分大时,an>0 当x=0时级数为∑,它当P>1时收敛而当p ≤1时发散,当x≠0时,我们有 rann In(a,+a)=xInn+nIn( 1 n+ln(1一Bn)=nl2 +in(-u) 其中4n=2,n≠0(n>1),u→0,n2→0(n→ ∞).由洛比塔法则,可得 lim satIn(1-u.) =lim v+In(1-v) v一0 0 02(-1) 故有 limIn(anPx)=0或lim 由此可知级数∑a与∑有相同的敛散性故当 p+x>1时级数∑a收敛而当户+x≤1时发散 综上所述级数∑a仅当x>1一p时收敛 2606.证明:若an>0(n=1,2…)且 p 34
则 (E>0) 证下面记an,dn,Bn,P"n,P"n,为无穷小量,即an= o(1 o(1),B2=0(1),P.=o(1),P=0(1) 由题设知,当n∞时有 1 取对数即得 =ln1+ ⊥ r 2++叫()=(p+a 令n=1,2,…,N-1并求和则得 Ina, -Inan= 1 p+a,) 由143题在其中令x=2n,y=∑知 又由146题知 1 C+ln(N-1)+6 其中C是尤拉常数,N→0.于是,令 (写/ 有 lnat-lnaN=(p十BN) 1 (P+BN)CC+in(N-1)tENJ 35
(十)n(N-1)+k+PN, 其中k=C为常数.于是 Inan=-(p+BN)In(N-1)+k-pN 其中k=lna1-k为常数,从而 aM N·N-1)-(+) N N NN·NP 其中P=-Bx.由于pN=o(1),故对于任给的e>0, 当N充分大时,有|P|<亏,从而N<N.再注意 到 N-11-(+ im 即知:当N充分大时,有 0<aN≤k"·N·N=0 N 其中k是常数.于是,得 本题获证 求出通项an的减小的阶,从而研究级数∑a的收敛 性,设 2607. nP+a1np-1+… +6n b 其中n9+b1n1+…+b>0 解由于a01(),当q-P>1即9>1+p 时,级数收敛 36
2608 =-sIn 解由于a≥0,且 sIn n或a=O”(n, 故仅当1+p>1即p>0时,级数收敛 2609an=(√n+1-√n)h-1, n+1(x>1) 解由于a<0,且 O √n+1+ n+1 + 故仅当+1>1即p>0时级数收敛 2610. a.=In(sec - 解由于an>0(n>2时),且 In|1+tg O 故仅当2p>1即p>时,级数收敛 2611.a=1g1+ (a>0,b>0) 解显然b≠1(否则an无意义)由于 1 Inb 故级数收敛 37
2612 解1+ 0() +0*() 由于an>0,且 c(1-c-去+o·(2 e 十O 故仅当p>1时,级数收敛 2613.an k 解由于 n=n-(+ e e 故级数显然发散 2614. 解由于 故级数发散 1 2615证明若有a>0使当n≥n时≥1+a nn