《分析力学》课程教学资源（电子教案）第四章 哈密顿力学（下）

第四章哈密顿力学(下) 4.5.泊松括号 1. Poisson括号的定义 设Q,v都是正则变量Pa2,qn和时间t的任意足够光滑的函数: =0(P2,qn,1)v=v(P29n) 则和的Pm括号定义为(时=(anay-gna (不同作者的定义可能相差一个符号) 【注意】求偏导数时,P2qn,t视作相互独立,求全导数时,p2,qn视作t的函数,即 6 0 0 B t daa pa dt 中。d0 dt dt at 2. Poisson括号的性质 i。[=v],反对称性→[,]=0 i。C=0,同样有:[C]=0,[cC2]=0其中CC1,C2均为常数。 ⅲl双线性 [1+2,v]=[]+[2,小→pw+v2]=园W]+[v2 cay]=C→[,Cv=C[,v] 般的,∑Cy=∑C,=9∑Cw|=∑cmw C,C,均为常数。 ivo [e,o,vl+lo, bv, 0+b,e, =0 [92小=[2,v]+[四,v/2→[wv2]=vw2]+[w]2 v。 对于 dt ap aqa dt 有类似公式成立 vi。[qnq7]=0.[D,p]=0.[p9]=6

1 第四章 哈密顿力学 （下） 4．5．泊松括号 1． Poisson 括号的定义 设 , 都是正则变量 p q,   和时间 t 的任意足够光滑的函数：     = = ( p q t p q t     , , , , ) ( ) 则  和  的 Poisson 括号定义为：   1 , s  p q q p           =       = −          （1） （不同作者的定义可能相差一个符号） 【注意】求偏导数时， p q t , ,   视作相互独立，求全导数时， p q,   视作 t 的函数，即 1 0 0, 0 0 , s p p p q q q q p t q p t dq dp d q p q p dt dt dt t q p                        =       = = = = = =            = = = + +         2．Poisson 括号的性质 ⅰ。, = −, ，反对称性 , = 0 ⅱ。C, = 0 ，同样有： , 0, , 0 C C C  = =  1 2  其中 1 2 C C C , , 均为常数。 ⅲ。双线性   ,  ,  , 1 + 2 = 1 + 2       1 2 1 2  , + = , + , C, = C,,C = C, 一 般 的 ，         = = = = =       =       N i i i N i i i N i i i N i Ci i C C C 1 1 1 1  ,  , ,  , ， , C Ci 均为常数。 ⅳ。,,+ ,,+ ,, = 0 ⅴ。            1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2   , =  , +  ,   ,  = , + ,  ⅵ。           +         =   t t t     , , , ， 对于 , , d p q dt       有类似公式成立。 ⅶ。 q q p p p q , 0, , 0, ,              = = =       

。[qJ=[p 说明:;ii、v表示其某些和乘法类似的性质,但不满足交换律[参见(i)],也不满足结 合律[参见(iⅳ)] 又:ⅶ、ⅶi表述了某些与量子力学有重要联系的性质 3.利用 Poisson括号表述哈密顿正则方程和一些有关的结果。 (1)设一个力学体系的哈密顿量为H(Pq),则任意光滑函数p(Pq,)的全导数可以利用 Poisson 括号表示为:“(4=0+[H (2) ①若=0,即=9(p.q),则4=[H,o] dh aH ②若q=H,则 d'点%参OH s0aH_0H=h,能量守恒或广义能 量守恒。 ③取p=P,9就得到=Pn=[H,P,m=9=[ 这就是用 Poisson括号表示的正则方程 (2)定理:p(P,q,)=C成为正则方程积分的充要条件为:+[H1,]=0 证明:如果(P,q)=C是正则方程的积分,则有=0利用(2)即得。 如果以(q)满足偏微分方程(4)0+[H,=0 H OHc=0则与之对应的常微分方程组,可表为 dt dq da dp q IaH aH H aH ap 这正是正则方程。由引理(见下面)可知(Pq,)=C是正则方程的积分, 引理:连续可微函数F=F(x,x,x2…x)为偏微分方程 aF X X=0 (5) (X=X(xnx…xn),=0,…m有连续导数,且X不同时为零)的一个解的充要条 件为:F(x0,x…x)=C为常微分方程组

