《分析力学》课程教学资源（电子教案）第四章 哈密顿力学（中）

第四章哈密顿力学(中) 4.4.正则变换 引言 【例1】广义坐标间的坐标变换对正则方程的影响 义坐标的变换q→Q=f(q1),其逆变换为qn=2(Q,), 广义速度同时相应变换。-2a,,一,出而保持 agrange方程和 Lagrange力学的理论体系不变(具体形式当然有变化) 14)=(q(21)4(2②))=(2Q d a aL 0→ dt dq dt a0. a0 0(a,B=12…,s)(见3.5.) 如果在新的和老的两组广义坐标(由广义坐标间的坐标变换联系)下,分别引入广义动量 进行 Legendre变换,这样得到的广义动量和 Hamilton量一般说也互不相同。然而得到的运 动微分方程当然仍然各自为正则方程(虽然具体形式有所不同) OL ah aH pa Paq qa P 句→9(pq) aL PB B=∑PQ m-0.a 这就是说,坐标变换Q=f(q,)和相应的广义动量间的变换 Pm%e=aD.把正则方程变换为新的正则方程,新的哈密顿量为 H=∑PQ-L=∑p Q-L=∑P2 aqe-L=H-2Pa at 利用上述变换的显式可以直接检验上述结论的正确性: 已=∑p+∑P ∑p2+∑ 0.00 aH aH aQa a0 Ba@a at B at ah dq H BagB 0@a p apB 7/%、qn1-Paa q

1 第四章 哈密顿力学 （中） 4．4．正则变换 1．引言： 【例 1】广义坐标间的坐标变换对正则方程的影响。 广义坐标的变换 q  Q f q t   = ( , ) ，其逆变换为 q Q t   =  ( , ) ， 广义速度同时作相应变换： , f f Q q q Q q t Q t                 = + = +       而保持 Lagrange 方程和 Lagrange 力学的理论体系不变（具体形式当然有变化）： L q q t L q Q t q Q Q t t L Q Q t ( , , , , , , , , , ) = = (   ( ) ( ) ) ( ) 0 0 d L L d L L dt q q dt Q Q         − =  − =     ( , 1,2, , = s) （见 3．5．） 如果在新的和老的两组广义坐标(由广义坐标间的坐标变换联系)下，分别引入广义动量， 进行 Legendre 变换，这样得到的广义动量和 Hamilton 量一般说也互不相同。然而得到的运 动微分方程当然仍然各自为正则方程(虽然具体形式有所不同)： ( , , ) , , , q q p q t L H H p H p q L q p q p q          →      = = − = = −         ( , , ) , , , Q Q P Q t L H H P H P Q L Q P Q P Q        →        = = − = = −         这就是说，坐标变换 Q f q t   = ( , ) 和相应的广义动量间的变换 L L q q P p Q Q q Q               = = =       把正则方程变换为新的正则方程，新的哈密顿量为 , q q q H P Q L p Q L p q L H p Q t t                      = − = − = − − = −            利用上述变换的显式可以直接检验上述结论的正确性： 2 2 q q q q q d P p p p p Q Q dt Q Q Q Q Q t                              = + = + +                   2 H H p q q p Q Q Q t Q t                = − −         ( ) H H q p q q Q p Q              = + −       p q q Q t          + −        2 q p Q t      −   

aH +p t p a a4 at a0 + p ( j0 P 注意: 0 则可由原来的正则方程成立导出新的正则方程也成立。相仿的推导可对正则方程之另一半进行。 以下诸例讨论拉格朗日函数的不唯一性对哈密顿函数和正则方程的影响。 【例2】考虑两个等价的拉格朗日函数L和L,有关系:L1=L(4为常量)两组同样的广 义坐标:Qa=qn但广义动量不同:Pa cia'psaz aage =λpa哈密顿量也不同 H=∑P29n-L F=|∑P ∑(4pn)-|=H Opg OH. 在新的正则变量和哈密顿函数下,仍有正则方程成立: 【例3】再看另一种情况:考虑两个等价的拉格朗日函数L,L1=L+ d(9)两组同样 的广义坐标:Q=qn但广义动量不同: Pa aqa PB f P 哈 密顿量也不同: ∑P ∑PQa-L af drh_a P 句→9(P,9,) →Q(PQ,) O 在新的正则变量和哈密顿函数下,仍有正则方程成 aH__P 【例4】把上述两种情况综合起来,考虑两个等价的拉格朗日函数L1=L d∫(q,1两组 2

