72.1 差分方程的解 可用算符运算方法 Operator Calculus导出 差分算符 Difference Operator △y,=y-y)=/(x)-f(x) m=y+4y=(+△)=Ey E=1+△,E E y+1=y E J+ 它和微分算符一样,是一种线性算符 用于线性二阶差分方程 Pym+Ov,=F(x) 和微分方程类似,它的补充解可由下式得到 Py+Oy.=0 E4-PE+Olm=0 (E-PXE-P)y 浙江大学 实用数值计算方法
浙江大学 实用数值计算方法 11 7.2.1 差分方程的解 可用算符运算方法Operator Calculus 导出 差分算符 Difference Operator ( ) ( ) j j j j j j j j y y y f x f x x x x = − = − = − + + + 1 1 1 ( ) j j j j Eyj y +1 = y + y = 1+ y = E =1+ , 2 2 1 2 1 + + + + = = = j j j j j j E y y Ey y Ey y 它和微分算符一样，是一种线性算符 用于线性二阶差分方程 y Py Qy F(x) n+2 − n+1 + n = 和微分方程类似，它的补充解可由下式得到 ( ) ( )( ) 0 0 0 1 2 2 2 1 − − = − + = + − + + = n n n n n E P E P y E PE Q y y Py Qy
72.1 故补充系由两个独立解组成 (Independent Solutions) 两个独立解为 Yn=AP Yn=A2 因为: A PT=P v Ev =P n 2 Un=AP+ AP 当P2<4O时,P=a±iB=yex(ax) yn=Ar. expl 差分方程的一个独立解 (Eigenmode) xp(a)=1+a+2+ exp(ia)=1+1d2!34! +il a Ey,=y= Ay"exp(i(n+1)x) py=yexp(ix )*Ayexp(inx) Ev=P 浙江大学 实用数值计算方法 12
浙江大学 实用数值计算方法 12 7.2.1 故补充系由两个独立解组成 （Independent Solutions） ( ) ( ) 0 0 2 1 − = − = n n E P y E P y 两个独立解为 n n n yn1 = A1 P1 y 2 = A2 P2 n n n n n y = AP = P y Ey = P y + + , 1 因为： 1 n n yn = A1 P1 + A2 P2 P 4Q P = i = exp(ix) 2 当 时， y A (i n x) n n = exp 差分方程的一个独立解 （Eigenmode） ( ) ( ) ( ( ) ) ( ) ( ) n n n n n n n n Ey Py py ix A inx Ey y A i n x a a i a a a a ia a ia ia n a a a a = = = = + + − + − = − + − = + − − + + = + + + + + + + exp exp exp 1 2! 4! 3! 5! 1 2! 3! 4! exp 1 2! ! exp 1 1 1 2 4 3 5 2 3 4 2
72.1 差分方程独立解的一般形式 y,=Ay"exp(inx) 用于本题的情况 0=”,exp(△x) n+1 exp(ik△x) )7时间坐标的推进不断乘以 2称为“放大因子” Amplification Factor 当>时,为不稳定 将独立解代入差分表达式 +)-n)==2(m)-r0)得到 2△ expk1△x) v△t exp(ik(+1)Ax)-s exp(ik(j-1)Ax) 2Ax △Yexp((+)△x)exp((-1)x) exp(kj△x) v△t (24+(exp(k△x)-ep(A) v△t l·Smn(k△ 2△ 浙江大学 实用数值计算方法
浙江大学 实用数值计算方法 13 7.2.1 差分方程独立解的一般形式 y A (inx) n n = exp 用于本题的情况 ( ) ( ) ( ) r (ikj x) r ikj x n n j n n j = = + + exp exp 1 1 ( )随时间坐标的推进不断乘以 n j r 称为“放大因子”Amplification Factor 当 1时，为不稳定。 将独立解代入差分表达式 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) n j n j n j n j r r x v t r r 1 1 1 2 + − + − − − = 得到 ( ) ( ( ( ) ) ( ( ) )) ( ( ) ) ( ( ) ) ( ) ( ( ) ( )) ( i (k x)) x v t ik x ik x x v t ikj x ik j x ik j x x v t ik j x ik j x x v t ikj x n n n = − − − = − + − − − = − + − − − = + 2 sin 2 exp exp 2 exp exp 1 exp 1 2 1 exp 1 exp 1 2 exp 1
722差分格式的改进 Lax method 不用n) 而代之以 u 得到的差分 格式为: X x+b())D△t 2△x +1-y-1)图73 相应的放大因子为: 5=cosk/∠2△t sn(k△X △ a+i·B 使 的条件是 k△t|b v△t △x Courant Condition 图7 浙江大学 实用数值计算方法 14
浙江大学 实用数值计算方法 14 7.2.2 差分格式的改进 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 的条件是 使 相应的放大因子为： 格式为： 得到的差分 而代之以 不用 1 cos sin 2 2 1 2 1 2 1 1 1 1 1 1 1 = + = − − = + − + + − + − + + − i k X x v t k X i u u x v t u u u u u u Lax Method n j n j n j n j n j n j n j n j 1 x v t Courant Condition t x0 x j−1 x j x j+1 x n t 0 t n+1 t • • • I R kt =1 x v t 图 7.3 图 7.4