§2初边值问题的分离变量法 及相应的特征函数 Xk0)=Bsin风rx=Bx sin (k=12,-） 把λk代入T的方程可得 Tk(t)=Cke-azikt (k =1,2.) 由叠加原理可构造一个级数形式的解 ● uct)=∑4 in风x 国色
§2 初边值问题的分离变量法 及相应的特征函数 𝑋𝑘 𝑥 = 𝐵𝑘 sin 𝜆𝑘𝑥 = 𝐵𝑘 sin 𝑣𝑘 𝑙 𝑥 𝑘 = 1,2,⋯ 把𝜆𝑘代入𝑇的方程可得 𝑇𝑘 𝑡 = 𝐶𝑘ⅇ −𝑎 2𝜆𝑘𝑡 𝑘 = 1,2,⋯ 由叠加原理可构造一个级数形式的解 𝑢 𝑥,𝑡 = 𝑘=1 ∞ 𝐴𝑘 ⅇ −𝑎 2𝜆𝑘𝑡 sin 𝜆𝑘𝑥
§2初边值问题的分离变量法 由初始条件来确定Ak.由ult=0=p(x)得 00 p(x)=∑Ax sin/ =1 证明{Xk}={sin√入kx在[O,l上正交，即证 0, m≠n m =n
§2 初边值问题的分离变量法 由初始条件来确定𝐴𝑘 .由𝑢ȁ 𝑡＝0 = 𝜑 𝑥 得 𝜑 𝑥 = 𝑘=1 ∞ 𝐴𝑘 sin 𝜆𝑘𝑥 证明 𝑋𝑘 = sin 𝜆𝑘𝑥 在 0, 𝑙 上正交，即证 න 0 1 𝑋𝑛𝑋𝑚 𝑑𝑥 = 0, 𝑚 ≠ 𝑛 𝑙 2 + ℎ 2 ℎ 2 + 𝜆𝑘 , 𝑚 = 𝑛