新疆大学：《偏微分方程》课程教学资源（作业习题）第二章 热传导方程习题和解答

第二章热传导方程 习题2-1 1.一均匀细杆直径为1，假设它在同一截面上的温度是相同的，杆的表面和周围介质发生热变换，并 服从规律 dQ=k1(u -u1)dSdt 又假设杆的密度为，比热为c,热传导系数为k,试导出此时温度u满足的方程 解以杆的对销为：镇时杆的度=杆的面积记为5号。 S +Ar 图1： 在任意时刻t到t+△t内流入截面为x到x+△x一小段细杆的热量为 dQ:=ke+AsAt-(t=SAA∈G,r+A》 Ox 在时刻t到t+△t内在截面为x到x+△x一小段中产生的热量 dQa-k (u-)IArAt-()SArAt 又在t到t+△内截面x到x+△x这一小段内由于温度变化所汲取的热量为 aQ=Cpu(-,.t+A）-wl红，9S△r=Cnu0 SAA (F∈E.t+△t) 由热平衡方程式 kgsaAi-的u-Saar=cp20sAra 消去S△x△t,再令△r一0，△t一0，则有五一x,i一t Cro (- 资=票-u-w)心=高-装》 1

✶✓Ù ✾❉✓➄➜ ❙❑ 2-1 1. ➌þ✦❬❭❺➺➃ l➜❜✗➜✸Ó➌✤→þ✛➜Ý➫❷Ó✛➜❭✛▲→Ú➧➀✵➓✉✮✾❈❺➜➾ Ñ❧✺➷ dQ = k1(u − u1)dSdt q❜✗❭✛➋Ý➃ ρ➜✬✾➃ c➜✾❉✓❳ê➃ k➜➪✓Ñ❞➒➜Ý u ÷✈✛➄➜. ✮ ➧❭✛é→➯➃ x ➯➜❞➒❭✛➜Ý u = u(x, t)➜❭✛✤→→➮P➃ S(= πl2 4 )➜ x l x x + ∆x S ã 1: ✸❄➾➒➃ t ✔ t + ∆t ❙✻❭✤→➃ x ✔ x + ∆x ➌✂ã❬❭✛✾þ➃ dQ1 = k ∂u(x + ∆x, t) ∂x S∆t − k ∂u(x, t) ∂x S∆t = k ∂ 2u(¯x, t) ∂x2 S∆x∆t ￾ x¯ ∈ (x, x + ∆x)
✸➒➃ t ✔ t + ∆t ❙✸✤→➃ x ✔ x + ∆x ➌✂ã➙✗✮✛✾þ dQ2 = −k1(u − u1)πl∆x∆t = − 4k1 l (u − u1)S∆x∆t q✸ t ✔ t + ∆t ❙✤→ x ✔ x + ∆x ù➌✂ã❙❞✉➜Ý❈③↕❁✒✛✾þ➃ dQ3 = Cρ[u(x, t + ∆x) − u(x, t)]S∆x = Cρ∂u(x,t¯) ∂t S∆x∆t (t¯∈ (t, t + ∆t)) ❞✾➨ï➄➜➟ k ∂ 2u(¯x, t) ∂x2 S∆x∆t − 4k1 l (u − u1)S∆x∆t = Cρ∂u(x,t¯) ∂t S∆x∆t ➒✖ S∆x∆t➜✷✲ ∆x → 0, ∆t → 0➜❑❦ x¯ → x,t¯→ t Cρ∂u ∂t = k ∂ 2u ∂x2 − 4k1 l (u − u1) ➼ ∂u ∂t = a 2 ∂ 2u ∂x2 − b 2 (u − u1) ￾ a 2 = k Cρ, b2 = 4k1 Cρl
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2.试直接推导扩散过程所满足的微分方程. 解在扩散介质中任取一闭曲面工，其包围的驱域为.由涅恩斯特实验定律dM=-DdS(dM是 质量微元，D是扩散系数)，从时刻1到红流入此闭曲面「的溶质为 M-广从Dast-广川品o0+品o0+品o0ddt 而浓度由（红，）变到（红，弘，云，）所需溶质为 h=ae,g头，a)-z,4ddy =川瓜广c资aa=广jlc资aaa 帅C见乳积系数=腰由质程守院律从=6用 广川c0-品o0)+品D瑞+品D=0 再由B及和2的任意性，得 cm-品D+品D0+品o0 3.砼（混凝士）内部储藏者热量，称为水化热，在它浇筑后逐渐放出，放热速度和它所储藏的水化 热成正比.以Q0表示它在单位体积中所储的热量，Q0为初始时刻所储的热量，则竖=-Q,其 中B为正常数.又假设砼的比热为c,密度为P,热传导系数为k,求它在浇筑后温度u满足的方程 解可将水化热礼为一热源，由2=-Q及Q=Qo得Q0=Q0e由假设放热速度 为Qoe~,它就是单位体积单位时间所产生的热最.因此，由(1.7)式可得 4.设一均匀的导线处在周围为常数温度0的介质中，试证：在常电流作用下导线的温度满足微分方 贺-票-品-+2 其中i及r分别表示导体的电流及电阻，P表示横截面的周长，“表示横截面的面积，而表示导 线对于介质的热交换系数 2

