第五章 阶偏微分方程组 习题5-1 1.把波动方程 张+票+ 带初始条件 =0=p(x,头，2 . 的柯西问题化为一个一阶方程组的柯西问题，并证明其解的等价性. 解令一山=器一需一则足波动方程和所给初始条作，么 数山，0，山1,2，出满足如下的一阶方程组 (1.1) (1.2) 3u? at- (1.3) 尝- (1.4) (1.5) 及初始条件 =0=p(红，弘) (2.1) olt=0=(红，z) (2.2) 1t=0=9(x,2) (2.3) 42l=0=(红，头，) (2.4) =0=(红，头， (2.5) 反之，若山，0,1,2，是(1.1)(2.5)的解，今证u一定满足所给波动方程及初始条件 由(15、(2.1、(2.2)，显然u满足初始条件 利用(1.5)替换(1.2)、(1.3、(1.4)中的0得到 -=0-=品-=0 1
✶✃Ù ➌✣➔❻➞➄➜⑤ ❙❑ 5-1 1. r➴➘➄➜ ∂ 2u ∂t2 = a 2 ( ∂ 2u ∂x2 + ∂ 2u ∂y2 + ∂ 2u ∂z2 ) ➅Ð➞❫❻ u|t=0 = ϕ(x, y, z) ∂u ∂t |t=0 = ψ(x, y, z) ✛❹Ü➥❑③➃➌❻➌✣➄➜⑤✛❹Ü➥❑➜➾②➨Ù✮✛✤❞✺. ✮ ✲ u0 = ∂u ∂t , u1 = ∂u ∂x, u2 = ∂u ∂y , u3 = ∂u ∂z ➜❑❡ u ÷✈➴➘➄➜Ú↕❽Ð➞❫❻➜❅♦➻ ê u, u0, u1, u2, u3 ÷✈❳❡✛➌✣➄➜⑤ ∂u0 ∂t = a 2 ( ∂u1 ∂x + ∂u2 ∂y + ∂u3 ∂z ) (1.1) ∂u1 ∂t = ∂u0 ∂x (1.2) ∂u2 ∂t = ∂u0 ∂y (1.3) ∂u3 ∂t = ∂u0 ∂z (1.4) ∂u ∂t = u0 (1.5) ✾Ð➞❫❻ u|t=0 = ϕ(x, y, z) (2.1) u0|t=0 = ψ(x, y, z) (2.2) u1|t=0 = ϕ 0 x (x, y, z) (2.3) u2|t=0 = ϕ 0 y (x, y, z) (2.4) u3|t=0 = ϕ 0 z (x, y, z) (2.5) ❻❷➜❡ u, u0, u1, u2, u3 ➫(1.1)-(2.5)✛✮➜✽② u ➌➼÷✈↕❽➴➘➄➜✾Ð➞❫❻. ❞(1.5)✦(2.1)✦(2.2)➜✇✱ u ÷✈Ð➞❫❻ u|t=0 = ϕ(x, y, z), ∂u ∂t |t=0 = ψ(x, y, z) ⑤❫(1.5)❖❺(1.2)✦(1.3)✦(1.4)➙✛ u0 ✚✔ ∂ ∂t(u1 − ∂u ∂x) = 0, ∂ ∂t(u2 − ∂u ∂y ) = 0, ∂ ∂t(u3 − ∂u ∂z ) = 0 1
因先：山一密一密。一架告与无美，又由初始条微2小但小2小2列知， 当t=0时，有 西-折2=瑞g- 因此，上式对于所有的t都成立，以 w=贺如=器如-需如-贺 代入(11)，得到u满足波动方程 因此，所给的波动方程的柯西问题和以上一阶方程组的柯西问题是等价的. 2.把方程 装-+ 带初始条微 k=o=0 的柯西问题化为一个一阶偏微分方程组的柯西问题。 解令山=山=器=得一阶拟线性方程 O=o 0=好+吃 及初始条微 4=0=0 uol=o e"siny 41=0=0 2lh=0-0 3.证明任一科瓦列夫斯卡娅型方程(1.9)的何西问题（在t=0时，给定，·， 之值作为初
