氏方程呢？回答是肯 定的。事实上，利用正则方程可以得到： L L p q p q         =     ＝ q p H q p p p p q                  + − =          d L H L q p p dt q q q q               = = − = − −          q q L L L p q q q q q                  = − − − =              从而得到拉格朗日方程。也就是说，正则方程与拉氏方程是等价的，但与拉格朗日方程相比较，正 则方程有其优点：其解不但有广义坐标表达式，而且有共轭动量表达式，内容比较丰富；一阶方程 在有些情况下比较易解；方程形式对称比较易于研究；对正则方程的研究比较深入，已经有了一系 列解的方法。 4．2．哈密顿正则方程的解和积分 正则方程是含有 2s 个未知函数 p q,   的一阶方程组，其通解应为

Pn(tC1…C2) l,2 qn=qn(tC…C2) 也叫正则方程的积分。由(1)重新组合可得2s个函数关系 f(pq1)=C。a=12 其实(2)式就是正则方程积分的隐函数形式。 当正则方程不显含t时,正则方程的解应具有时间平移不变性,2s个积分常数可以重 新组合而使其中之一与t相加而记为-。(1)式可表为 JPa =pa(u an=91(-12C…C-) =1,2 可以从(1)消去t,同时消去t0,解得2S-1个独立的运动积分 F(P,q)=Caa=1,2…2s-1 (3) 如果能找到形如(3)式的2s-1个独立的运动积分,那么只要求出(1)中的任何一个函数 原则上就可以得到(3)式中的其余2s-1个函数,从而得到正则方程的通解。 形如(2)、(3)的函数关系成为正则方程的积分的充要条件为:把(1)式代入函数关 系式(2)、(3)能成恒等式。或利用(1)或正则方程能证得f(Pq,)或F(P)对时 间的全导数等于零 求得通解,或找到全部积分,当然并非易事;即使未能找到通解,如果能找到形如(2) 式或(3)式的若干个独立的积分,那么也能部分地掌握力学体系的运动规律。 最容易得到的运动积分是 (1)利用循环积分。若H中不显含某一广义坐标q。(称为循环坐标),则 cqn=0Pa=b(常数)。因为 aL aq PBs P a/qn(B≠a),Pp 所以这里所讲的循环积分与拉格朗日方程的循环积分一致。但我们应注意到,正则变量有2s个, 若H中不显含某一广义动量Pa,则有积分 ah 0qn=an(常数) 【注意】(1)一个或若干个广义坐标为常数并不意味着体系静止。 (2)以后学了正则变换,可知广义坐标和广义动量之间并无不可逾越的界限,因 此qa=a也称为循环积分。即使全部qa=an也不见得意味着系统静止

5 ( ) ( ) 1 2 1 2 , 1,2 , , s s p p t C C s q q t C C       =  =  =  （1） 也叫正则方程的积分。由（1）重新组合可得 2 s 个函数关系 f p q t C s   ( , , 1,2 2 ) = =  （2） 其实（2）式就是正则方程积分的隐函数形式。 当正则方程不显含 t 时，正则方程的解应具有时间平移不变性， 2s 个积分常数可以重 新组合而使其中之一与 t 相加而记为 0 −t 。(1)式可表为 ( ) ( ) 0 1 2 1 0 1 2 1 , 1,2 , , s s p p t t C C s q q t t C C      − −  = −  =  = −  （1’） 可以从（1）消去 t，同时消去 0 t ，解得 2 1 s − 个独立的运动积分 F p q C s   ( , 1,2 2 1 ) = = −  （3） 如果能找到形如（3）式的 2 1 s − 个独立的运动积分，那么只要求出（1）中的任何一个函数， 原则上就可以得到（3）式中的其余 2 1 s − 个函数，从而得到正则方程的通解。 形如（2）、（3）的函数关系成为正则方程的积分的充要条件为：把（1）式代入函数关 系式（2）、（3）能成恒等式。或利用（1）或正则方程能证得 f p q t  ( , , ) 或 F p q  ( , ) 对时 间的全导数等于零。 求得通解，或找到全部积分，当然并非易事；即使未能找到通解，如果能找到形如（2） 式或（3）式的若干个独立的积分，那么也能部分地掌握力学体系的运动规律。 最容易得到的运动积分是： （1）利用循环积分。若 H 中不显含某一广义坐标 s q （称为循环坐标），则 0 H p p b q      = − = =  （常数）。 因为 ( ) 1 1 1 , s s s q p H L L L L q q p q p q q q q q q q q                     = = =            = − = − − = −                所以这里所讲的循环积分与拉格朗日方程的循环积分一致。但我们应注意到，正则变量有 2s 个， 若 H 中不显含某一广义动量 p ，则有积分 0 H q q a p      = − = =  （常数） 【注意】（1）一个或若干个广义坐标为常数并不意味着体系静止。 （2）以后学了正则变换，可知广义坐标和广义动量之间并无不可逾越的界限，因 此 q a   = 也称为循环积分。即使全部 q a   = 也不见得意味着系统静止