72一阶双曲型方程的差分求解法 +1 0 at a 或称流动方程 Advective Advection Equation (AE) ⅴ为流速因子 该方程的介折解 u=f(x-vi 因为=f()=x-t au du aw at dw at Ox dw ax c 求具体解时需要提供2个辅助条件 u(x, to)=f(x-vto) (xo, t)=f(o-vi 浙江大学 实用数值计算方法
浙江大学 实用数值计算方法 6 7.2 一阶双曲型方程的差分求解法 = 0 + x u v t u 或称流动方程 Advective Advection Equation (AE) v为流速因子 该方程的介折解 u = f (x −vt) ( ) dw du x w dw du x u dw du v t w dw du t u u f w w x v t = = = − = 因为 = , = − 求具体解时需要提供2个辅助条件 ( ) ( ) u(x t) f (x vt) u x t f x vt = − = − 0 0 0 0 ,
7.2 assuming the forcing function is a Rump 0.0<Wf( (w)={1+,-s<W<0 0.0,W<-s 0.0 he solution of u +vu=0 is shown below S 0 it=t x=1·t 2 7.1 Propagation of the Wave Front 浙江大学 实用数值计算方法
浙江大学 实用数值计算方法 7 7.2 assuming the forcing function is a Rump The solution of is shown below. ( ) − + − = W s s W s W W f W 0.0, 1 , 0 1.0, 0 ut + vux = 0 f (w) −s 0 W 1.0 0.0 u t x 0 t = t 0 x = x j x n t n t = t j x = x x = vt u(x t) j , u(x ,t) 0 ( ) 0 u x,t ( ) n u x,t 图 7.1 Propagation of the Wave Front
721最简单的差分化格式构想 X: X 图72 A x,=X0+·Ax u(to, x)=a(x) l(t,x)=b() to+n·△t +1)_,,(n) +O(△ +O△ -p2+-) 2△x △t 2△x v·△t n→n+1 2△x 浙江大学 实用数值计算方法 8
浙江大学 实用数值计算方法 8 7.2.1 最简单的差分化格式构想 • • • • t x0 x j−1 x j x j+1 x x n+1 t n t 0 t t ( ) ( ) ( ) ( ) = = = − u t x b t u t x a x x u v t u 0 0 , , x x j x j = 0 + t t n t n = 0 + ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 1 1 2 , 1 , 2 O x x u u x u O t t u u t u n j n j j n n j n j j n + − = + − = + − + ( ) ( ) ( ) ( ) x u u v t u u n j n j n j n j − − − + − + 2 1 1 1 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) n j n j n j n j u u x v t u u 1 1 1 2 + − + − − n →n +1 图 7.2
7.2.1 以上方法称为时间镶嵌空间中心的差分表达 Forward Time Centered Space FTCS represetation 实际上这个方法不能用:不稳定的方法 Unstable Method 考虑数据误差r )+)=(y+y)-y△p4+-pg+ 由于原方程为线性,故误差的传播关系 n+1 ()v·Mr(Gro)_, 2△x +l 是与原方程完全相同的差分方程 差分方程独立解的一般形式 Independent Solutions of Difference Equations =nexp(kj·△x) (n+=En+l exp(ikj.Ax) 5称为放大因子 Amplification Factor 决定r0),r0)1, 是否上升序列 浙江大学 实用数值计算方法
浙江大学 实用数值计算方法 9 7.2.1 以上方法称为 时间镶嵌空间中心 的差分表达 Forward Time Centered Space FTCS represetation 实际上这个方法不能用：不稳定的方法 Unstable Method 考虑数据误差 r 由于原方程为线性，故误差的传播关系 是与原方程完全相同的差分方程 差分方程独立解的一般形式 Independent Solutions of Difference Equations ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) n j n j n j n j n j n j n j n j u r u r x v t u r u r 1 1 1 1 1 1 2 + + − − + + + − + + = + − ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) n j n j n j n j r r x v t r r 1 1 1 2 + − + − = − ( ) ( ) ( ) r (i k j x) r i k j x n n j n n j = = + + exp exp 1 1 称为放大因子 Amplification Factor 决定rj (0) ,rj (1) , ,rj (n−1) ,rj (n) ,rj (n+1) , 是否上升序列
72.1 线性微分方程的解 +Oy=F() Dy-P Dy+Oy=F(x) 应为补充解和特殊解之和补充解系由下式求出 D D2-P.D+Q=0 (D-P)(D-P)y=O P,P2为方程式x2-Px+Q=0的两个根 auxiliary equation 补充解系由两 (D-P)y=0 D-P 个独立解 组成 y,=A, exp(Px) exp (ex) Dy=A,Pexp(px)=py 当P2<4O时P=a±iB为复数 y1+ y2ty y+y2为微分方程的两个独立解组成的补充 解,特殊解y由F(x)决定 浙江大学 实用数值计算方法
浙江大学 实用数值计算方法 10 7.2.1 线性微分方程的解 Qy F(x) dx dy P dx d y − + = 2 2 D y − PDy +Qy = F(x) 2 应为补充解和特殊解之和 补充解系由下式求出 ( ) ( )( ) 0 0 0 1 2 2 2 − − = − + = − + = D P D P y D P D Q y D y P Dy Qy (auxiliary equation) P1 ,P2为方程式 x 2 − Px +Q = 0 的两个根 (D−P1 )y = 0 (D−P2 )y = 0 补充解系由两 个独立解 组成 y A (Px) y A (P x) 1 1 1 2 2 2 = exp = exp ( ) 当P Q时 P i 为复数 Dy A P Px P y = = = 4 exp 2 1 1 1 1 1 1 p y = y + y + y 1 2 解，特殊解 由 ( )决定。 为微分方程的两个独立解组成的补充 y F x y y p 1 + 2