在首先是h然后是4A趋于零的极限下，这些职分简比为A1乘以(22)n.(a-J)V2K.+2..第一项是来自具有法线十n和一n的交界面的(a)和(b)面对式(21)中第一个积分的贡献。写成由矢量F所定义的“表面散度”形式的第二项是SF.idl(23)Va·F=lin有这些结果是因为即使在厚度->0的情况下，表面电流密度对(21)式中的第一个积分有限的贡献。[如图所示，是指向体积V的单位失量。】这一表面电流密度可用来表示强加在厚度比所关心的其他尺寸小的区域上的电流。它也能表示在完纯导体表：的电流。（用了7.6节和7.7节中电荷守恒的连续性条件，这一项就不存在，因为这一连续性条件所描述的表面上不存在表面电流。）利用位于观祭点的坐标，表而散度可认为是一个二维散度，式(22)中的最后-项是电荷密度对体积积分所导致的。因为有表面电荷密度，即使在->0的情况下，在体积内也有净电荷。当我们规定式(14)和(15)中的K和0。时,认为它们是服从电荷守恒连续性条作式(22)的。但是，我们也得到这样的结论，即电荷守搞定律隐含在安培定律和高斯定律中。所以，我们知道如果(14)和(15)两式能满足，则式(22)也一样满。在第13和14章中，当描述的是完继导电边界时，用安培和高斯定律的连续性条件所确定的完纯导电边界面上的面电流和面电背密度将自动满足电荷守恒条件。在完纯导体表面上，零值的切向电场白动地包含了法向磁通密度为零的条件。处理充当泊松方程角色的非齐次波动方程，其情况与第4章的电准静态学和第8章的磁准净态学相类似，下-一节指旧与寿异源和关的场。12.3节讨论对于给定的源分布响应的重叠积分。今后，在这一章和下一章中，我们将省撑源量中的下标u12.2奇异源的电动力学场给定了对一个基本源的响应，与任意分布的源相关的场分布可用叠加方法求得。这个方法将在下一节中正式确定并可用来决定许多天线阵的辐射方向图。从这一叠加原则得到的场构成一个特解，它可以与齐次波动方程的解结合，以满足由完纯导电边界所强加的边界条件。我们从由一个随时间变化的点电荷9《t)产生的位Φ开始。在一个净电荷不变的封闭系统中,在某点有电荷增加的话，在另一处必有电荷量的减少以相补偿。因此，正象我们从识别一个电偶极子的场将要看到氵,物理上有意义的场,至少是两个异号点电荷所产生的场的登加。电荷守恒进一步要求从一个区域到另一区域净电荷分布的转移可用电流来让量，这一电流是矢量位的非齐次波动方程中的源项。点电荷的位考虑被非并次波动方程(12.1.10)式预计的随时闻变化的点电荷所产生的位。点电荷位图12.2.1所示球标的原点+ 413
根据定义，除了是夺点的原点以外，各处的p均为零。在原点邻近处，我们希望位随变化得如此快，以致在非齐次波动方程(12.1.10)巾拉普拉斯算子支配时间的次导数项。千是，作原点附近可以期望一个点电荷的位和泊松方程的位即(4.4.1)式q(t)/4元er相同。从3,1节，我们图12.2.1位于球坐标系原点的点电荷已有关十电磁感应和非齐次波动方程(12.1. 10)中耐间的二次导数项所表示的位移电流的联合效应将如何影响这个位的启示。我们可以期望在径向位置上的响应将要在时间上带后··个电磁波从原点到达该点所需要的时间。对于一一个以速度ε传播的波，这一时间是/c。因此，我们作一·猜测，对位于原点的点电荷，方程(12.1.10)的解是g(t-二)(1)这里c=1/~ue。按照式(1),给定随时间变化的点电荷是9(t),则产生在半径r处的位是由熟知的点电荷的电位公式给出，并假设其中的t换以(t一r/c)。要证明式(1)中的Φ是非齐次波动方程(12.1.10)式的解可分两步。首先，将此表达式代人齐次波动方程[源为零的(12.1.10)】中，可以看到除了原点以外在任何位置都能满足。注意，在执行这步时Φ仅仅是球坐标中变量的函数，于是就简化为-23(r2a/ar)/r，这--运算和*12)有相同的结果。因此,用式(1)中的史来计算附,非齐次波动方程(12.1.10)式的左端项在r0处变为[1%(-)%(-)]-0(?)v0-1at2=4元在进行这一计算时,注意ag/ar=一"/c,ag/at=9,这里的撇表示对宗量的导数。因此，除了原点以外，处处满足齐次波动方程在第二步中，我们确认式(1)是点电荷产生的动态位。我们在=0的附近取非齐次波动方程(12.1.10)对半径为r球心在原点的一个小球体的积分。[(-vvo+ μeP) du=[ Pdo(3)拉普拉新算子已写成用它的定义表示的形式，预先利用了高斯定理把第一个积分变换为对于在，处表面的积分。在很小的极限下，二阶的时间导数项的积分不做贡献。(4)J,ue Se do=μe ralimf,odo'q4nrdr=0eatliml04元①当然，电背守恒要求有一个电流来维持这一随时间变化的电荷,并通过这一也流的作用，如果在原点右电荷的积裂，则在其他地方必定有电背的减少。遵循电荷守恒的最简单的源忌偶极于。414 *
