力功 第一章复数及复变函数 (2复款的乘幂 定义n个相同的复数z的乘积,称为z的n次幂, 记作z",即z"=zx“(共n个) 设z=r( cos ne+in0),由复数的乘法定理和数学归纳 法可证明z=r( cos no+ -isIn n 特别:当14=1时,即:z=cosn0+in0,则有 :(cos0+sinon=cosmo+isinn0 棣模佛( De moivre)公式 定义x"I 由定义得 r e 复变函数与积分变换 27 January 2021
16 © 2009, Henan Polytechnic University 第一章复数及复变函数 复变函数与积分变换 27 January 2021 设z=r(cos nθ+isin nθ)，由复数的乘法定理和数学归纳 法可证明 z n=rn (cos nθ+isin nθ). n n i n z r e − − − 由定义得 = ⑵复数的乘幂 定义 n个相同的复数z 的乘积，称为z 的n次幂， 记作z n，即z n=zzz（共n个）. . 1 n n z z = 定义 − 特别：当|z|=1时，即：z n=cosnθ+isin nθ，则有 (cosθ+isinθ) n=cosnθ+isinnθ ----棣模佛(De Moivre)公式
力功 第一章复数及复变函数 (3)复数的方根(开方)-乘方的逆选算 问题给定复数,求所有的满足on=z的复数o. 当xP时,有n个不同的o值与对应,每 个这样的o值都称为z的n次方根,记a=z 设O=p(cosp+ LSIn g),由a"=x, 有p"( cong+ TSIng)=r(cosO+isin的) →p”=r,nq=6+2k(k∈Z) 6+2k丌 =0={z=ren(k=0,1,2,…,n-1) 6+2k兀 6+2k兀 rIcos +isin HHMHHHHHHH suuuuuuauuuuuhshuzuz 复变函数与积分变换 27 January 2021
17 © 2009, Henan Polytechnic University 第一章复数及复变函数 复变函数与积分变换 27 January 2021 问题 给定复数z，求所有的满足ωn=z 的复数ω. n 记 = z (cos isin ), z, n 设 = + 由 = (cosn isinn) r(cos isin ) n 有 + = + r, n 2k (k Z) n = = + ⑶复数的方根（开方）－乘方的逆运算 当z≠0时，有n个不同的ω值与 相对应，每一 个这样的ω值都称为z 的n次方根， n z n k i n n z re +2 = = ) 2 sin 2 (cos n k i n k r n + + + = (k = 0,1,2, ,n −1)
力功 第一章复数及复变函数 当=0,1,…,m1时,可得n个不同的根 而k取其它整数时,这些根又会重复出现 几何上,%z的n个值是 以原点为中心,r为半 1+i 径的圆周上n个等分点, 即它们是内接于该圆周 的正m边形的n个顶点 0 如 k √1+i 元 +2k丌 +2k丌 =32(os + isIn )(k=0,2,3)(见图 复变函数与积分变换 27 January 2021
18 © 2009, Henan Polytechnic University 第一章复数及复变函数 复变函数与积分变换 27 January 2021 当k=0，1，…，n-1时，可得n个不同的根， 而k取其它整数时，这些根又会重复出现. 几何上， 的n个值是 以原点为中心， 为半 径的圆周上n个等分点， 即它们是内接于该圆周 的正n边形的n个顶点. n z n r （见图） 如 ) ( 0,1,2,3) 4 2 4 sin 4 2 4 2(cos 1 8 4 = + + + = = + k k i k i k x y o 0 1 2 3 8 2 2 1+ i
力功 第一章复数及复变函数 4指数表示法 将三角形式与er公式(e=cos+isin)结合得 ie 2=e 个辐角 模 无法显示该图片 复变函数与积分变换 27 January 2021
19 © 2009, Henan Polytechnic University 第一章复数及复变函数 复变函数与积分变换 27 January 2021 4. 指数表示法 将三角形式与Euler公式（e i = cos + isin）结合得 i z = re 模 一个辐角
力功 第一章复数及复变函数 注意:复数的各种表示法可以相互转化,以适应 不同问题的需要 例1求(①)1+(2)(3)-3(4)-1-3 的模辐角及辐角主值 例2求(1)e2(2)3e-(3)e"的模辐角 例3将z=sin+c0s化为三角形式与指数f 复变函数与积分变换 27 January 2021
20 © 2009, Henan Polytechnic University 第一章复数及复变函数 复变函数与积分变换 27 January 2021 注意： 复数的各种表示法可以相互转化,以适应 不同问题的需要. , . 2 1 3 (1) 1 (2) (3) 3 (4) 的 模 辐角及辐角主值 求 i i i − − 例1 + − (1) (2) 3 (3) , . 求 2 2 的 模 辐 角 − − e e e 例 i i 2 . 5 cos 5 将 sin 化为三角形式与指数形式 例3 z = + i