2. ➪❺✚í✓✯Ñ▲➜↕÷✈✛❻➞➄➜. ✮ ✸✯Ñ✵➓➙❄✒➌✹➢→ Γ➜Ù➑➀✛➠➁➃ Ω. ❞r☞❞❆➣✟➼➷ dM = −D ∂u ∂ndSdt ↔dM ➫ ➓þ❻✄➜D ➫✯Ñ❳ê↕➜❧➒➃ t1 ✔ t2 ✻❭❞✹➢→ Γ ✛▼➓➃ M1 = Z t2 t1 ZZ Γ D ∂u ∂ndSdt = Z t2 t1 ZZZ Ω [ ∂ ∂x(D ∂u ∂x) + ∂ ∂y (D ∂u ∂y ) + ∂ ∂z (D ∂u ∂z )]dxdydzdt ✌ßÝ❞ u(x, y, z, t1) ❈✔ u(x, y, z, t2) ↕■▼➓➃ M2 = ZZZ Ω [u(x, y, z, t2) − u(x, y, z, t1)]dxdydt = ZZZ Ω Z t2 t1 C ∂u ∂t dxdydzdt = Z t2 t1 ZZZ Ω C ∂u ∂t dxdydzdt Ù➙ C ➫➎➮❳ê= ➎❨◆➮ ♦◆➮ . ❞➓þ➴ð➼➷ M1 = M2 ❂ Z t2 t1 ZZZ Ω {C ∂u ∂t − [ ∂ ∂x(D ∂u ∂x) + ∂ ∂y (D ∂u ∂y ) + ∂ ∂z (D ∂u ∂z )]}dxdydzdt = 0 ✷❞ Ω ✾ t1 Ú t2 ✛❄➾✺➜✚ C ∂u ∂t = ∂ ∂x(D ∂u ∂x) + ∂ ∂y (D ∂u ∂y ) + ∂ ∂z (D ∂u ∂z ) 3. ➡↔➲✈è↕❙Ü❀õ❳✾þ➜→➃❨③✾➜✸➜☎Ó￾➴ì➌Ñ➜➌✾❸ÝÚ➜↕❀õ✛❨③ ✾↕✔✬. ➧ Q(t) ▲➠➜✸ü➔◆➮➙↕❀✛✾þ➜Q0 ➃Ð➞➒➃↕❀✛✾þ➜❑ dQ dt = −βQ➜Ù ➙ β ➃✔⑦ê. q❜✗➡✛✬✾➃ c➜➋Ý➃ ρ➜✾❉✓❳ê➃ k➜➛➜✸☎Ó￾➜Ý u ÷✈✛➄➜. ✮ ➀ò❨③✾➚➃➌✾✌➜❞ dQ dt = −βQ ✾ Q|t=0 = Q0 ✚ Q(t) = Q0e −βt . ❞❜✗➌✾❸Ý ➃ βQ0e −βt➜➜Ò➫ü➔◆➮ü➔➒♠↕✗✮✛✾þ. Ï❞➜❞(1.7)➟➀✚ ∂u ∂t = a 2 ( ∂ 2u ∂x2 + ∂ 2u ∂y2 + ∂ 2u ∂z2 ) + βQ0 Cρ e −βt (a 2 = k cρ ) 4. ✗➌þ✦✛✓❶❄✸➧➀➃⑦ê➜Ý u0 ✛✵➓➙➜➪②➭✸⑦❃✻❾❫❡✓❶✛➜Ý÷✈❻➞➄ ➜ ∂u ∂t = k cρ ∂ 2u ∂x2 − k1P cρω (u − u0) + 0.24i 2 r cρω Ù➙ i ✾ r ➞❖▲➠✓◆✛❃✻✾❃④➜ P ▲➠î✤→✛➧⑧➜ω ▲➠î✤→✛→➮➜✌ k1 ▲➠✓ ❶é✉✵➓✛✾✂❺❳ê. 2

