第六章广义解与广义函数解 习题6-1 1.试写出热传导方程柯西问题与初边值问题的强解的定义. 2.证明波动方程的经典解一定是强解，也一定是弱解。 3.证明波动方程的弱解如果是二阶连续可导函数，则它必定也是经典解. 习题6-2 1.证明：若()∈C()，()∈Cg(R四，则p()(g)eC(R×四)，且当p()一 0(C(R)时，P(e)()→0(Cg(R×R四》 证由p(a)∈Cg()知p()无穷次可数，对每个山，3紧集K华，当x∈R\K使p()=0: 同样由()∈Cg(四)知()无穷次可微，3条集Kg:当y∈四\K,使()=0.因此，依 莱布尼兹法则()()是无穷次可微的，又()()中只要一个因子为零，则它为零，因而只 在K×K,上它可能不为零，且依支集定义K×K,为它的支集，但K×K,为紧.因此，依定 义，对每个u,P(r)()∈Cg(程×四) 由题设9（回）一0(C(》,按定义推得()P()的支集在一个共同的紧集K.内，（②）对 每个重指标a,在此紧集内护p(国)一0一致成立.要证的是：()P(c)(g)的支集在 个共同的紧集内，(2)对每个重指标a+B(其中a指工的，B指y的)，在上述紧集 内P+p(r)(g川一0一致成立.因为p()的共同紧集为K,()的支集为Ky,推 出9(e)()的支集都在紧集Kz×Ky内，即(1)满足.又对每个重指标a+3,加+[P(e)(】= 8Pp(c)·89(y),PP(e)在Kx上，因而在Kz×Kg上一致地趋向于零，0()在Ky上，因而 在Kz×K,上一致地趋向于零，所以P+P(e(g一0在Kz×K,上一致成立证毕 2.证明在本节例3中引入的3r(红)为Cx函数。 证即要证 Br(e)=gr(e-t)a(④dt 1
✶✽Ù ✷➶✮❺✷➶➻ê✮ ❙❑ 6-1 1. ➪✕Ñ✾❉✓➄➜❹Ü➥❑❺Ð❃❾➥❑✛r✮✛➼➶. 2. ②➨➴➘➄➜✛➨❀✮➌➼➫r✮➜➃➌➼➫❢✮. 3. ②➨➴➘➄➜✛❢✮❳❏➫✓✣ë❨➀✓➻ê➜❑➜✼➼➃➫➨❀✮. ❙❑ 6-2 1. ②➨➭❡ ϕν(x) ∈ C∞ c (Rn x ), ψ(y) ∈ C∞ c (Rm y )➜❑ ϕν(x)ψ(y) ∈ C∞ c (Rn x × Rm y )➜❹✟ ϕν(x) → 0 (C∞ c (Rn x )) ➒➜ϕν(x)ψ(y) → 0 (C∞ c (Rn x × Rm y )). ② ❞ ϕν(x) ∈ C∞ c (Rn x ) ⑧ ϕν(x) ➹→❣➀ê➜é③❻ ν➜∃ ❀✽ Kν x➜✟ x ∈ Rn x \Kν x ➛ ϕν(x) = 0➯ Ó✘❞ ψ(y) ∈ C∞ c (Rm y ) ⑧ ψ(y) ➹→❣➀❻➜∃ ❀✽ Ky➜✟ y ∈ Rm y \ Ky ➛ ψ(y) = 0. Ï❞➜➑ ✹Ù❩❬④❑ ϕν(x)ψ(y) ➫➹→❣➀❻✛➜q ϕν(x)ψ(y) ➙➄❻➌❻Ï❢➃✧➜❑➜➃✧➜Ï✌➄ ✸ Kν x × Ky þ➜➀❯Ø➃✧➜❹➑⑤✽➼➶ Kν x × Ky ➃➜✛⑤✽➜✂ Kν x × Ky ➃❀. Ï❞➜➑➼ ➶➜é③❻ ν➜ϕν(x)ψ(y) ∈ C∞ c (Rn x × Rm y ). ❞❑✗ ϕν(x) → 0 (C∞ c (Rn x ))➜❯➼➶í✚(1) ϕν(x) ✛⑤✽✸➌❻✁Ó✛❀✽ Kx ❙➜(2)é ③ ❻ ➢ ➁ ■ α➜ ✸ ❞ ❀ ✽ ❙ ∂ αϕν(x) → 0 ➌ ➋ ↕ á. ❻ ② ✛ ➫ ➭(1) ϕν(x)ψ(y) ✛ ⑤ ✽ ✸ ➌ ❻ ✁ Ó ✛ ❀ ✽ ❙ ➜(2)é ③ ❻ ➢ ➁ ■ α + β ↔ Ù ➙ α ➁ x ✛ ➜β ➁ y ✛ ↕ ➜ ✸ þ ã ❀ ✽ ❙ ∂ α+β [ϕν(x)ψ(y)] → 0 ➌ ➋ ↕ á. Ï ➃ ϕν(x) ✛ ✁ Ó ❀ ✽ ➃ Kx➜ψ(y) ✛ ⑤ ✽ ➃ Ky➜ í Ñ ϕν(x)ψ(y) ✛⑤✽Ñ✸❀✽ Kx × Ky ❙➜❂(1)÷✈. qé③❻➢➁■ α + β, ∂α+β [ϕν(x)ψ(y)] = ∂ αϕν(x) · ∂ βψ(y), ∂αϕν(x) ✸ Kx þ➜Ï✌✸ Kx × Ky þ➌➋✴➟➉✉✧➜∂ βψ(y) ✸ Ky þ➜Ï✌ ✸ Kx × Ky þ➌➋✴➟➉✉✧➜↕➧ ∂ α+β [ϕν(x)ψ(y)] → 0 ✸ Kx × Ky þ➌➋↕á. ②✳. 2. ②➨✸✢✦⑦3➙Ú❭✛ βR(x) ➃ C∞ ➻ê. ② ❂❻② βR(x) = Z gR(x − t)α(t)dt 1
为Cx函数.其中gR为球BR的特征函数： x∈BR 9r(r）= 0 T BR <1 a(r) 0 国≥1 其中常数C使 a(i=1 它是C∞函数，且有紧支集。 引变量变换！=x-t得 Bn()=gR(t')a(-t)dt' (1) 因gR(t)有界可积，a(红-)∈C,由勒贝格积分理论（见复且大学编实变函数论与泛函分析 书)知(1)式可在积分号下取极限和求导任意次.因而BR(e)∈C心函数. 3.(1)证明C(R)在LP()中稠密.(2)证明C()在LP()中稠密. 证()即要证对任意u∈P(R"),能找到函数列山：∈C(R"),当e一0时，有山一u(() 先设u∈P(R)有紧支集K.我们证明 回=a() (1) 就是所要求的函数列.其中a(x)如题2. 首先证明“：()∈C(R).因u(x)可积，a(x)无穷可微.同上题理由，由(1)式表达的：()∈ C.其次，u(红)有紧支集K,a(口)有紧支集国≤1.若记 K.=B(,) 其中B红，e)表示以x为中心，e为半径的球，则K:为条集，它是u:(a)的支集，因此山（国）∈ Cg(R").其次我们米来证“：()一u(r)(P(R")》,e一0. 由泛函分析知.对任意f∈P(A).任给e>0.存在A上的连续函数g使 f-9,=【f-gpa萨<e
➃ C∞ ➻ê. Ù➙ gR ➃➙ BR ✛❆✍➻ê➭ gR(x) = 1 x ∈ BR 0 x 6∈ BR ✌ α(x) = 1 C e 1 |x|2−1 |x| < 1 0 |x| ≥ 1 Ù➙⑦ê C ➛ Z α(x)dx = 1 ➜➫ C∞ ➻ê➜❹❦❀⑤✽. Ú❈þ❈❺ t 0 = x − t ✚ βR(x) = Z gR(t 0 )α(x − t 0 )dt0 (1) Ï gR(t 0 ) ❦✳➀➮➜α(x − t 0 ) ∈ C∞ c ➜❞❱✓❶➮➞♥Ø↔❸❊➀➷❄➣❈➻êØ❺➁➻➞Û➌ Ö↕⑧(1)➟➀✸➮➞Ò❡✒✹⑩Ú➛✓❄➾❣➜Ï✌ βR(x) ∈ C∞ ➻ê. 3. (1)②➨ C∞ c (Rn) ✸ L p (Rn) ➙➮➋. (2)②➨ C∞ c (Ω) ✸ L p (Ω) ➙➮➋. ② (1)❂❻②é❄➾ u ∈ L p (Rn)➜❯é✔➻ê✎ uε ∈ C∞ c (Rn) ➜✟ ε → 0 ➒➜❦ uε → u(L p (Rn)). ❦✗ u ∈ L p (Rn) ❦❀⑤✽ K. ➲❶②➨ uε(x) = 1 ε n Z u(y)α x − y ε dy (1) Ò➫↕❻➛✛➻ê✎. Ù➙ α(x) ❳❑2. ➘❦②➨ uε(x) ∈ C∞ c (Rn). Ï u(x) ➀➮➜α(x) ➹→➀❻➜Óþ❑♥❞➜❞(1)➟▲❼✛ uε(x) ∈ C∞. Ù❣➜u(x) ❦❀⑤✽ K➜α(x) ❦❀⑤✽ |x| ≤ 1. ❡P Kε = [ x∈K B(x, ε) Ù➙ B(x, ε) ▲➠➧ x ➃➙✪➜ε ➃➀➺✛➙➜❑ Kε ➃❀✽➜➜➫ uε(x) ✛⑤✽➜Ï❞ uε(x) ∈ C∞ c (Rn). Ù❣➲❶✺② uε(x) → u(x) (L p (Rn)), ε → 0. ❞➁➻➞Û⑧➜é❄➾ f ∈ L p (A)➜❄❽ ε > 0➜⑧✸ A þ✛ë❨➻ê g ➛ kf − gkp = Z A |f − g| p dx 1 p < ε 2
对任意周定的刀，令B是包括sppu的闭球由u∈P和∈LP(B),因而由上定理存在连续 函数g(:)使 fl)-g(Pi<( 再令R是一个与B同心，包含B的球，使斥-B的测度 IK-B≤nP(2M)-P M=黑l(e 又引连续函数使 x∈B v()= spl(≤M x∈Em\R 因sup现=K,推得 u-w=(gu-gP+(.。eoP)户 <+PT(品 -+2却=7 因此有 :-l,=[fa:-p-[厂-+-8+e-pa 由明可夫斯基不等式得 llue ullp SIlue-vellp+llve-ollp+llv-ullp <4-lp+l-vlp+刀 由此只要证明当ε充分小时有 llus-vellp <n (2) llve-ullp<n (3) 即可.先证(2) 1-/a(t)dt' 引”=，业=山或业=-山代入上式符 1=/()=() 3
é❄➾✛➼✛ η➜✲ B ➫➑✮ supp u ✛✹➙. ❞ u ∈ L p Ú u ∈ L p (B) ➜Ï✌❞þ➼♥⑧✸ë❨ ➻ê g(x) ➛ Z Ω |u(x) − g(x)| p dx < 1 2 η p ✷✲ K˜ ➫➌❻❺ B Ó✪➜➑➵ B ✛➙➜➛ K˜ − B ✛ÿÝ |K˜ − B| ≤ η p (2M) −p M = sup x∈B |g(x)| qÚë❨➻ê➛ v(x) = g(x) x ∈ B 0 x ∈ En \ K˜ sup |v(x)| ≤ M Ï supp u = K➜í✚ ku − vkp = Z B |u − g| p dx 1 p + Z K˜ −B |v(x)| p dx 1 p < 1 2 η + Mp η p 1 2M p 1 p = 1 2 η + 1 2 η = η Ï❞❦ kuε − ukp = Z |uε − u| p dx 1 p = Z |uε − vε + vε − v + v − u| p dx 1 p ❞➨➀➴❞➘Ø✤➟✚ kuε − ukp ≤kuε − vεkp + kvε − vkp + kv − ukp <kuε − vεkp + kvε − vkp + η ❞❞➄❻②➨✟ ε ➾➞✂➒❦ kuε − vεkp < η (2) kvε − vkp < η (3) ❂➀. ❦②(2). ❞ 1 = Z α(t 0 )dt0 Ú t 0 = x − y ε , dt0 = 1 ε dx ➼ dt0 = − 1 ε dy ➇❭þ➟✚ 1 = Z α x − y ε 1 ε n dx = Z α x − y ε 1 ε n dy 3
