3扩散方程 驰-（删）+》+( (D是扩散系数) 逾国
3 扩散方程 𝜕𝑁 𝜕𝑡 = 𝜕 𝜕𝑥 𝐷 𝜕𝑁 𝜕𝑥 + 𝜕 𝜕𝑦 𝐷 𝜕𝑁 𝜕𝑦 + 𝜕 𝜕𝑧 𝐷 𝜕𝑁 𝜕𝑧 D是扩散系数
§2初边值问题的分离变量法 考虑定解问题 :=a2uxx(t>0,0<x<l) 4=0=o(网 u=0.(ux+hu==0 (h>0) 国
§2 初边值问题的分离变量法 考虑定解问题 𝑢𝑡 = 𝑎 2𝑢𝑥𝑥 𝑡 > 0，0 < 𝑥 < 𝑙 𝑢ቚ 𝑡＝0 = 𝜑 𝑥 𝑢ቚ 𝑥=0 = 0， 𝑢 ቚ 𝑥 + ℎ𝑢 𝑥＝𝑙 = 0（h > 0）
§2初边值问题的分离变量法 令ux)=Xro代入方，XT=a2x"T即号=需=-.则 得T'+a21T=0,X"+λX=0.再由边界条件得x(0)=0,X'()+ hx()=0,则得特征值问题 X"+λX=0 X(0)=0,X'()+hX()=0
令𝑢 𝑥,𝑡 = 𝑋 𝑥 𝑇 𝑡 代入方程，𝑋𝑇 ′ = 𝑎 2𝑋 ′′𝑇即 𝑋 ′′ 𝑋 = 𝑇 ′ 𝑎2𝑇 = −𝜆，则 得𝑇 ′ + 𝑎 2𝜆𝑇 = 0，𝑋 ′′ + 𝜆𝑋 = 0.再由边界条件得𝑥 0 = 0，𝑋 ′ 𝑙 + ℎ𝑋 𝑙 = 0，则得特征值问题 §2 初边值问题的分离变量法 ቐ 𝑋 ′′ + 𝜆𝑋 = 0 𝑋 0 = 0,𝑋 ′ 𝑙 + ℎ𝑋 𝑙 = 0
§2初边值问题的分离变量法 对分三种情况讨论，得 (i)当)≤0时，只有平凡解X(x)=0 (ii)当>0时，X(x)=A cosv7x+B sinv7x,利用X(0)=0 得A=0,又由X'()+hX()=0得 B(vcosval+hsinval)=0 为使X(x)是非平凡解，λ应满足 V元cos VAl+h sinvl=0 国
§2 初边值问题的分离变量法 对𝜆分三种情况讨论，得 （ⅰ）当𝜆 ≤ 0时，只有平凡解𝑋 𝑥 = 0 （ⅱ）当𝜆 > 0时，𝑋 𝑥 = 𝐴 cos 𝜆𝑥 + 𝐵 sin 𝜆𝑥 ，利用𝑋 0 = 0 得𝐴 = 0，又由𝑋 ′ 𝑙 + ℎ𝑋 𝑙 = 0得 𝐵 𝜆 cos 𝜆𝑙 + ℎ sin 𝜆𝑙 = 0 为使𝑋 𝑥 是非平凡解，𝜆应满足 𝜆 cos 𝜆𝑙 + ℎ sin 𝜆𝑙 = 0
§2初边值问题的分离变量法 即应是方程的正解，tanV=-是若令v=Va,则变为 1 tanv=- 利用图解法或数值解法可得其根. 由图知方程有可列无穷多个正根vk>0(k=1,2,.),满足 (k-》π<k<k,因此存在无穷多个特征值 =()k=12,.)
§2 初边值问题的分离变量法 即𝜆应是方程的正解，tan 𝜆𝑙 = − 𝜆 ℎ .若令𝑣 = 𝜆𝑙，则变为 tan 𝑣 = − 1 𝑙ℎ 𝑣 利用图解法或数值解法可得其根. 由图知方程有可列无穷多个正根𝑣𝑘 > 0 𝑘 = 1,2,⋯ ，满足 𝑘 − 1 2 𝜋 < 𝑣𝑘 < 𝑘𝜋，因此存在无穷多个特征值 𝜆𝑘 = 𝑣𝐾 𝑙 2 𝑘 = 1,2,⋯