热传导方程的导出 另外，由此热定律，从t1到t2物体内温度从u(x,y,z,t1)变成 u(x,y,乙，t2)所应吸收的热量为 0a=∬cxy2到pc,y2uxyz2）-uy2 dxdy dz (假设u关于x,y,z具有二阶连续偏导数，关于t具有一阶连续偏导数) 利用高斯公式和牛顿莱布尼兹公式 川层(+（器）+()dadydzdt=肌enc 2∂u dt)dxdy dz
1 热传导方程的导出 (假设𝑢关于𝑥, 𝑦, 𝑧具有二阶连续偏导数，关于𝑡具有一阶连续偏导数) 利用高斯公式和牛顿-莱布尼兹公式 另外，由此热定律，从𝑡1到𝑡2物体Ω内温度从𝑢(𝑥,𝑦, 𝑧,𝑡1 )变成 𝑢(𝑥,𝑦, 𝑧,𝑡2 )所应吸收的热量为 𝑄2 = ම𝛺 𝐶(𝑥,𝑦, 𝑧) 𝜌(𝑥, 𝑦, 𝑧)ሾ𝑢 𝑥, 𝑦, 𝑧,𝑡2 − 𝑢 𝑥, 𝑦, 𝑧,𝑡1 ]𝑑𝑥𝑑𝑦 𝑑𝑧 න 𝑡1 𝑡2ම𝛺 ሾ 𝜕 𝜕𝑥 𝑘 𝜕𝑢 𝜕𝑥 + 𝜕 𝜕𝑦 𝑘 𝜕𝑢 𝜕𝑦 + 𝜕 𝜕𝑧 𝑘 𝜕𝑢 𝜕𝑧 ] 𝑑𝑥𝑑𝑦𝑑𝑧 𝑑𝑡 = ම𝛺 𝑐𝜌(න 𝑡1 𝑡2 𝜕𝑢 𝜕𝑡 𝑑𝑡)𝑑𝑥𝑑𝑦 𝑑𝑧
1热传导方程的导出 变换积分次序得 心瓜完-（层别）+(+(》 dxdydzdt-0 由于t1和t2与区域n都是任意的，得到 阳（贺）+（别）+(》 (非均匀各向同性体的热传导方程)
1 热传导方程的导出 න 𝑡1 𝑡2ම𝛺 ሾ𝑐𝜌 𝜕𝑢 𝜕𝑡 − 𝜕 𝜕𝑥 𝑘 𝜕𝑢 𝜕𝑥 + 𝜕 𝜕𝑦 𝑘 𝜕𝑢 𝜕𝑦 + 𝜕 𝜕𝑧 𝑘 𝜕𝑢 𝜕𝑧 ] 𝑑𝑥𝑑𝑦 𝑑𝑧 𝑑𝑡 = 0 变换积分次序得 𝑐𝜌 𝜕𝑢 𝜕𝑡 = 𝜕 𝜕𝑥 𝑘 𝜕𝑢 𝜕𝑥 + 𝜕 𝜕𝑦 𝑘 𝜕𝑢 𝜕𝑦 + 𝜕 𝜕𝑧 𝑘 𝜕𝑢 𝜕𝑧 （非均匀各向同性体的热传导方程） 由于𝑡1和𝑡2与区域Ω都是任意的，得到
热传导方程的导出 若物体是均匀的，则c,p,k均为常数，记总=Q3,即得 ∂2u ∂2u,a2u 0x2 0z2 (1.6) 如果所考虑的物体内部有热度，设单位时间，单位体积中所产生 的热量为F(x,y,乙，t),则在推到过程还应在右边加上一项 nF(x,y,z,t)dxdydzdt,则相应于(1.6)的方程为 =a /02u 02u a2u +f)(f)=F( pc