5.设物体表面的绝对温度为u,此时它向外界辐射散去的热量依斯特藩-波尔兹曼(Stefan- Boltzmann)定律正比于ud,即 do ou dSdt 假设物体和周用介质之间只有热辐射而没有热传导，又假设物体周用介质的绝对温度为已知函 数∫（工，头，2，），求此时该物体热传导问题的边界条件 习题2-2 1.用分离变量法求下列定解问题的解： a0-0r=0e>0 u(z,0)=f)(0<x<π) 解设u=X(红)T)代入方程和边界条件得T'+aT=0及 X"+X=0 X(0)=0.X(r)=0 求非零解X()得特征值 -4,中，x回=血4g-12. 对应的T为仙=Ce-,因此得红，利=三C4e-P.s血2，由初始条 =宫阳

5. ✗Ô◆▲→✛ýé➜Ý➃ u➜❞➒➜➉✠✳❐✓Ñ✖✛✾þ➑❞❆⑥-➴✏❬ù↔Stefan￾Boltzmann↕➼➷✔✬✉ u 4➜❂ dQ = σu4 dSdt ❜✗Ô◆Ú➧➀✵➓❷♠➄❦✾❐✓✌✈❦✾❉✓➜q❜✗Ô◆➧➀✵➓✛ýé➜Ý➃➤⑧➻ ê f(x, y, z, t)➜➛❞➒❚Ô◆✾❉✓➥❑✛❃✳❫❻. ❙❑ 2-2 1. ❫➞❧❈þ④➛❡✎➼✮➥❑✛✮➭    ∂u ∂t = a 2 ∂ 2u ∂x2 (t > 0, 0 < x < π) u(0, t) = ∂u ∂x(π, t) = 0 (t > 0) u(x, 0) = f(x) (0 < x < π) ✮ ✗ u = X(x)T(t) ➇❭➄➜Ú❃✳❫❻✚ T 0 + λa2T = 0 ✾    X00 + λX = 0 X(0) = 0, X0 (π) = 0 ➛➎✧✮ X(x) ✚❆✍❾ λk = [2k − 1 2 ] 2 , Xk(x) = sin 2k − 1 2 x, k = 1, 2, · · · é❆✛ T ➃ Tk(t) = Cke −[ (2k−1)a 2 ] 2 t➜Ï❞✚ u(x, t) = P∞ k=1 Cke −[ (2k−1)a 2 ] 2 t · sin 2k − 1 2 x. ❞Ð➞❫ ❻ f(x) = P∞ k=1 Ck sin 2k − 1 2 x➜Ï❞ Ck = 2 π Z π 0 f(ξ) sin 2k − 1 2 ξdξ➜✙✮➃ u(x, t) = X∞ k=1 2 π Z π 0 f(ξ) sin 2k − 1 2 ξdξ · e −[ (2k−1)a 2 ] 2 t · sin 2k − 1 2 x 3

2.用分离变量法求解热传导方程的初边值问题 e>0,0<z<） u(z,0) 0<≤ 1-,<<1 u(0.t)=u(1.t)=0(t>0) 解设u=X()T)代入方程和边界条件得T'+AT=0及 X"+XX=0 X(0)=X(1)=0 求非零解X()得 Ax =(km)2,X()=sin kra,k=1,2. 对应的T为0=Ce,故解为u,)=之Ce-aPs血k由初值之Csi血kr= p(红).因此 C.2()sin krede -2[c血kxc+a-e)s血kmal m受 所以 -宫高曲告e血a 3.如果有一长度为1的均匀细棒，其周围以及两端工=0工=1均为绝热，初始温度分布 为u(c,0)-fe),问以后时刻的温度分布如何？且证明当fe)等于常数面时，恒有u红，)=o 解即解定解问题 1o=011=0 4t=0=f(x) A=0时，X=L=O:=(停}时，X=s-,=Ce-(学P