对任意u∈P有： (lul-/lu(mrav-ur(fad)dy (④ =品∫(ora('声 当1<p<0时，令g为满足+片=1的数，对任意周定的工，函数o)(a）∈ D,a(2兰)）°∈，因此，由Holder不等式推出： uep=o(a)）产(a(）' ≤(uoPa)(a(')月 sora(e')（∫a()= 两边积分得 .aP≤∫lu(a)pa(g)d=ulwP 故得 luellp≤Iulp 因(u-)∈P,故由上式推出 l4:-elp≤u-llp<n 当p=1时，由定义 llull =/lu(z)ldz .lh=/1∫a(edus∫ea(e) fhut)a(dr )du=flu(mldv=lu 再证(3). -=∫ga(2)-∫ea() =/)-ea(g) -学ee-e-oaoa 由于疗为紧集，v在斥上连续，因此v在斥上一致连续，当：<0时，就有 lv(-st)-v()<n 4
é❄➾ u ∈ L p ❦➭ (kukp) p = Z |u(y)| p dy = Z |u(y)| p Z α x − y ε 1 ε n dx dy = 1 ε n Z Z |u(y)| pα x − y ε dy dx (4) ✟ 1 < p < ∞ ➒➜✲ q ➃÷✈ 1 p + 1 q = 1 ✛ê➜é❄➾✛➼✛ x➜➻ê u(y) α x − y ε 1 p ∈ L p , α x − y ε 1 q ∈ L q➜Ï❞➜❞ Holder Ø✤➟íÑ➭ |uε(x)| p = 1 ε np Z u(y) α x − y ε 1 p α x − y ε 1 q dy p ≤ 1 ε np Z |u(y)| pα x − y ε dy Z α x − y ε dy p q ≤ 1 ε n Z |u(y)| pα x − y ε dy ∵ 1 ε n Z α x − y ε dy = 1 ü❃➮➞✚ Z |uε(x)| p dx ≤ Z 1 ε n Z |u(x)| pα x − y ε dydx = (kukp) p ✙✚ kuεkp ≤ kukp Ï (u − v) ∈ L p➜✙❞þ➟íÑ kuε − vεkp ≤ ku − vkp < η ✟ p = 1 ➒➜❞➼➶ kuk1 = Z |u(x)|dx kuεk1 = Z 1 ε n Z u(y)α x − y ε dy dx ≤ Z 1 ε n Z |u(y)|α x − y ε dydx = Z |u(y)| 1 ε n Z α x − y ε dx dy = Z |u(y)|dy = kuk1 ✷②(3). vε − v = 1 ε n Z v(y)α x − y ε dy − 1 ε n Z v(x)α x − y ε dy = 1 ε n Z [v(y) − v(x)]α x − y ε dy t= x−y ε = Z [v(x − εt) − v(x)]α(t)dt ❞✉ K˜ ➃❀✽➜v ✸ K˜ þë❨➜Ï❞ v ✸ K˜ þ➌➋ë❨➜✟ ε < ε0 ➒➜Ò❦ |v(x − εt) − v(x)| < η 4