2 2 , H H H q p P p q Q q Q p Q q p q q p Q t Q Q Q                                  + = + + −                       + − +             , { } H H q p q p q p Q q Q p Q Q Q                            = + + − +                      H H q p P p q Q q Q p Q Q                        = + + − +                     H H q p p q q Q p Q                   = + + −                   注意： 0 P Q    =  则可由原来的正则方程成立导出新的正则方程也成立。相仿的推导可对正则方程之另一半进行。 以下诸例讨论拉格朗日函数的不唯一性对哈密顿函数和正则方程的影响。 【例 2】考虑两个等价的拉格朗日函数 L 和 L1 ,有关系： L L 1 =  （  为常量）两组同样的广 义坐标： Q q   = 但广义动量不同： 1 , L L L p P p q q Q            = = = =    哈密顿量也不同： ( ) ( ) 1 ( ) , , , , , q q p q t Q Q P Q t H p q L H P Q L p q L H              → →       = − = − = − =                在新的正则变量和哈密顿函数下，仍有正则方程成立： , H H Q P P Q         = = −   【例 3】再看另一种情况：考虑两个等价的拉格朗日函数 ( ) 1 , , df q t L L L dt = + 两组同样 的广义坐标： Q q   = 但广义动量不同： 1 , L L f f L p P p q Q q q q              = = = + = +      哈 密顿量也不同： ( ) ( ) 1 , , , , , * q q p q t Q Q P Q t f df f H p q L H P Q L p q L H q dt t          → →            = − = − = + − − = −                      在新的正则变量和哈密顿函数下，仍有正则方程成立 , H H Q P P Q         = = −   【例 4】把上述两种情况综合起来，考虑两个等价的拉格朗日函数 ( ) 1 df q t, L L dt = +  两组

同样的广义坐标:Q=q但广义动量不同: Apa+y哈密顿量也不同: H=∑pn-L H=∑P9-4 >IAp.+ L ZH Q→Q(PQ) 当然,各自都有正则方程成立。O 【例2】【例3】【例4】中的结论也可利用相应变换的显式直接检验 既然H=H(Pq,1)视作2s+1个独立变量p2,qn,t的函数,我们还可以考虑更一般的 变换:“整体地”(不把广义坐标和广义动量分割开来)把一组正则变量Pa,q变换为另一组 新的变量P2,Q,这当然比起上面各例提到的变换要广泛得多,这样的变换能不能保持正 则方程的形式不变呢?回答是可能的,但又必须有一定的条件加以限制,这样的变换就是我 们在下面要引入的正则变换。 2.正则变换的定义 从一组正则变量到另一组正则变量的非异变换,叫正则变换 即:如果通过一组正则变量(P2q)到另一组新变量(P2Q)的变换: jB=P(n…P,q,) (1) Q=Q2(p…p2,q1…q2)a=12… 满足2(P…P.g ≠0,把正则方程 aH H a(P1…P,q…q,) qa paa=1,2…s仍然变 换为正刚方程a2“.a=12,那么这种变换()叫做正刚变换 这一组新变量(P2Q)也是一组正则变量 说明:(1)2个变量{P2,qn}成为正则变量,就要求用它们来描述的力学体系的动力学方 程为正则方程,其中的哈密顿函数为 H=H(n…P24…q,1)=∑2-1(99)P小:新的2个变量{P2Q}也

