《分析力学》课程教学资源（电子教案）第三章 拉格朗日力学（下）

第三章拉格朗日力学(下) (参阅教材第二章、第五章) 3.5.拉格朗日方程的研究 1.守恒律和时空对称性之间的关系(参阅教材57-59页) 物理规律和时空结构之间存在密切的联系。下面我们来分析守恒律和时空对称性之间的关系。我们在这 里考虑的时空对称性是指时间、空间的均匀性和空间的各向同性,也就是在经历时间、空间平移或空间 转动后物理规律保持不变的性质。而力学规律的不变性体现在L的不变性 为了研究空间的对称性,(不考虑时间的变化,t=0)只考虑由变更δqn,6引起的L的变更OL SL= 上式的证明利用了拉格朗日方程,St=0,以及,6q=q。(即和δ可交换次序)。 qn=6in的证明如下 dqn表示在时间间隔a中发生的位移,dqn表示在某一时刻t的变更 qn+dn+6(qn+n)=qn+0qn+d(qn+oqn)→6(n)=d(oqn)即d和δ可交换次序 dqa_8(dqa)dqa 6(dn)d(Sqa) dad(St) dt d(o%)-0=(gn) 上式用直角坐标表示为6L=4①m5 (1)空间均匀性,即空间平移不改变体系的力学性质,即δL=0。空间平移即δF=E为常量,所以 d d2(m:6) .g=0,P=∑m是动量。由于E的任意性,得出=0,即F是常 矢量,动量守恒。 (2)空间各向同性,即空间转动不改变体系的力学性质,即δL=0。 考虑一任意的无穷小转动6 的任意性,得出L为常量,即角动量守恒。 (3)时间均匀性,即时间平移不改变体系的动力学性质。要求L不显含t,即一=0,还要求约束不随 时间改变,即约束稳定,(正是前述得到能量守恒的条件)从而得到能量守恒

1 第三章 拉格朗日力学 （下） （参阅教材第二章、第五章） 3．5．拉格朗日方程的研究 1．守恒律和时空对称性之间的关系（参阅教材 57－59 页） 物理规律和时空结构之间存在密切的联系。下面我们来分析守恒律和时空对称性之间的关系。我们在这 里考虑的时空对称性是指时间、空间的均匀性和空间的各向同性，也就是在经历时间、空间平移或空间 转动后物理规律保持不变的性质。而力学规律的不变性体现在 L 的不变性。 为了研究空间的对称性，（不考虑时间的变化， t = 0 ）只考虑由变更 q q ,     引起的 L 的变更  L 1 1 [ ] s s L L d L L q q q q q dt q             = =      = + =          上式的证明利用了拉格朗日方程， t = 0 ，以及 d q q dt     = （即 d dt 和  可交换次序）。 d q q dt     = 的证明如下： dq 表示在时间间隔 dt 中发生的位移， q  表示在某一时刻 t 的变更 q dq q dq q q d q q dq d q           + + + = + + +  =      ( ) ( ) ( ) ( ) 即 d 和  可交换次序。 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 0 dq dq dq dt d q dq d t d d q q q dt dt dt dt dt dt dt                   = = − = − = − =     上式用直角坐标表示为 1 [ ] N i i i i d L m r r dt   = =   ， （1）空间均匀性，即空间平移不改变体系的力学性质，即L=0。空间平移即 i   r = 为常量，所以 ( ) 1 0 N i i i i d dP L m r r dt dt    = =  =  =  ， = = N i i i P m r 1    是动量。由于   的任意性，得出 0 dP dt = ，即 P  是常 矢量，动量守恒。 （2）空间各向同性，即空间转动不改变体系的力学性质，即  L = 0 。 考虑一任意的无穷小转动   i i   r r =  ， ( ) 1 1 0 N N i i i i i i i d d dL L m r r r mr dt dt dt     = =     =   =   =  =           L 为角动量。由于   的任意性，得出 L 为常量，即角动量守恒。 （3）时间均匀性，即时间平移不改变体系的动力学性质。要求 L 不显含 t，即 = 0   t L ，还要求约束不随 时间改变，即约束稳定，（正是前述得到能量守恒的条件）从而得到能量守恒