式(3)充端第一项的积分已经从第4章中熟知，因为高斯定理将体积分变换为包围该体积的面积分，因此我们有-jvdo-f.vo.da-4a(5)- (元)-号在r->0的极限情况下，在式(3)中右端的积分给!Hq/e。干是它归结为利用式(1)去计算式(3)：式(1)确实是对位于原点处的一个点电荷的非的左端而得的相同表达式。我们得到的结论是：齐次波动方程的解。电偶极子场个电偶极子是由一对相距为&的电荷士g(t)组成，如图12.2.2所示。当一个电待的量值靠减少另一个电荷的量值而增加时，在两者之间的轴上就有电流（)，电荷守恒要求(6)这个电流能用电流密度J：分布的奇点来图示。事实上，在式(12.1.10)中右边Φ的源p/c可由根据式(12.1.8)中决定4.的源uJ，来充当。正如可认为是电荷密度p在它所占的体积内的积分-样，uia是uJ，先对连接电荷（给出ui)的电流管在±-y平面内的横战面上积分，然后沿若长度&积分。因此，我们拓觉了对于4的矢量非齐次波动方阻的≥分量与对于Φ的方程式(12.1.8)和(12.1.10)7之间的类比，写出与在原点处的增量电流元相关的失最位。式(12.1.8)的解与式(12.1.10)的一样,只要将q/e换以μidA,-4di-r/o)(7)图12.2.3一个动态电偶板子其电荐图12.2.3方向的位分解为球坐标中的分量随时间自变化可由电流（0)计耳。记伟，”是一个球坐标，所以最好将上式变换到球坐标系。图12.2.3表明(8)A,=A,coso;A,---A,sing干是，在球坐标系中，式(7)变为一个电偶极子的失量位。·415
u[ir o0i,/o sinoi ]一4O偶极子标量位是单个电荷产生的位式(5)的叠加。正电荷位于“轴上z=&处，负电荷在原点，由叠加给出(dt-(F--c0)g(t-r/o)(10)TA元e-dcoso式中，用4.4节中已经熟知的方式，从观察点到电荷所在点=d处的距离可近似为”一dcos。用表示关于宗虽的导数，在dcoso的基础上展开成泰勒级数给出(+)(-)+ (-)-/0)(1)保留&的线性项，就得到要求的电偶极了的标是位[9(t-/0)+9(t-r/0lcos6-rΦ=(12) 通过求导和利用守恒定律式(6),可肯定欠冠位式(9)和标量位式(12)，都服从(12.1.7)式。现在我们就可计算与这些标显位失量位相关的磁场和电场。磁场强度就可利用式(9)计算式(12.1.1)得到。［记住，电荷守恒要求"=i，与式(6)一致。了毛十五)ingi(13)H-4为了求E,利用式(9)和(12)计算式(12.1.3),得到-([g(t-2). g(t-)E-静(14)) 9(1-二) q(t-qit-sineicrcr比较式(14)和式(4.4.10)可见，在c0的极限下,这--电场就变成根据电准静态偶极子位所求得的电场。值得注意，准静态场正比于(而不是正比子它对时间的一阶或二阶导数)并随1/#*衰减。电对附间的一阶、二阶导数分别具有 4/z和 α/t°的数最级，这里：是电荷经历显著变化的典型时间间隔。因此,如果r/e≤T,这些时间导数项比之准静态项要小。我们求得的在 3. 3节EQS近似中已经给出了论证的材料，那就是如果式(3.3.5)的条件成立，我们就认为准静态的近似是有理的。由位移电流和电磁感应的结合导致的非齐次波动方程在偶极子场中有三个引人注目的效果。首先,位于处的响应要推迟一个传播时间r/e。其次，电场不仅正比于α(tr/e)也正① 除了在这里着重指出的推迟响应,还有一个“超前"的响应, 即用( 十10)代替(1一10)的项也是非齐次波动方程的群。因为它不适于这里的因果关系,所以这里不考虑。+416*
比于q(t-r/c)和q"(t—r/c)。第三，电场的正比于g"的部分反比于半径而减小。和这“远区场”相关的磁场，即式(13)中的第一项，也是按1/减小的。这些场组合在一起构成偶极子天线径向向外传播的电磁波。(t-r/c)singi传插方间lim H →d q"(t-rlosini.H4limE→4(15)注意到这些场分量是互相垂直的并且与传播的径向需直，如图12.2.4所示。为了正确评价式（15）中的场对1/r项依赖关系的意义，考虑与这些场相关的坡印亭通量式图12.2.4，构成沿径间传播的(11.2. 9),平面波的远区场。[9(t-=)]°(16)-sin"oi,m[ExH)=()C'T流出半径为，的球面的功率流根据上式为Pda()n02noq"(t--)7(17)ule因为偶极子的远区场随1/而变，因此功率流密度正比于1/，而且因为在处的表面面积随”增加，我们得出如下结论，即有一净功率流从偶极子流出。这些远区的场分量称为辐射场。例12.2.1电偶极子的接通时的场为了有助于理解电偶极子E和H的表达式式(13)和(14)的物理意义，考虑一个电儒极子通过图12.2.5a所示的孵变充电时的场。在周期T内，电荷从零增加到Q，并具有如图所示的连续的一阶导数和经受有限突变的二阶导数。场的分布就由 1 / r、1/ r和 1 /乘以适当的因子后的三个函数所构成，并用 tr/e取代 t。这样，qit-tQ-cost/图12.2.5（a）偶极子的电称及其一阶，二阶导数的时间依从关系。（b）计算1>2’时，根据（a）的接道瞬变导致的偶极子场所需函数的径向依从关系。· 417