2 ⅷ。 , , q p    p q           = = −   说明：iii、vi 表示其某些和乘法类似的性质，但不满足交换律[参见（i）]，也不满足结 合律[参见（iv）]。 又：vii、viii 表述了某些与量子力学有重要联系的性质。 3．利用 Poisson 括号表述哈密顿正则方程和一些有关的结果。 （1）设一个力学体系的哈密顿量为 H p q t ( , , ) ，则任意光滑函数  ( p q t , , ) 的全导数可以利用 Poisson 括号表示为： ( )   , , , d p q t H dt t     = +  （2） ①若 = 0   t  ，即  = ( p q, ) ，则  ,  d H dt  =  ②若  = H ，则 t H dt dH   = ，这意味着 H h dt dH t H =  = =   0 0 ，能量守恒或广义能 量守恒。 ③取 p q ,  =   就得到  , , ,    dp dq p H p q H q dt dt   = = = =     （3） 这就是用 Poisson 括号表示的正则方程。 （2）定理：  ( p q t C , , ) = 成为正则方程积分的充要条件为： H, 0  t    + =  （4） 证明：如果  ( p q t C , , ) = 是正则方程的积分，则有 = 0 dt d 利用（2）即得。 如果  ( p q t , , ) 满足偏微分方程（4） H, 0  t    + =  ，即 1 0 1 1 =             + −             +      = = n i i i n i i i q p H p q H t    则与之对应的常微分方程组，可表为           − = =           − =           = =           = n n n n q H dp q H dp p H dq p H dt dq   1 1 1 1 1 这正是正则方程。由引理（见下面）可知  ( p q t C , , ) = 是正则方程的积分， 引理：连续可微函数 F F x x x x = ( 0 1 2 , , , n ) 为偏微分方程 0 0 1 0 =   +   = n i i i x F X x F X （5） （ X X x x x i n i i n = = ( 0 1 , , 0,1, , ) 有连续导数，且 Xi 不同时为零）的一个解的充要条 件为： F(x0 , x1 xn ) = C 为常微分方程组

d x. dx d x 的一个积分 证 对于任意连续可微函数F(x…,x)可计算.+2,而对于等 式F(xnx1…,x)=C,台d=+∑d=0 如果F=F(xnx1…,x)满足(5),而方程组(6)等价于 X=dxo X=ndx. i=1.2.n 6) 代入(5)得4(0+①d=0,即可+么=0,则 F(x0,x1…,xn)=C是(6)的积分。反之,如果F(x0,x1…,x)=C是(6)的积分, 那么一dx+ d,=0必满足(6).把(6)代入,得X0谷 X aF aF 即x+∑X=0,则F=F(xx,…x)是偏微分方程(5)的一个解。 关于引理,我们还可以从另一个角度来理解。常微分方程组(6)即 X,-Odx,=0 X,dxo-Xodx2=0 X, dxo-xodx 由F(n,x…x)=C得a+=0,F=C要成为常微分方程组(6)的积 分,应与(6)协调,即上述n+个方程组成的线性齐次方程组,应有非零解( dx. dx1…dxn), 其充要条件为行列式

3 n n X dx X dx X dx X dx = = =  2 2 1 1 0 0 （6） 的一个积分。 证明： 对于任意连续可微函数 ( ) n F x , x , , x 0 1  ，可计算 =   +   = n i i i dx x F dx x F dF 1 0 0 ，而对于等 式 F(x0 , x1 ,  , xn ) = C ， 0 1 0 0 =   +   = = n i i i dx x F dx x F dF （0） 如果 ( ) n F F x , x , , x = 0 1  满足（5），而方程组（6）等价于 X0 = dx0 Xi = dxi i = 1,2n （6 ） 代入（ 5 ） 得 0 1 0 0 =          +   = n i i i dx x F dx x F  ， 即 0 1 0 0 =   +   = n i i i dx x F dx x F ， 则 F(x0 , x1 ,  , xn ) = C 是（6）的积分。反之，如果 F(x0 , x1 ,  , xn ) = C 是（6）的积分， 那么 0 1 0 0 =   +   = n i i i dx x F dx x F 必满足（6）。把（6 ）代入，得 0 1 0 1 0 =          +   = n i i i x F X x F X  ， 即 0 0 1 0 =   +   = n i i i x F X x F X ，则 ( ) n F F x , x , , x = 0 1  是偏微分方程（5）的一个解。 关于引理，我们还可以从另一个角度来理解。常微分方程组（6）即 0 0 0 0 0 2 0 0 2 1 0 0 1 − = − = − = Xn dx X dxn X dx X dx X dx X dx  由 F(x0 , x1 ,  , xn ) = C 得 0 1 0 0 =   +   = n i i i dx x F dx x F ，F=C 要成为常微分方程组（6）的积 分，应与（6）协调，即上述 n+1 个方程组成的线性齐次方程组，应有非零解 ( ) dx0 dx1 dxn , ， 其充要条件为行列式