2. ❫➞❧❈þ④➛✮✾❉✓➄➜✛Ð❃❾➥❑    ∂u ∂t = ∂ 2u ∂x2 (t > 0, 0 < x < 1) u(x, 0) =    x, 0 < x ≤ 1 2 1 − x, 1 2 < x < 1 u(0, t) = u(1, t) = 0 (t > 0) ✮ ✗ u = X(x)T(t) ➇❭➄➜Ú❃✳❫❻✚ T 0 + λT = 0 ✾    X00 + λX = 0 X(0) = X(1) = 0 ➛➎✧✮ X(x) ✚ λk = (kπ) 2 , Xk(x) = sin kπx, k = 1, 2, · · · é❆✛ T ➃ Tk(t) = Cke −(kπ) 2 t➜✙✮➃ u(x, t) = P∞ k=1 Cke −(kπ) 2 t sin kπx. ❞Ð❾ P∞ k=1 Ck sin kπx = ϕ(x)➜Ï❞ Ck =2 Z 1 0 ϕ(ξ) sin kπξdξ =2[Z 1 2 0 ξ sin kπξdξ + Z 1 1 2 (1 − ξ) sin kπξdξ] = 4 (kπ) 2 sin kπ 2 ↕➧ u(x, t) = X∞ k=1 4 (kπ) 2 sin kπ 2 · e −(kπ) 2 t · sin kπx 3. ❳❏❦➌⑧Ý➃ l ✛þ✦❬➉➜Ù➧➀➧✾üà x = 0, x = l þ➃ý✾➜Ð➞➜Ý➞Ù ➃ u(x, 0) = f(x)➜➥➧￾➒➃✛➜Ý➞Ù❳Û➸❹②➨✟ f(x) ✤✉⑦ê u0 ➒➜ð❦ u(x, t) = u0. ✮ ❂✮➼✮➥❑    ∂u ∂t = a 2 ∂ 2u ∂x2 ∂u ∂x|x=0 = 0, ∂u ∂x|x=l = 0 u|t=0 = f(x) λ = 0 ➒➜X0 = l, T0 = C0➯λk = (kπ l ) 2 ➒➜Xk = cos kπ l x, Tk = Cke −( kπa l ) 2 t 4

所以 ul红，)=G+∑Ce(年ncs- k= a=rea-号8m停ck-12. 而当fz)=o消，C0=0,Ck=0(k=1,2,.),所拟u(红，t)=o 4.在区域t>0.0<x<1中求解如下的定解问题： 贵=-w u(0,)=u(1,)=0 u(z,0)=fx) 布中a,3,o均为常数，f()为已知函数.[提示：作未知函数代换u=o+v(红，t)e- 解令u=o+(红，t)e-t,则v满足定解问 贵- v(0,t)=0,v(1,t)=0 (红，0)=f)-o 由习题2知 e,0=∑Ce-sinkaz 布中C=20-smkx5越k=1,2.以因由 5.长度为1的均匀细杆的初始温度为0℃，端点工=0保持常温,而在工=1和侧面上，热量可以 发散到周围的介质中去，介质的温度为0℃，由消杆上的温度分布函数（红，）满足下述定解问题： au 02u =3-u a=w会+o儿=0 u(z,0)=0 5

↕➧ u(x, t) = C0 + X∞ k=1 Cke −( kπa l ) 2 t cos kπ l x ❞Ð❾ f(x) = C0 + P∞ k=1 Ck cos kπ l x➜Ù➙ C0 = 1 l Z l 0 f(ξ)dξ, Ck = 2 l Z l 0 f(ξ) cos kπ l ξdξ (k = 1, 2, · · ·) ✌✟ f(x) = u0 ➒➜C0 = u0, Ck = 0 (k = 1, 2, · · ·)➜↕➧ u(x, t) = u0. 4. ✸➠➁ t > 0, 0 < x < l ➙➛✮❳❡✛➼✮➥❑➭    ∂u ∂t = a 2 ∂ 2u ∂x2 − β(u − u0) u(0, t) = u(1, t) = u0 u(x, 0) = f(x) Ù➙ a, β, u0 þ➃⑦ê➜f(x) ➃➤⑧➻ê. [❏➠➭❾➍⑧➻ê➇❺ u = u0 + v(x, t)e −βt] ✮ ✲ u = u0 + v(x, t)e −βt➜❑ v ÷✈➼✮➥❑    ∂v ∂t = a 2 ∂ 2v ∂x2 v(0, t) = 0, v(1, t) = 0 v(x, 0) = f(x) − u0 ❞❙❑2⑧ v(x, t) = X∞ k=1 Cke −(kπ) 2 t sin kπx Ù➙ Ck = 2 Z 1 0 [f(ξ) − u0] sin kπξdξ (k = 1, 2, · · ·). Ï❞ u(x, t) = u0 + v(x, t)e −βt = u0 + X∞ k=1 2 Z 1 0 [f(ξ) − u0] sin kπξdξ · e −[(kπ) 2+β]t sin kπx 5. ⑧Ý➃ l ✛þ✦❬❭✛Ð➞➜Ý➃ 0❡➜à✿ x = 0 ✂➧⑦➜ u0➜✌✸ x = l Úý→þ➜✾þ➀➧ ✉Ñ✔➧➀✛✵➓➙✖➜✵➓✛➜Ý➃ 0❡➜❞➒❭þ✛➜Ý➞Ù➻ê u(x, t) ÷✈❡ã➼✮➥❑➭    ∂u ∂t = a 2 ∂ 2u ∂x2 − b 2u u(0, t) = u0, ( ∂u ∂x + Hu)|x=l = 0 u(x, 0) = 0 5