1 热传导方程的导出 若物体是均匀的，则𝑐，𝜌，𝑘均为常数，记 𝑘 𝑐𝜌 = 𝑎 2 ，即得 𝜕𝑢 𝜕𝑡 = 𝑎 2 𝜕 2𝑢 𝜕𝑥 2 + 𝜕 2𝑢 𝜕𝑦 2 + 𝜕 2𝑢 𝜕𝑧 2 （1.6） 如果所考虑的物体内部有热度，设单位时间，单位体积中所产生 的 热 量 为 𝐹 𝑥, 𝑦, 𝑧,𝑡 ， 则 在 推 到 过 程 还 应 在 右 边 加 上 一 项 1𝑡 ��2𝑡 𝐹 𝑥,𝑦, 𝑧,𝑡 𝑑𝑥𝑑𝑦𝑑𝑧 𝑑𝑡，则相应于（1.6）的方程为 𝜕u 𝜕t = a 2 𝜕 2u 𝜕x 2 + 𝜕 2u 𝜕y 2 + 𝜕 2u 𝜕z 2 + 𝑓 𝑥, 𝑦, 𝑧,𝑡 (𝑓 𝑥, 𝑦, 𝑧,𝑡 = 𝐹 𝑥, 𝑦, 𝑧,𝑡 𝜌𝑐 ）
2定解问题的提法 (1)初始条件 u(x,y,z,0)=(x,y,z) (2)边界条件 (i)第一边界条件：物体的表面温度已知，u(x,y,z,t)r= g(x,y,z,t); (ⅱ)第二边界条件：热量在表面各点的流速（即表面各点的单位 面积上在单位时间内所流过的热量Q是已知的)， du g(x,y,z,t) （8=-k册 ds dt ()第三边界条件：物体和某介质接触，介质的温度已知， (偎+m儿 =g(x,y,z,t)
2 定解问题的提法 （1）初始条件 𝑢 𝑥, 𝑦, 𝑧,0 = 𝜑 𝑥,𝑦, 𝑧 （2）边界条件 （ⅰ）第一边界条件：物体的表面温度已知，𝑢 𝑥, 𝑦, 𝑧,𝑡 ȁ𝛤 = 𝑔 𝑥, 𝑦, 𝑧,𝑡 ； （ⅱ）第二边界条件：热量在表面各点的流速（即表面各点的单位 面积上在单位时间内所流过的热量 𝑄 是已知的 ） ， ቚ 𝜕𝑢 𝜕𝑛 𝛤 = 𝑔 𝑥, 𝑦, 𝑧,𝑡 （ ⅆ𝑄 ⅆ𝑠 ⅆ𝑡 = −𝑘 𝜕𝑢 𝜕𝑛 ） （ⅲ）第三边界条件：物体和某介质接触，介质的温度已知， ቚ 𝜕𝑢 𝜕𝑛 + 𝜎𝑛 𝛤 = 𝑔 𝑥, 𝑦, 𝑧,𝑡
2定解问题的提法 热传导实验定律： dQ=k1(u-%)dsdt(物体流到介质中的热量和两者的温度差成正比) 而从物质内部来看，由o热试验定律dQ=-k,六dsdt,从而 -k1dsdt=k1e-)dsdr即ku+k器 =k1 on 柯西问题 Ju Q2 2u 维热传导方程： 0x2 二维热传导方程： at =a2 0x2 国
2 定解问题的提法 𝑑𝑄 = 𝑘1 𝑢 − 𝑢1 𝑑𝑠𝑑𝑡（物体流到介质中的热量和两者的温度差成正比） ，而从物质内部来看，由Fourier热试验定律𝑑𝑄 = −𝑘1 𝜕𝑢 𝜕𝑛 𝑑𝑠𝑑𝑡，从而 −𝑘1 𝜕𝑢 𝜕𝑛 𝑑𝑠𝑑𝑡 = 𝑘1 𝑢 − 𝑢1 𝑑𝑠𝑑𝑡即𝑘1𝑢 + 𝑘 𝜕𝑢 𝜕𝑛 = 𝑘1𝑢1 柯西问题 一维热传导方程： 𝜕𝑢 𝜕𝑡 = 𝑎 2 𝜕 2𝑢 𝜕𝑥 2 二维热传导方程： 𝜕𝑢 𝜕𝑡 = 𝑎 2 𝜕 2𝑢 𝜕𝑥 2 + 𝜕 2𝑢 𝜕𝑦 2 热传导实验定律：