定理2(充分条件若函数z=/(xy)的偏导数,0 OX 在点(x,y)连续,则函数在该点可微分 证:Az=f(x+Ax,y+△y)-f(x,y =[f(x+△x,y+△y)-f(x,y+△y) +[f(x,y+△y)-f(x,y) =fx(x+1△x,y+△y)Ax+f,(x,y+62y)Ay (0<1,2<1 Lx(x,y)+aAx+lf,(x,y)+B Ay a=0, lim B=0 △x->0 △x->0 △y->0 △y->0 HIGH EDUCATION PRESS 机动目录上页下页返回结束
=[ f (x + x, y + y) ] 定理2 (充分条件) y z x z , 证： z = f (x + x, y + y) − f (x, y) (0 , 1) 1 2 f x y x = [ x ( , ) + ] f x y y y = f x (x +1x, y + y)x + y ( , + 2 ) − f (x, y + y) +[ f (x, y + y ) − f (x, y)] f x y y +[ y ( , ) + ] 若函数 的偏导数 在点(x, y) 连续, 则函数在该点可微分. 机动 目录 上页 下页 返回 结束 lim 0 0 0 = → → y x lim 0, 0 0 = → → y x
△z f(, y)Ax+f,(x,yAy+aAx+BA lim a=0, lim B=0 △x->0 △y→>0 △y→)0 注意到 a△x+B△ a+B,故有 Az=f(x, y)Ax+fy(x,y)Ay+o(p) 所以函数z=f(x,y)在点(x,y)可微 HIGH EDUCATION PRESS 机动目录上页下页返回结束
z = f x y x f x y y = x ( , ) + y ( , ) z f x y x f x y y = x ( , ) + y ( , ) + x + y 所以函数 + x + y 在点 可微. 机动 目录 上页 下页 返回 结束 lim 0 0 0 = → → y x lim 0, 0 0 = → → y x 注意到 , 故有 + o( )
推广:类似可讨论三元及三元以上函数的可微性问题 例如,三元函数u=f(x,y,2)的全微分为 du △x+ ze A ne ou +-△z 习惯上把自变量的增量用微分表示,于是 ou du dx+dy+dz Oy 记作dld,d dx u,dyu,d=l称为偏微分故有下述叠加原理 du=d u+d, u+d u HIGH EDUCATION PRESS 机动目录上页下页返回结束
+ x x u 推广: 类似可讨论三元及三元以上函数的可微性问题. 例如, 三元函数 u = f (x, y,z) d u = 习惯上把自变量的增量用微分表示, d u = 记作 故有下述叠加原理 u u u u x y z d = d + d + d 称为偏微分. z z u d + dz u 的全微分为 + y y u z z u 于是 机动 目录 上页 下页 返回 结束 u u u x y z d ,d ,d
例1.计算函数z=e在点(2,1)处的全微分 az 解 or e-y e xy Ox(2,1) y d edx+2e- d y=e(dx+2d y 例2.计算函数M=x+sim+e的全微分 #4: du=l dx+( cos)+zey)dy+yey2dz HIGH EDUCATION PRESS 机动目录上页下页返回结束
例1. 计算函数 在点 (2,1) 处的全微分. 解: = x z 2 2 2 (2,1) , (2,1) e y z e x z = = 例2. 计算函数 的全微分. 解: d u = y y ( cos )d 2 2 1 + = y z , xy ye xy xe y z z e 机动 目录 上页 下页 返回 结束