Ï❞➜u1 − ∂u ∂x, u2 − ∂u ∂y , u3 − ∂u ∂z ✛❺ t ➹✬➜q❞Ð➞❫❻(2.1)✦(2.3)✦(2.4)✦(2.5)⑧➜ ✟ t = 0 ➒➜❦ u1 = ∂u ∂x, u2 = ∂u ∂y , u3 = ∂u ∂z Ï❞➜þ➟é✉↕❦✛ t Ñ↕á➜➧ u0 = ∂u ∂t , u1 = ∂u ∂x, u2 = ∂u ∂y , u3 = ∂u ∂z ➇❭(1.1)➜✚✔ u ÷✈➴➘➄➜. Ï❞➜↕❽✛➴➘➄➜✛❹Ü➥❑Ú➧þ➌✣➄➜⑤✛❹Ü➥❑➫✤❞✛. 2. r➄➜ ∂ 2u ∂t2 = (∂u ∂x) 2 + (∂u ∂y ) 2 ➅Ð➞❫❻ u|t=0 = 0 ∂u ∂t |t=0 = e x sin y ✛❹Ü➥❑③➃➌❻➌✣➔❻➞➄➜⑤✛❹Ü➥❑. ✮ ✲ u0 = ∂u ∂t , u1 = ∂u ∂x, u2 = ∂u ∂y ✚➌✣❬❶✺➄➜⑤ ∂u ∂t = u0 ∂u0 ∂t = u 2 1 + u 2 2 ∂u1 ∂t = ∂u0 ∂x ∂u2 ∂t = ∂u0 ∂y ✾Ð➞❫❻ u|t=0 = 0 u0|t=0 = e x sin y u1|t=0 = 0 u2|t=0 = 0 3. ②➨❄➌❽✝✎➴❞❦❵✳➄➜(1.9)✛❹Ü➥❑↔✸ t = 0 ➒➜❽➼ u, · · · , ∂ m−1u ∂tm−1 ❷❾❾➃Ð 2
值)可以化为一阶方程组的柯西问题，并证明其解的等价性 解科瓦列夫斯卡娅类型方程组柯西问题： =化，an,2,uw.0zz. OK: (,j=1,2,.,N,K+K1+.+Kn=K≤mK0<n) () =aK=a12m-) 0n-1u 器=a-,器-a-12,刘 一般地。 其中mo+m1+.+mn=k≤n-1且m0<n,-1得一阶方程组 u =听0.0 (i=1,2,3,.,N) (1.1) 。=味+1-0 (k=1,2,.,n-2,i=1,2,., (1.2) 元k 0m1 (1.3) (<m-1,o+1+.+kn≤n-1,1-1,2,.,n,i=1,2,.,N) (1.4) 爱一=侧<w-21=12=12,刘司 0-20-10-0_0-10-0 0=1,2.,n,i=1,2,.,N) (1.6) t Oxl 及初始条件 lt=to=g0(r1,.,xn) (2.1) u00lk==1,.,xn)(k=1,2,.,-1) (2.2) mmte=国，2.） 2.3)
❾↕➀➧③➃➌✣➄➜⑤✛❹Ü➥❑➜➾②➨Ù✮✛✤❞✺. ✮ ❽✝✎➴❞❦❵❛✳➄➜⑤❹Ü➥❑➭ ∂ niui ∂tni = Fi(t, x1, x2, · · · , xn, u1, u2, · · · , uN , · · · , ∂ Kui ∂tK0 ∂x1 K1 · · · ∂xn Kn , · · ·) (i, j = 1, 2, · · · , N, K0 + K1 + · · · + Kn = K ≤ nj K0 < nj ) ∂ Kui ∂tK |t=t0 = ϕ (K) i (x1, x2, · · · , xn) (K = 0, 1, 2, · · · , ni − 1) (1) ✲ ∂ui ∂t = u i 1,0,··· ,0, ∂ 2ui ∂t2 = u i 2,0,··· ,0, ∂ ni−1ui ∂tni−1 = u i ni−1,0,··· ,0, ∂uj ∂x1 = u j 0,1,0,··· ,0,··· , ∂ Kuj ∂xK 1 = u j 0,K,0,··· ,0, (i, j = 1, 2, · · · , N) ➌❸✴➜ ∂ Kuj ∂tm0 ∂x1 m1 · · · ∂xn mn = u j m0,m1,··· ,mn Ù➙ m0 + m1 + · · · + mn = k ≤ nj − 1 ❹ m0 < nj − 1 ✚➌✣➄➜⑤ ∂ui ∂t = u i 1,0,··· ,0 (i = 1, 2, 3, · · · , N) (1.1) ∂ui k,0,··· ,0 ∂t = u i k+1,0,··· ,0 (k = 1, 2, · · · , ni − 2, i = 1, 2, · · · , N) (1.2) ∂ui ni−1,0,··· ,0 ∂t = Fi(t, x1, x2, · · · , xn, u1, u2, · · · , uN , · · · , u j k0,k1,··· ,kn , · · · , ∂ui