X 0-X 0 即x(x,+x,af)=0,亦即F是偏微分方程(5)的一个解 (3)两个运动积分的泊松括号也是运动积分。即:如果o(P,q,t)=C1和v(pn,q,l) 是正则方程的两个积分,那么[]=C3也是正则方程的一个积分。(称为 Poisson定理或 Jacobi- Poisson定理) 有了 Poisson定理,似乎只要有了两个积分,就能求出第三个,第四个……问 题就解决了,其实不然。 Poisson定理只提供了求第三个积分的方法,但未保 证得到的积分是独立于已知积分的,非平庸的。因此问题远未解决。 (4)泊松括号在(单价)正则变换下保持不变,即[9,vl。=[,yla H 【例1】 0时,正则方程有积分H=h 如果已知另一个积分q(p,qst)=C,那么[q,H=C也是一个积分,事实上这个积分就是 进一步可得 a2=C2,…也是积分。若Cq=0或常数,则新的积分是平庸的(只是 恒等式) 【例2】43页例题2(1),椭圆摆 =0有能量积分 H 2 cos o E 2(m,+m, sin20 aH =0有循环积分(水平方向动量守恒),p=C, 2=0,不能得到新 的积分。 【例3】教材264页【例2】讨论了角动量,如果J=C1,Jy=C2是两个积分,那么J=C3也 是一个积分。可以研究 (1)这个结论对质点组是否成立 (2)这个结论可否推广为:如果角动量在某两个方向(不相同,也不相反)上的投 影守恒,Ja=C1,J=C2,那么J在任意方向的投影守恒

4 0 0 0 0 0 0 0 1 2 0 2 0 1 0 =         − − − n n x F x F x F x F X X X X X X           即 1 0 0 0 1 0 n n i i i F F X X X x x − =       + =      ，亦即 F 是偏微分方程（5）的一个解。 （3）两个运动积分的泊松括号也是运动积分。即:如果 ( ) 1  ps , qs ,t = C 和 ( ) 2  ps , qs ,t = C 是正则方程的两个积分，那么   3 , = C 也是正则方程的一个积分。（称为 Poisson 定理或 Jacobi－Poisson 定理） 有了 Poisson 定理，似乎只要有了两个积分，就能求出第三个，第四个……问 题就解决了，其实不然。Poisson 定理只提供了求第三个积分的方法，但未保 证得到的积分是独立于已知积分的,非平庸的。因此问题远未解决。 （4）泊松括号在（单价）正则变换下保持不变,即     , , , , p q P Q     = 【例 1 】 = 0   t H 时，正则方程有积分 H=h. 如果已知另一个积分(ps,qs,t)=C,那么[, H]=C 也是一个积分,事实上这个积分就是 C1 t =   −  。 进一步可得， 2 2 2 C , t   =  也是积分。若 0 k k t     或常数，则新的积分是平庸的（只是 恒等式）. 【例 2】 43 页例题 2（1），椭圆摆 = 0   t H 有能量积分 ( ) 2 2 1 2 2 2 2 1 2 2 1 2cos cos 2 sin y y m m H p p p p m gl E m m m l l        + = + − − =   +   = 0   y H 有循环积分（水平方向动量守恒），py=C，  ,  = 0   = − t p p H y y ，不能得到新 的积分。 【例 3】 教材 264 页【例 2】讨论了角动量，如果 Jx=C1，Jy=C2 是两个积分，那么 Jz=C3 也 是一个积分。可以研究： （1） 这个结论对质点组是否成立 （2） 这个结论可否推广为：如果角动量在某两个方向（不相同，也不相反）上的投 影守恒，J=C1，J=C2，那么 J  在任意方向的投影守恒