2.拉格朗日函数的不确定性(参阅教材§5.3.) (1)由于拉格朗日力学的理论体系对任意的广义坐标都是成立的,拉格朗日方程在广义坐标的变换 下具有不变性。也就是说 如果拉格朗日函数L(q,q,)给出某一个力学体系满足的拉格朗日方程 d a aL 0,a=1.2 dt aq 考虑坐标变换:Q2=f(q,1)a=12,…s要求有逆变换:q=(Q,Q2;…,Q,1) 即要求△=2(1… (q2…,q) ≠0于是坐标变换使拉格朗日函数改变为新的拉格朗日函数(QQ.) L(q1)=((,d(2g))=i(a 则这个力学体系满足L(QQ)给出的拉格朗日方程,daL-2=0a=12…5 dto。oQ 为了理解得更加具体,我们通过公式的推导,来验证上面的结论: 由坐标变换式得:qn= aqa o aqa a进一步可得经典拉格朗日关系 以及 y 为证明新的拉格朗日方程成立,先计算:=∑=∑n, al d aq dt ao dt aqa a@ aqa dt ao dt aL 忍San+n d a aL d aL-aL aqe do 于是,如果原来的拉格朗日方程成立daL_如=0,B=12,…5 则可导出新的拉格朗日方程也成 dt a0 a (当然,由于广义坐标不同,新旧拉格朗日方程的具体形式有所不同。)

2 2．拉格朗日函数的不确定性 （参阅教材§5．3．） （1）由于拉格朗日力学的理论体系对任意的广义坐标都是成立的，拉格朗日方程在广义坐标的变换 下具有不变性。也就是说： 如果拉格朗日函数 L q q t ( , , ),给出某一个力学体系满足的拉格朗日方程 0 d L L dt q q     − =   ，  =1,2, ,s 考虑坐标变换： Q f q t s   = = ( , , 1,2, , )  要求有逆变换： q Q Q Q t   =  ( 1 2 , , , , s ) 即要求 ( ) ( ) 1 2 1 2 , , , 0 , , , s s f f f q q q   =   于是坐标变换使拉格朗日函数改变为新的拉格朗日函数 L Q Q t ( , , ) L q q t L Q t Q Q t t L Q Q t ( , , , , , , , , , ) =   = ( ( ) ( ) ) ( ) 则这个力学体系满足 L Q Q t ( , , ) 给出的拉格朗日方程： 0, 1,2, , d L L s dt Q Q      − = =   为了理解得更加具体，我们通过公式的推导，来验证上面的结论： 由坐标变换式得： 1 s q q q Q Q t      =    = +    进一步可得经典拉格朗日关系： q q Q Q       =   以及 2 2 1 1 s s d q q q q q q Q Q dt Q Q Q t Q Q Q t Q                  = =          = + = + =                  为证明新的拉格朗日方程成立，先计算： 1 1 s s L L L q q Q q Q q Q          = =      = =        ， 1 1 d L d L L d d L L s s q q q q dt dt q Q q dt Q dt q Q q Q Q        = =                      =  + =  +                        1 s L L L q q Q q Q q Q         =        = +             1 s d L L d L L q dt Q Q dt q q Q        =         − = −             于是，如果原来的拉格朗日方程成立： 0 d L L dt q q     − =   ，  =1,2, ,s 则可导出新的拉格朗日方程也成立： 0, 1,2, , d L L s dt Q Q     − = =   （当然，由于广义坐标不同，新旧拉格朗日方程的具体形式有所不同。）