ni−1,0,··· ,0 ∂xl , · · · , ∂uj m0,m1,··· ,mn ∂xl , · · ·) (1.3) (k0 < nj − 1, k0 + k1 + · · · + kn ≤ nj − 1, l = 1, 2, · · · , n, i = 1, 2, · · · , N) ∂ui 0,1,0,··· ,0 ∂t = ∂ui 1,0,··· ,0 ∂x1 , · · · , ∂ui 0,2,0,··· ,0 ∂t = ∂ui 1,1,0,··· ,0 ∂x1 , · · · (1.4) ∂ui m0,m1,··· ,mn ∂t = ∂ui m0+1,m1,··· ,ml−1,··· ,mn ∂xl (m0 < ni − 2, l = 1, 2, · · · , n, i = 1, 2, · · · , N) (1.5) ∂ui ni−2,0,··· ,1,0,··· ,0 ∂t = ∂ui ni−1,0,··· ,0 ∂xl (l = 1, 2, · · · , n, i = 1, 2, · · · , N) (1.6) ✾Ð➞❫❻ ui |t=t0 = ϕ (0) i (x1, · · · , xn) (2.1) u i k,0,··· ,0 |t=t0 = ϕ (k) i (x1, · · · , xn) (k = 1, 2, · · · , ni − 1) (2.2) u i m0,m1,··· ,mn |t=t0 = ϕ (m0) im1,··· ,mn (x1, x2, · · · , xn) (2.3) ϕ (m0) im1,··· ,mn = ∂ϕ(m0) i ∂xm1 1 · · · ∂xmn n 3
今证解的等价性.显然，若山是原方程组柯西问题的解，则4，。m1m.满足(1.1小(2.3)即为 该一阶方程组柯西问题的解.反之若4，umm,满足(1.1(2.3)，则由(1.1(1.22.1)2.2)知山，满 足原初始条件为证出满足原方程组，只须证明对于所有的：都成立 0u: m一m,=mo之z产m+m++m=k≤%-1 按归纳法证明：由1.1)及(1.2)显然当m0=4-1时有 心a- 当m0=m-2,由方程1.6)(1.2)得 景dr-2n-ah-04=0 drt 即括号内的量与t无关，又由始值(2.2)(2.3)知：当t=to时，括号内的量等于0，故对所有的t有 再利用(1.1)1.2)得 以a。一 即m0=n%-2时成立 若m0=,对任何t成立者 8 tn,m1mm=tmo0rm1.0 则当m0=p-1时，由方程(1.5) 一6开tmz1.0zm.z】 即 升mm-0h）=0 oua 又由始值(2.2)2.3)并利用(1.1)1.2)知括号内当t=0时为零.故对所有的七，括号内的量等于零， 即m0=p-1时仍成立，故m0=-1,4-2,.,1,0时，对所有的t, .-Oto 恒成立，将其代入(13)，即知山满足原方程组.等价性得证. 4
✽②✮✛✤❞✺. ✇✱➜❡ ui ➫✝➄➜⑤❹Ü➥❑✛✮➜❑ ui , ui m0,m1,··· ,mn ÷✈(1.1)-(2.3)❂➃ ❚➌✣➄➜⑤❹Ü➥❑✛✮. ❻❷❡ ui , ui m0,m1,··· ,mn ÷✈(1.1)-(2.3)➜❑❞(1.1)(1.2)(2.1)(2.2)⑧ ui ÷ ✈✝Ð➞❫❻. ➃② ui ÷✈✝➄➜⑤➜➄▲②➨é✉↕❦✛ t Ñ↕á u j m0,m1,··· ,mn = ∂ kuj ∂tm0 ∂xm1 1 · · · ∂xmn n m0 + m1 + · · · + mn = k ≤ nj − 1 ❯✽❇④②➨➭❞(1.1)✾(1.2)✇✱✟ m0 = ni − 1 ➒❦ u i ni−1,0,··· ,0 = ∂ ni−1ui ∂tni−1 ✟ m0 = ni − 2➜❞➄➜(1.6)(1.2)✚ ∂ ∂t(u i ni−2,0,··· ,1,0,··· ,0 − ∂ui ni−2,0,0,··· ,0 ∂xl ) = 0 ❂✮Ò❙✛þ❺ t ➹✬➜q❞➞❾(2.2)(2.3)⑧➭✟ t = t0 ➒➜✮Ò❙✛þ✤✉0➜✙é↕❦✛ t ❦ u i ni−2,0,··· ,1,··· ,0 = ∂ui ni−2,0,··· ,0 ∂xl ✷⑤❫(1.1)(1.2)✚ u i ni−2,0,··· ,1,··· ,0 = ∂ ni−1ui ∂tni−2∂xl ❂ m0 = ni − 2 ➒↕á. ❡ m0 = p➜é❄Û t ↕á❳ u i m0,m1,··· ,mn = ∂ kui ∂tm0 ∂xm1 1 · · · ∂xmn n ❑✟ m0 = p − 1 ➒➜❞➄➜(1.5) ∂ui m0,m1,··· ,mn ∂t = ∂ ∂xl um0+1,m1,··· ,ml−1,··· ,mn = ∂ ∂xl ∂ kui ∂tm0+1∂xm1 1 · · · ∂xml−1 l · · · ∂xmn n = ∂ ∂t( ∂ kui ∂tm0 ∂xm1 1 · · · ∂xml l · · · ∂xmn n ) ❂ ∂ ∂t(u i m0,m1,··· ,mn − ∂ kui ∂tm0 ∂xm1 1 · · · ∂xml l · · · ∂xmn n ) = 0 q❞➞❾(2.2)(2.3)➾⑤❫(1.1)(1.2)⑧✮Ò❙✟ t = t0 ➒➃✧. ✙é↕❦✛ t➜✮Ò❙✛þ✤✉✧➜ ❂ m0 = p − 1 ➒❊↕á➜✙ m0 = ni − 1, ni − 2, · · · , 1, 0 ➒➜é↕❦✛ t➜ u i m0,m1,··· ,mn = ∂ kui ∂tm0 ∂xm1 1 · · · ∂xmn n ð↕á➜òÙ➇❭(1.3)➜❂⑧ ui ÷✈✝➄➜⑤. ✤❞✺✚②. 4
习题5-2 1.求一阶方程 Q四0+a,张+be,tu+c,9=0 回贺+ae蓝+t=0 的特征线和解沿特征线成成立的关系式. 解(1)设有一条光滑曲线c: t=t(a).z=z(a)(t(a)+(a)#) 并已知u在c上的作u-f(a),沿c有 资ro+o=rol 张+ag,架=-eu-6,) 以上是关于贺光的线性代数方程组若沿。 le(a):(o)=0 1a(红，t 则不能地确定出号数贺沿线的作，则是方程的特征线。即 t'(a)a(,t)-2'(a)=0 或 密=ae 即为特征方程，沿特征线c有 费+密+e咖+e利-0 即 +e,加+=0 (2)与(1)同.特征方程为 密=ae
❙❑ 5-2 1. ➛➌✣➄➜ (1) ∂u ∂t + a(x, t) ∂u ∂x + b(x, t)u + c(x, t) = 0 (2) ∂u ∂t + a(x, t) ∂u ∂x + b(x, t, u) = 0 ✛❆✍❶Ú✮÷❆✍❶❆↕á✛✬❳➟. ✮ (1)✗❦➌❫✶✇➢❶ c➭ t = t(σ), x = x(σ) (t 02 (σ) + x 02 (σ) 6= 0) ➾➤⑧ u ✸ c þ✛❾ u = f(σ)➜÷ c ❦ ∂u ∂t · t 0 (σ) + ∂u ∂xx 0 (σ) = f 0 (σ) q ∂u ∂t + a(x, t) ∂u ∂x = −b(x, t)u − c(x, t) ➧þ➫✬✉ ∂u ∂t , ∂u ∂x ✛❶✺➇ê➄➜⑤❡÷ c t 0 (σ) x 0 (σ) 1 a(x, t) = 0 ❑Ø❯➁➌✴✭➼Ñ✓ê ∂u ∂t , ∂u ∂x ÷➢❶ c ✛❾➜❑ c Ò➫➄➜✛❆✍❶➜❂ t 0 (σ)a(x, t) − x 0 (σ) = 0 ➼ dx dt = a(x, t) ❂➃❆✍➄➜➜÷❆✍❶ c ❦ ∂u ∂t + ∂u ∂x dx dt + b(x, t)u + c(x, t) = 0 ❂ Du Dt + b(x, t)u + c(x, t) = 0 (2)❺(1)Ó➜❆✍➄➜➃ dx dt = a(x, t) 5