对于给定的n+1个互异插值节点x0,x1,…,xn Ln(x)=∑y4(x) (213) k=0 称为插值问题的n次多项式插值函数 简称为拉格朗日插值多项式 On+1(x)=(x-x,) j=0 )L2(x)=∑f(x)an(x) (x-x)on+1(x1) 16
16 对于给定的 n +1个互异插值节点 n x , x , , x 0 1 ， L (x) n = y l (x) n k k k =0 （2.13） 称为插值问题的 n 次多项式插值函数. 简称为拉格朗日插值多项式. = + = − n j n j x x x 0 1 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 1 1 0 i n i n n i n i x x x x L x f x + + = − =
例23已知y=nx的函数表 10 13 2.30262.39792.48492564926391 分别用拉格朗日线性和抛物线插值求h11.5的近似值,并估计误差. 解线性插值,取两节点x。=11,x1=12,插值基函数为 所以L1(x)=-23979(x-12)+24849(x-11)
17 例 2.3 已知 y = ln x 的函数表 x 10 11 12 13 14 y 2.3026 2.3979 2.4849 2.5649 2.6391 分别用拉格朗日线性和抛物线插值求ln11.5的近似值，并估计误差. 解 线性插值，取两节点 0 x =11， 1 x =12，插值基函数为 ( ) ( 12) l 0 x = − x− ，l 1 (x)= x−11 所以 L (x) 1 =－2.3979（ x －12）＋2.4849（ x －11）
2.3979(x-12)+24849(x-11) 于是m11.5≈L1(11.5)=24414 余项R1(x) (x-11)(x-12) 由于(x)=2≤1=009255,故 R(1.5)≤×00264505×05=10336X103
18 L (x) 1 =－2.3979（ x －12）＋2.4849（ x －11） 于是 ln11.5 (11.5) L1 余项 R1 (x) = ( ) ( 11)( 12) 2! ln − − x x x = 2.4414 由于 0.0082645 11 1 1 (ln ) 2 2 = = x ，故 ( ) 2 1 11.5 R1 ×0.0082645×0.5×0.5=1.03306×10－3
抛物线插值取节点x0=11,x1=12,x2=13,类似可得 L2(x)=1.19895(x-12(x-13)-24849(x-11(x-13) +128245(x-11)(x-12) 于是in(1.5)≈L2(1.5)=2442275 凡R(1≤93938×103 两个插值方法结果比较?
19 ( ) 5 R2 11.5 9.3938 10− 抛物线插值 取节点 0 x =11， 1 x =12， 2 x =13，类似可得 ( ) 2 L x =1.19895(x −12)(x −13) − 2.4849(x −11)(x −13) +1.28245(x −11)(x −12) 2 于是 ln(11.5) (11.5) 2.442275 = L 两个插值方法结果比较?
例设f(x)=x4,试用拉格朗日余项定理写出以-1,0,1,2 为插值节点的三次插值多项式 解设所求多项式为L3(x),由余项定理得 R2(x)=f(x)-L3(x) f(4(2) =(x+1)(x-0)(x-1)(x-2) 于是3(x)=f(x)-(x+1)x-0(x-1)(x-2) =2x3+x2-2x
20 于是 ( ) ( ) ( 1)( 0)( 1)( 2) L3 x = f x − x + x − x − x − 2x x 2x 3 2 = + − . 例 设 4 f (x) = x ，试用拉格朗日余项定理写出以−1,0,1,2 为插值节点的三次插值多项式. 解 设所求多项式为 ( ) 3 L x ，由余项定理得 (x) f R x f x L x 4 (4) 3 3 4! ( ) ( ) ( ) ( ) = − = = (x +1)(x − 0)(x −1)(x − 2)