上面的结论也可表为: L dt aga aga (2)我们已经学过,在经典力学中,理想,完整,保守体系的拉格朗日函数L=T-V,由此推出的 拉格朗日方程就是这种体系的动力学方程。如果另有一个函数,由此推出的拉格朗日方程也就是这个体系 的动力学方程,那么我们也可以取它作为这个体系的拉格朗日函数(我们称这两个拉格朗日函数等价)。也 就是说,拉格朗日函数不是,也没有必要是唯一确定的 事实上,如果两个拉格朗日函数只相差一个坐标和时间的函数对时间的全导数,即L2=L+ d(q,) dt 则这两个拉格朗日函数等价。(一个自由度的情形,证明见教材157页,一般情形请同学们自行证明。) 【思考】实际上,L=y() d a aL 是方程 =0的一个含有任意函数的解。上面这个方程和拉 dt dt 格朗日方程有什么区别? 我们还注意到,一个函数能否表为广义坐标和时间的某一函数的全导数,是与选用哪一套广义坐标无关 的,(这一点是至关重要的,否则(1)与(2)两点会发生矛盾)即 d(42)=(p()2()事实上 dt dt d(d(())2y0(ca, dt 00 a ae o, + a oa ar a at ar 008 sat dr 拉格朗日函数乘以常数,不改变拉格朗日方程(自行证明)。综上所述,对于拉格朗日函数的如下变换 1(4)→()=()+当(Q不改变拉格朗日方程 3.非惯性参考系中的拉格朗日函数(参阅教材§5.3.) 同一力学问题在不同参考系中的描述,只是在观察的角度上有所不同,它们的动力学方程应该本质上是 相同的,只是经历了某些变换而形式上有所不同(从惯性系和非惯性系中的牛顿方程之间的联系,我们已 经看到了这一点),因此它们的拉格朗日函数应该是等价的 由此可见,由原来的参考系的拉格朗日函数出发,经过参考系之间的变换,以及伴随这参考系变换而发 生的坐标变换,必要时再添上或舍去坐标和时间的某个适当的函数对时间的全导数,就可以得到新的参考 系中的拉格朗日函数。 考虑两个参考系坐标系基矢位置矢量速度拉格朗日函数 惯性系 s Oxyz 非惯性系S′Cxy2i,kF L 惯性系中的拉格朗日函数应表为:L=7-r=1m3-r() 利用参考系S和S"的各物理量之间的关系式:F=6+r

3 上面的结论也可表为： d L L d L L Q q dt Q Q dt q q                     − = −               （2）我们已经学过，在经典力学中，理想，完整，保守体系的拉格朗日函数 L T V = − ，由此推出的 拉格朗日方程就是这种体系的动力学方程。如果另有一个函数，由此推出的拉格朗日方程也就是这个体系 的动力学方程，那么我们也可以取它作为这个体系的拉格朗日函数（我们称这两个拉格朗日函数等价）。也 就是说，拉格朗日函数不是，也没有必要是唯一确定的。 事实上，如果两个拉格朗日函数只相差一个坐标和时间的函数对时间的全导数，即 ( ) 2 1 df q t, L L dt = + ， 则这两个拉格朗日函数等价。（一个自由度的情形，证明见教材 157 页，一般情形请同学们自行证明。） 【思考】实际上， df q t ( , ) L dt = 是方程 0 d L L dt q q     − =   的一个含有任意函数的解。上面这个方程和拉 格朗日方程有什么区别？ 我们还注意到，一个函数能否表为广义坐标和时间的某一函数的全导数，是与选用哪一套广义坐标无关 的，（这一点是至关重要的，否则（1）与（2）两点会发生矛盾）即 df q t df Q t ( , , ) df Q t t ( ( , ,) ) ( ) dt dt dt  = = 事实上， df q t ( , ) df Q t t ( ( , ,) ) f f Q dt dt q Q t t               = = + +             f f f f f df Q Q q Q q t t Q t dt                      = + + = + =                  拉格朗日函数乘以常数，不改变拉格朗日方程（自行证明）。综上所述，对于拉格朗日函数的如下变换 ( ) ( ) ( ) ( ) dt df q,t L q,q,t L q,q,t ~ L q,q,t →  =   + 不改变拉格朗日方程。 3．非惯性参考系中的拉格朗日函数（参阅教材§5．3．） 同一力学问题在不同参考系中的描述，只是在观察的角度上有所不同，它们的动力学方程应该本质上是 相同的，只是经历了某些变换而形式上有所不同（从惯性系和非惯性系中的牛顿方程之间的联系，我们已 经看到了这一点），因此它们的拉格朗日函数应该是等价的。 由此可见，由原来的参考系的拉格朗日函数出发，经过参考系之间的变换，以及伴随这参考系变换而发 生的坐标变换，必要时再添上或舍去坐标和时间的某个适当的函数对时间的全导数，就可以得到新的参考 系中的拉格朗日函数。 考虑两个参考系 坐标系 基矢 位置矢量 速度 拉格朗日函数 惯性系 非惯性系 S S Oxyz Cx y z    1 2 3 , , . , e e e i j k r r  v v  L L 惯性系中的拉格朗日函数应表为： ( ) 1 2 2 L T V mv V r = − = − 利用参考系 S 和 S 的各物理量之间的关系式： 0 r r r = + 