3 同样的广义坐标： Q q   = 但广义动量不同： 1 , L L f f L p P p q q q q Q                = = = + = +      哈密顿量也不同： ( ) ( ) , , 1 , , , q q p q t Q Q P Q t H p q L f df f H P Q L p q L H q dt t              →  →   = −             = − = + − − = −                  当然，各自都有正则方程成立。 , H H Q P P Q         = = −   【例 2】【例 3】【例 4】中的结论也可利用相应变换的显式直接检验。 既然 H H p q t = ( , , ) 视作 2 1 s + 个独立变量 p q t , ,   的函数，我们还可以考虑更一般的 变换：“整体地”（不把广义坐标和广义动量分割开来）把一组正则变量 p q,   变换为另一组 新的变量 P Q,  ，这当然比起上面各例提到的变换要广泛得多，这样的变换能不能保持正 则方程的形式不变呢？回答是可能的，但又必须有一定的条件加以限制，这样的变换就是我 们在下面要引入的正则变换。 2．正则变换的定义 从一组正则变量到另一组正则变量的非异变换，叫正则变换。 即：如果通过一组正则变量 ( p q   , ) 到另一组新变量 (P Q  , ) 的变换： ( ) ( ) 1 1 1 1 , , , , 1,2 s s s s P P p p q q t Q Q p p q q t s       =   = =  （1） 满足 ( ) ( ) 1 1 1 1 , 0 , s s s s P P Q Q p p q q    ，把正则方程 1,2 H H q p s p q        = = − =   仍然变 换为正则方程 * * 1,2 H H Q P s P Q        = = − =   ，那么这种变换（1）就叫做正则变换。 这一组新变量 (P Q  , ) 也是一组正则变量。 说明：(1) 2s 个变量 p q   ,  成为正则变量，就要求用它们来描述的力学体系的动力学方 程为正则方程，其中的哈密顿函数为： ( ) ( ) 1 1 ( , , ) 1 , , , , s H H p p q q t p q L q q t s s q q p q t      = = = = −  ；新的 2s 个变量 P Q   ,  也

成为正则变量,就要求用它们来描述的力学体系的动力学方程也是正则方程,但其中的哈密 顿函数:H=H(P…2…Q,)=∑2-C(aa 一般说来不同于原来的,H≠H,并且∑PQ=∑Pn,L(Q.)≠L(91) (2)考虑了正则变换,广义坐标和广义动量间已经没有不可逾越的界限。(见下面的【例6】 【例7】)经过了正则变换的新的哈密顿函数也可能不再代表能量(但必定对新的正则变量 和新的哈密顿函数给出新的正则方程),L可能不再等于T-V(但对于新的广义坐标广义 速度和新的拉格朗日函数给出新的拉格朗日方程)。 本节引言中提到的【例1】一【例4】均为正则变换? 【例5】Q2=7qn,B=BP(a=1,2…,s),y,B是常数且都不为零,是正则变换 新的哈密顿量为H*=mfH。 (为了要论证这个结论,就要证明在 H qa pr a= 成立的前提下,经过变换Q=n,P=BP(a=12,…s)选择适当的H”,有 aH=-户a=1,2…s成立。) aP 【例6】Qa=vPn,P=qn(a=1,2,…,s,v,H是不为零的常数)是正则变换,新的 哈密顿量为H*=-H 例7{=m Pa=ga cot ot (a=12…s)是正则变换。新哈密顿量为 H=-H+ sin ot cos ot e Pa 事实上 aH ah dq QP=∑ PsoaS tan ot+ Q aPa B=l aqB aP sin ot cos at aPa p-l sin ot cos or Q-p ot sin ot cos ot

4 成为正则变量，就要求用它们来描述的力学体系的动力学方程也是正则方程，但其中的哈密 顿函数： ( ) ( ) ( ) * * * 1 1 , , 1 , , , , s H H P P Q Q t P Q L Q Q t s s Q Q P Q t      = = = = −  一般说来不同于原来的， H H *  ，并且 1 1 s s P Q p q       = =   ， L Q Q t L q q t * , , , , ( )  ( ) （2）考虑了正则变换，广义坐标和广义动量间已经没有不可逾越的界限。（见下面的【例 6】， 【例 7】）经过了正则变换的新的哈密顿函数也可能不再代表能量（但必定对新的正则变量 和新的哈密顿函数给出新的正则方程），L *可能不再等于 T V− （但对于新的广义坐标广义 速度和新的拉格朗日函数给出新的拉格朗日方程）。 本节引言中提到的【例 1】－【例 4】均为正则变换？ 【例 5】 Q q P p s     = = =    , 1,2, , ( )， , 是常数且都不为零，是正则变换。 新的哈密顿量为 H H * =  。 （为了要论证这个结论，就要证明在 1,2 H H q p s p q        = = − =   成立的前提下，经过变换 Q q P p s     = = =    , 1,2, , ( ) 选择适当的 H  ，有 * * 1,2 H H Q P s P Q        = = − =   成立。） 【例 6】 Q p P q s , ( 1,2, , ; ,     = = =      是不为零的常数）是正则变换，新的 哈密顿量为 H H * = − 。 【例 7】 ( ) tan 1,2 cot Q p t s P q t         =  =  = 是正则变换。新哈密顿量为 * sin cos 1 s H H Q P t t       = = − +  。 事实上 * 1 1 1 tan sin cos sin cos H H s s s q Q P p t Q P q P t t P t t                  = = =         = − + = +        2 cos sin cos Q p Q Q t t t          = − + =