在斥上一致成立，推得 le-叫≤lu(z-et)-v(zla(t)dt=na(t)t=n 当u∈P(R)不一定有紧支集时，引 u() <r 叫()= 0 国≥r 则d(a)有紧支集对任给刀>0，因uP可积，故存在ro>0,当r>ro时有 lu-叫Blp<n 再应用明可夫斯基不等式得 l4:-up≤le-4Bolp+叫Bo-4p<l4:-叫Br)lp+n 因叫a(〾)有紧支集，故当c<eo时，有 llue ulB(r)llp n 推得 u→u(LP(R")》 (2)即要证对任意u∈P(),能找到函数列u:∈C(),当e一0时，有山：一u(L().证明 完全类似).先设u∈P()有紧支集K.则函数 4回=厂oa(”) 就是要求的函数列.e()∈C(但)与(1)证明一样.当e小于K到边界的距离时，()球K。落 在？之内，因而4：有紧支集K:C,因此：∈C().对于任给的n>0,存在连续函数g(z)使 A国-9aP<r 再引K是一个包含K的紧集，使-K的测度小于2)-，M=黑g又引连续函数 9a) splw(zl≤M x∈D-K6 其球6取得如此之小，使K整个落在之球
✸ K˜ þ➌➋↕á➜í✚ |vε − v| ≤ Z |v(x − εt) − v(x)|α(t)dt = η Z α(t)dt = η ✟ u ∈ L p (Rn) Ø➌➼❦❀⑤✽➒➜Ú u|B(r)(x) = u(x) |x| < r 0 |x| ≥ r ❑ u|B(r)(x) ❦❀⑤✽. é❄❽ η > 0➜Ï |u| p ➀➮➜✙⑧✸ r0 > 0➜✟ r > r0 ➒❦ ku − u|B(r)kp < η ✷❆❫➨➀➴❞➘Ø✤➟✚ kuε − ukp ≤ kuε − u|B(r)kp + ku|B(r) − ukp < kuε − u|B(r)kp + η Ï u|B(r)(x) ❦❀⑤✽➜✙✟ ε < ε0 ➒➜❦ kuε − u|B(r)kp < η í✚ uε → u(L p (R n )) (2)❂❻②é❄➾ u ∈ L p (Ω)➜❯é✔➻ê✎ uε ∈ C∞ c (Ω)➜✟ ε → 0 ➒➜❦ uε → u(L p (Ω)). ②➨ ✑✜❛q(1). ❦✗ u ∈ L p (Ω) ❦❀⑤✽ K. ❑➻ê uε(x) = 1 ε n Z u(y)α x − y ε dy Ò➫❻➛✛➻ê✎. uε(x) ∈ C∞(Ω) ❺(1)②➨➌✘. ✟ ε ✂✉ K ✔ Ω ❃✳✛å❧➒➜(1)➙ Kε á ✸ Ω ❷❙➜Ï✌ uε ❦❀⑤✽ Kε ⊂ Ω➜Ï❞ uε ∈ C∞ c (Ω). é✉❄❽✛ η > 0➜⑧✸ë❨➻ê g(x) ➛ Z Ω |u(x) − g(x)| p dx < 1 2 η p ✷Ú Kδ ➫➌❻➑➵ K ✛❀✽➜➛ Kδ − K ✛ÿÝ✂✉ η p (2M) −p , M = sup x∈K |g(x)|. qÚë❨➻ê v(x) = g(x) x ∈ K 0 x ∈ Ω − Kδ sup |v(x)| ≤ M Ù➙ δ ✒✚❳❞❷✂➜➛ Kδ ✒❻á✸ Ω ❷➙. 5