二、曲线的凹凸与拐点 定义.设函数f(x)在区间I上连续,Vx1,x2∈I, (1)若恒有f(2)< f(x1)+f(x2) ,则称f(x)的 2 2 图形是凹的; 2)若恒有(2)>()+/(x2) ,则称f(x)的 图形是凸的 连续曲线上的凹凸分界点 (x0,f(x)称为拐点
7 定义 . 设函数 在区间 I 上连续 , (1) 若恒有 则称 图形是凹的; (2) 若恒有 则称 图形是凸的 . y o x1 x2 x 2 1 2 x +x y o x1 x 2 1 2 x +x 2 x y o x 二、曲线的凹凸与拐点 连续曲线上的凹凸分界点 称为拐点
定理2凹凸判定法)设函数f(x)在区间上有二阶导数 (1)在内f"(x)>0,则f(x)在内图形是四的;+/ (2)在1内"(x)<0,则f(x)在/内图形是凸的 证:Vx,x2∈,利用一阶泰勒公式可得 f(x)=/(+)+3x12)+5(x-+2 (x)=f(+)+)x一)计2(x2-+ 两式相加 f(x1)+f(x2)=2f( X1+x2 +(2)L"5)+f"(52 当(x)>0时,)(x27f(2 说明(1)成立 (2)证毕
8 定理2.(凹凸判定法) (1) 在 I 内 则 在 I 内图形是凹的 ; (2) 在 I 内 则 在 I 内图形是凸的 . + − 证: 利用一阶泰勒公式可得 ( ) ( ) 1 f x = f 2 1 2 x + x 2 ! ( ) 1 f + 2 1 (x − ) 2 1 2 x + x ( ) ( ) 2 f x = f 2 1 2 x + x + f ( ) 2 1 2 x + x ( ) x2 − 2 1 2 x + x 2 ! ( ) 2 f + 2 2 (x − ) 2 1 2 x + x 两式相加 ( ) ( ) 2 ( ) 1 2 f x + f x = f 2 1 2 x + x 2 2! 2 1 ( ) 2 1 x −x + [ ( ) ( )] 1 2 f + f 当f (x) 0时, ( ), 2 ( ) ( ) 1 2 f f x f x + 2 1 2 x + x 说明 (1) 成立; (2) + f ( ) 2 1 2 x + x ( ) 1 x 2 1 2 x + x 设函数 在区间I 上有二阶导数 证毕