4.6.哈密顿一雅可比方程(积分 Hamilton正则方程的 Jacobi方法) 1.正则变换的目的是使尽可能多的正则变量成为循环坐标,以得到尽可能多的循 环积分。最理想的情况是:经过正则变换,使新的哈密顿量H*=0,于是P=0 Q。=0,即所有新的正则变量都成为循环坐标,所以P==常数,Q=5= 常数(a=1,2,…,S) 利用由正则变换充分条件∑(Pn+QB)+(H-H)h=dF(q,P)得到的 aF2 aF2 P Q t aP 于是得到正则变换的母函数应满足的偏微分方程 aF2 (q, n,t) aF g, t 由于方程中只含未知函数F2的偏导数,不含未知函数本身,因此方程(1)可以改写为: t|=0 ot 其中S(qn1)=F(q7)+C(2) 方程(1)或(1)称为 Hamilton-Jacobi方程,S称为 Hamilton主函数。这是一阶偏微分 方程,未知函数S是qn,1共S+1个自变量的函数,完全解S应含有(s+1)个常数,其中F2含 有s个常数n,所以S中有一个相加常数C是理所应当的 Hamilton主函数(积分限不确定的哈密顿作用量,因此又称哈密顿作用函数)的物理意义: s=lLdt (7) (7)式中的积分是不定积分(S应含一个相加常数C)。证明过程见教材266页。由证明过 程可见,在积分时,应将拉格朗日函数中的q,q视作t的函数,(【注意】 L 两者是不同的。)因此在解得正则方程之前,是无法具体求出S=S(q7)的。(利用前式积 分S=-HM其中q,=P在积分过程中视作常数,但H=H(pq)其中p是1的怎 样的函数在解得正则方程之前是未知的,因此在解得正则方程之前,也是无法具体求出 S=S(q,71)的。)(7)式不能作为HJ方程的完全解进一步去求正则方程的积分。为此我 们必须另辟途径去求HJ方程的完全解。(求S的方法放在第3段讨论)

5 4．6．哈密顿—雅可比方程（积分 Hamilton 正则方程的 Jacobi 方法） 1．正则变换的目的是使尽可能多的正则变量成为循环坐标，以得到尽可能多的循 环积分。最理想的情况是：经过正则变换，使新的哈密顿量 H* 0 = ，于是 P 0  = ， Q 0  = ，即所有新的正则变量都成为循环坐标，所以 P  = =常数， Q  = = 常数 ( =1,2, ,s) 。 利用由正则变换充分条件 ( ) ( ) ( ) * 2 1 , , s p dq Q dP H H dt dF q P t     =  + + − = 得到的 F2 * H H t  = −  ， F F 2 2 p Q q P       = =   ， 于是得到正则变换的母函数应满足的偏微分方程 2 ( ) 2 , , , , 0 F q t F H q t t q      + =       (1) 由于方程中只含未知函数 F2 的偏导数，不含未知函数本身，因此方程(1)可以改写为： , , 0 S S H q t t q    + =      (1’) 其中 S q t F q t C ( , , , ,   ) = + 2 ( ) （2） 方程(1)或（1’）称为 Hamilton-Jacobi 方程， S 称为 Hamilton 主函数。这是一阶偏微分 方程，未知函数 S 是 q t,  共 s +1 个自变量的函数，完全解 S 应含有 ( 1) s + 个常数，其中 F2 含 有 s 个常数  ，所以 S 中有一个相加常数 C 是理所应当的。 Hamilton 主函数（积分限不确定的哈密顿作用量，因此又称哈密顿作用函数）的物理意义：  S = Ldt （7） （7）式中的积分是不定积分（ S 应含一个相加常数 C ）。证明过程见教材 266 页。由证明过 程可见，在积分时，应将拉格朗日函数中的 q q, 视作 t 的函数，（【注意】 , S dS H L t dt  = − =  两者是不同的。）因此在解得正则方程之前，是无法具体求出 S S q t = ( , ,  ) 的。（利用前式积 分 S Hdt = − 其中 q P ,     = 在积分过程中视作常数，但 H H p q t = ( , , ) 其中 p 是 t 的怎 样的函数在解得正则方程之前是未知的，因此在解得正则方程之前，也是无法具体求出 S S q t = ( , ,  ) 的。）（7）式不能作为 H-J 方程的完全解进一步去求正则方程的积分。为此我 们必须另辟途径去求 H-J 方程的完全解。（求 S 的方法放在第 3 段讨论）