ah ∑QP2=-∑0 cot ot P a@, sin t cos ot a@ sin @t cos o in ot sin ot cost 例8(92=4mma=12.s是正则变换,新的哈密顿量为 P H=H+sin ot cost 2o, Pp 事实上 OH=>aH pe+ o ap bi Ops aPa sin ot cos ot OP 20P=29, tan ot+00a sin ot cos ot o tan =O-O Q=o ∑QP=-∑p a@a sin ot cos at oQa B= zB Cot @t P sin ot cos ot - p-Pa cos ot sin ot coser p=-p oct ot 【例5】—【例8】也可不给出新的哈密顿量H*,而要求解题者自行选取,这样题目的难 度就提高了。 3.正则变换的充分条件(判定定理) 判断一个变换(1)是不是正则变换的基本方法当然是利用正则变换的定义,但这未必总是 最方便的方法。因此我们还要寻找其他方法。 判定定理:变换(1)成为正则变换的充分条件为 (Padqa-Pad@)+(H-H)dt=dF, (2) 其中F是某个函数F(qQ,)的恰当微分。H是用新变量PQ以及t表示的 Hamilton函 数。换言之,如果H(Pq)是正则变量p2qn的任一 Hamilton量。(意即正则方程 aH n,a=12…,s成立)并且对于变换(1),存在H*=H*(PQ,)和 母函数F=F(q1Q,1)使(2)成立,那么变换(1)就是正则变换。(意即 aH P g.a0=-Pa=12-s成立)其中F(Q)称为母函数 证明:对于满足条件(2)的F=F(q,Q1)作以下两种变化

5 * 1 1 1 2 cot sin cos sin cos sin sin cos H H s s s p Q P q t P Q p Q t t Q t t P q P P t t t                               = = =     = − + = − +     = − − + = −    【例 8】 tan 1,2 cot Q q t s P p t         =  =  = 是正则变换，新的哈密顿量为 * sin cos 1 s H H Q P t t       = = +  事实上 * 1 1 1 tan sin cos sin cos H H s s s p Q P q t Q P p P t t P t t                  = = =         = + = +        2 tan sin sin cos t Q Q Q Q t t t           = − + = * 1 1 1 2 cot sin cos sin cos cot cos sin cos H H s s s q Q P p t P Q q Q t t Q t t t P P P P t t t                                = = =     = + = − +     = − − + = −    【例 5】－【例 8】也可不给出新的哈密顿量 H * ，而要求解题者自行选取，这样题目的难 度就提高了。 3．正则变换的充分条件（判定定理） 判断一个变换（1）是不是正则变换的基本方法当然是利用正则变换的定义，但这未必总是 最方便的方法。因此我们还要寻找其他方法。 判定定理：变换（1）成为正则变换的充分条件为 ( ) ( ) * 1 1 s p dq P dQ H H dt dF     =  − + − = （2） 其中 1 dF 是某个函数 F q Q t 1 ( , , ) 的恰当微分。H*是用新变量 P Q,   以及 t 表示的 Hamilton 函 数。换言之，如果 H p q t ( , , ) 是正则变量 p q,   的任一 Hamilton 量。（意即正则方程 , , 1,2, , H H q p s p q        = = − =   成立）并且对于变换（1），存在 H H P Q t * * , , = ( ) 和 母函数 F F q Q t 1 1 = ( , , ) 使（2）成立，那么变换（1）就是正则变换。（意即 * * 1,2 H H Q P s P Q        = = − =   成立）其中 F q Q t 1 ( , , ) 称为母函数。 证明：对于满足条件（2）的 F F q Q t 1 1 = ( , , ) 作以下两种变化：