drdrdr dd++ax=+了+xr vo2+v2+0oxF)+2vo v+2vo (0o xr)+2v..xr) 可以把惯性系的拉格朗日函数表为非惯性系中各物理量的函数 L=m3+2+(F)+21+2(mx)+27()]-(+ 由于v+0·(o0×F)= dv dt (·r)-·r,右边第一项是全导数:以及任意可积分的时 dt 间的函数均可视为坐标和时间的函数的全导数,而,而,⑥都是时间的己知函数:;我们可以试取 L m(@ xr)-mr(o xv)-V(o+P 易见L-=2m1+d(n)可视作坐标和时间的函数的全导数,因而与L等价 (这里我们利用了·(mxF)=0·(×y)=F·(可x)=-·(0xy这个关系式) 下面我们来求L给出的拉格朗日方程 m+mo×疒’注意:这是等三个式子的简写,拉格朗日方程均为数量方程,它们对时间的 d al' d aL aL-aL 数不应理解为 dt (不应计入基矢对时间的导数),所以均应理解为相 对导数。 da,mxF÷人ha+mi,×F+mDx下注意: dodo G-ma0-mo6x了-mo×(ox) 其中第三项计算见下式 减)可[吗F027-()]=2m×(减 于是得到拉格朗日方程 -=md+m+m0xP+m×(×r) 这就是非惯性系中的牛顿动力学方程。由此可见,L’确实就是非惯性系的拉格朗日函数 我们还可以从另一角度来看拉格朗日函数L’中各项的物理意义。非惯性系中的牛顿动力学方程 r)-2mioxv r a「1 -mo×(a×F)= ∴惯性离心力为有势力

4 0 0 0 0 0 dr dr dr dr v v r v v r dt dt dt dt     = = + = + +  = + +     ( ) ( ) ( ) 2 2 2 2 0 0 0 0 0 0 v v v r v v v r v r = + +  +  +   +            2 2 2 可以把惯性系的拉格朗日函数表为非惯性系中各物理量的函数： ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 2 0 0 0 0 0 0 0 1 2 2 2 2 L m v v r v v v r v r V r r = + +  +  +   +   − +               由于 ( ) ( ) 0 0 0 0 0 0 dr d dv v v v r v v r r dt dt dt    +   =  =  −      ，右边第一项是全导数；以及任意可积分的时 间的函数均可视为坐标和时间的函数的全导数，而 0 0 0 r v, , 都是时间的已知函数；我们可以试取 ( ) ( ) ( ) 2 2 0 0 0 0 1 1 2 2 dv L mv mr m r mr v V r r dt        = −  +  −   − +   易见 ( ) 2 0 0 1 2 d L L mv v r dt − = +    可视作坐标和时间的函数的全导数，因而 L 与 L 等价。 （这里我们利用了 v r r v r v r v           =   =   = −   (    0 0 0 0 ) ( ) ( ) ( ) 这个关系式） 下面我们来求 L 给出的拉格朗日方程： 0 L mv m r v    = +      注意：这是 x L v     等三个式子的简写，拉格朗日方程均为数量方程，它们对时间的 导数不应理解为 x y z d L d L L L i j k dt v dt v v v           = + +               （不应计入基矢对时间的导数），所以均应理解为相 对导数。 0 0 0 0 d L dv dr d m m r ma m r m v dt v dt dt dt           = +  +  = +  +            注意： 0 0 0 d d dt dt   =  0 0 0 0 ( ) L V ma m v m r r r       = − −  −   −       其中第三项计算见下式 ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 2 2 2 0 0 0 0 0 0 0 0 r r r r r r 2 2 r r                = −  = −  = −                     于是得到拉格朗日方程： 0 0 0 0 0 ( ) 2 0 d L L V ma ma m r m r m v dt v r r          − = + +  +   +  + =           ， 这就是非惯性系中的牛顿动力学方程。由此可见， L 确实就是非惯性系的拉格朗日函数。 我们还可以从另一角度来看拉格朗日函数 L 中各项的物理意义。非惯性系中的牛顿动力学方程： 0 0 0 0 0 ( ) 2 V ma ma m r m r m v r          = − −  −   −  −   ( ) ( ) 2 1 0 0 0 1 2 V m r m r r r        −   =   −            惯性离心力为有势力

