证1、 因limf(x)=A,l1img(x)=B,则有 f(x)=A+,g(x)=B+阝 (其中a,B为无穷小) 于是 f(x)±g(x)=(A+)±(B+B) =(A土B)+(C±B) 由定理1可知士阝也是无穷小，再利用极限与无穷小 的关系定理，知定理结论成立 证明2略
证1、 因 lim f (x) = A, limg(x) = B , 则有 f (x) = A+ , g(x) = B + (其中 , 为无穷小) 于是 f (x) g(x) = (A+ ) (B + ) = (A B) + ( ) 由定理 1 可知 也是无穷小, 再利用极限与无穷小 的关系定理 , 知定理结论成立 . 证明2略
证3、 因 limf(x)=4,limg(x)=B, f(x)=A+&,g(x)=B+阝，其中a,B为无穷小 设 y=f四A_A+a A 1 (Ba-Aβ) g(x)B B+BB B(B+) 有界 无穷小 因此y为无穷小， ）A 8(x) B 由极限与无穷小关系定理，得im/(-4 limf(x)》 g(x)B limg(x)
证3、 为无穷小 (详见P44) B 2 B + 1 ( ) 1 g x = ( ) 0 x x 因 lim f (x) = A, limg(x) = B , 有 f (x) = A+ , g(x) = B + , 其中 , 设 B A B A − + + = ( ) 1 + = B B (B − A) 无穷小 有界 因此 由极限与无穷小关系定理 , 得 = + B A g x f x ( ) ( ) 为无穷小