d aa doi-‖mr·( Oxi au aU 这是广义有势力 dt av 这是有势力 于是非惯性系拉格朗日函数:D=m2-(++12+U) 由于L′一般说来是显含时间的,能量守恒定律和广义能量守恒定律一般说来不成立 下面我们举两个例子,或许有助于我们看清其物理意义 【例1】参考系S”相对于参考系S作匀角速度的定轴转动,两个坐标系的公共原点选在转动轴上的 一点O,Oz与OZ保持重合,z=2,基矢k与e均沿着固定转动轴,与同向,0=Ok=003, 0是常数,画0=0。质点的矢径F=+P,后≡0,∴节=0,a=0,F=r Ji=e, cosmo+e2 sinO e=icosoof-jsinoot i=Ooj =-e, sin Ool+e, cos@of le=isin (+ jcos! j=-00i x'=XCOSO, (+ysinof x=x cosO/@of y=-xsin Oot+cos oot y=xsin oot+y'cos oot 矢径=x+吧2+2=x7+y+k= V=r=xe, t ye,+ze (+j+)+(x-y =v+×F (i'-yoo)i+('+roo)j+'k 在参考系S 7=2m(x+y2+2)=2(2+y2+)+mn(xy-y()+n2o(x2+y),=0 L=-V=1m(x2+y2+2)=m(2+y2+2)+mn(x 上述拉格朗日函数的两个表达式都是在参考系S中写出的,只是所采用的广义坐标不同 在参考系S,T=bm(x2+y2+2) m(ooxr)+mr.@oxv) L=7-=5;m(2+2+)+-1m(x)+mF(axn m(x2+y2+2)+m(xy-y)+,m2(x2+y2),E与L的第二个表达式完全相 同,只是L’中的后两项来自惯性力的势能或广义势能,而L中的三项均是动能的组成部分 【例2】质点约束在一直杆上,此直杆在水平面内围绕原点作匀角速度(a)转动。先在惯性参考系S中

5 0 0 0 2 ( ) d d U U m r m v mr v dt v r dt v r          −  −  = −    −                    这是广义有势力 ( ) 2 0 0 V ma mr a r r   − = −   −      这是有势力。 于是非惯性系拉格朗日函数： ( ) 2 1 2 1 2 L mv V V V U   = − + + + 由于 L 一般说来是显含时间的，能量守恒定律和广义能量守恒定律一般说来不成立。 下面我们举两个例子，或许有助于我们看清其物理意义。 【例 1】参考系 S 相对于参考系 S 作匀角速度 0 的定轴转动，两个坐标系的公共原点选在转动轴上的 一点 O，OZ 与 OZ 保持重合， z z  = ，基矢 k 与 3 e 均沿着固定转动轴，与 0 同向， 0 0 0 3    = = k e ， 0 是常数， 0  = 0 。质点的矢径 0 r r r = + ， 0 r  0, 0 0 v a = = 0, 0, r r =  1 0 2 0 1 0 0 0 1 0 2 0 2 0 0 0 cos sin cos sin sin cos sin cos i e t e t e i t j t i j j e t e t e i t j t j i             = + = − =            = − + = +  = − 0 0 0 0 0 0 0 0 cos sin cos sin sin cos sin cos x x t y t x x t y t y x t y t y x t y t              = + = −        = − + = + 矢径 1 2 3 r xe ye ze x i y j z k r = + + = + + =     ( ) ( ) ( ) ( ) 1 2 3 0 0 0 0 v r xe ye ze x i y j z k x j y i v r x y i y x j z k     = = + + = + + + −      = +    = − + + +      在参考系 S ， ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 2 2 2 2 2 2 2 0 0 1 2 2 2 m m T m x y z x y z m x y y x x y = + + = + + + − + +            ， V = 0 ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 2 2 2 2 2 2 2 0 0 1 2 2 2 m m L T V m x y z x y z m x y y x x y = − = + + = + + + − + +            上述拉格朗日函数的两个表达式都是在参考系 S 中写出的，只是所采用的广义坐标不同。 在参考系 S， ( ) 1 2 2 2 2 T m x y z     = + + ， ( ) ( ) 2 0 0 1 2 V m r mr v     = −  +     ( ) ( ) 2 2 2 2 0 0 1 1 ( ) 2 2 L T V m x y z m r mr v              = − = + + − −  +       ( ) ( ) ( ) 2 2 2 2 2 2 0 0 1 1 2 2 = + + + − + + m x y z m x y y x m x y            ， L 与 L 的第二个表达式完全相 同，只是 L 中的后两项来自惯性力的势能或广义势能，而 L 中的三项均是动能的组成部分。 【例 2】质点约束在一直杆上，此直杆在水平面内围绕原点作匀角速度 (0 ) 转动。先在惯性参考系 S 中