习题2.1 1、利用导数的定义求函数在定点的导数值。 (1)y=x3+1,x。=1(3) (2②)y=hx=e( 2、己知函数fx)=x3,求：f(x),f'(0),f"(x)。 (f"(x)=3x2,'0)=0,f'(xo)=3x2) 从我肥经苹频的加误发演接你对色是-巴飞+大子的职。 △r 4、请简述导数的几何意义，并谈谈你的理解。 5、求曲线y=x2上过点(1,2)处的切线方程，并确定哪一点的切线具有如下性质：(1)平 行于Ox轴：(2)与Ox轴成45°角。 习题2.1答案 1、(1)解△y=(x+△x)3+1-(x2+)=3x2△x+3x△x2+△x3 r+3xA+Ar=3+3xAx+Ar Ar m1=im(3×2+3×1×Ar+Ar2)=3 (2)Ay=H(x+Ar)-hx=(+) 1+ △x A2=k1+=+当号 -m+当品=m0+时-日 2、解△y=(x+△x)3-x3=3x2△x+3xx2+△x3 +Ar=+3xA+Ar Ar Ax f=(6r2+3xAr+△r)=3r2
1 习题 2.1 1、 利用导数的定义求函数在定点的导数值。 （1） 1, 0 1 3 y = x + x = （3） （2） y = x x = e 0 ln , （ e 1 ） 2、已知函数 3 f (x) = x ，求： f (x) ， f (0)， ( ) 0 f x 。 ( 2 f (x) = 3x ， f (0) = 0 ， 2 0 3 0 f (x ) = x ) 3、从我们已经掌握的知识出发谈谈你对 x f x x f x x y x x + − = → → ( ) ( ) lim lim 0 0 0 0 式子的理解。 4、请简述导数的几何意义，并谈谈你的理解。 5、求曲线 2 y = x 上过点(1,2)处的切线方程，并确定哪一点的切线具有如下性质：（1）平 行于 Ox 轴；（2）与 Ox 轴成 0 45 角。 习题 2.1 答案 1、（1）解 3 3 2 2 3 y = (x + x) +1− (x +1) = 3x x + 3xx + x 2 2 2 2 3 3 3 3 3 x x x x x x x x x x x y = + + + + = lim (3 1 3 1 ) 3 2 2 0 1 = + + = → = y x x x x （2）解 ln( ) ln ln ln(1 ) x x x x x y x x x = + + = + − = x x x x x x x x x x x x y 1 1 ln(1 ) ln(1 ) ln(1 ) = + = + + = x e x x x y x x x x x x x x x e 1 lim ln(1 ) ln[ lim (1 ) ] 1 0 1 0 = = + = + → → = 2、解 3 3 2 2 3 y = (x + x) − x = 3x x + 3xx + x 2 2 2 2 3 3 3 3 3 x x x x x x x x x x x y = + + + + = 2 2 2 0 f (x) lim (3x 3x x x ) 3x x = + + = →
所以f(0)=0,f(x)=3x2 3、4、(略) 5、解由例3可知y-2x,所以过点(1,2)的切线斜率为k=2 因此过该点的切线方程为y-2=2(x-)即y=2x (1)若切线的与Ox轴平行，则切线的斜率为0，即y=2x=0 所以过点(0,0) (2)由题意y=2x=tan45°=1 解得x分号 所以过点（兮宁的切线与0：输成45角 习题2.2 L.求下列函数的导数， (1)y=2WF-3x2+x ②y=-G+ (3)y=3+x3+33 wy=G+左) (5)y=x2e (6)y=e'Ix (7)y=2*cosxbg,x o)= (9)y=3x5 Inxsin x 0)y1+安 (1l)y=e*cosx-x3na+π2 (12)y=x2arctanx 2.求下列函数在给定点的导数值 (D已知f)=sin c,求f"(爱 @已蜘=写2+芳求@)
2 所以 2 0 3 0 f (0) = 0, f (x ) = x 3、4、（略） 5、解 由例 3 可知 y = 2x ，所以过点(1,2)的切线斜率为 k = 2 因此 过该点的切线方程为 y − 2 = 2(x −1) 即 y = 2x （1）若切线的与 Ox 轴平行，则切线的斜率为 0，即 y = 2x = 0 所以 过点 (0,0) （2） 由题意 2 tan 45 1 0 y = x = = 解得 2 1 x = ， 4 1 y = 所以过点 ) 4 1 , 2 1 ( 的切线与 Ox 轴成 0 45 角 习题 2.2 1. 求下列函数的导数. (1) y = x − x + x 3 2 2 3 (2) 3 5 1 x x x y − + = （3） 3 3 y = 3 + x + 3 x （4） 1) 1 = ( +1)( − x y x （5） x y x e 2 = （6） y e x x = ln （7） y x x x 2 = 2 cos log （8） 2 sin x x y = (9) y 3x ln xsin x 5 = (10) 2 1 x x y + = （11） 3 2 y = e cos x − x ln a + x （12） y x arctan x 2 = 2. 求下列函数在给定点的导数值. （1） 已知 f (x) = sin x cos x，求 ) 6 ( f . (2) 已知 5 5 3 ( ) 2 x x f x + − = ，求 f (2)
)已知f)=F 1+ 求∫"(4) 3.求下列函数的导数。 ()y=sm5x+1) 2)y=1-x2)0o (3)y=cosx+e-* (④)y=-smx (⑤)y=hnx (6)y=arcsin x2 (7)y=2sin +tan2x 8)y=V1+x3 (0)y-In tan (10)y=sin cosx3 (11)y=Mx+V1+x2) (12)y=sin1+x 画号 y=e2* (15)y=(arcsin x)2 (16)y=(sin√F) 4求下列方程所确定的隐活数的号数安 (1)x3+y3-3xy=0 (②)xy=e" (3)y=cos(x+y) (4)sin(xy)=x 6求下列参发方程所确定高数的导数会 (1) x=1-12 (2) [x=e'sint y=t-13 ly=e'cost 3at (3) x1+ (4) [x=n1+t2) y=t-arctan y-1+7 7.利用对数求导法求下列函数的导数， (1)y=xsnx (2)y= √x+2(3-x)1 (r+) 8.求下列函数的高阶导数 (1)已知y=4x2+hx,求y. 3
3 (3) 已知 x x f x + − = 1 1 ( ) ， 求 f (4) . 3. 求下列函数的导数. (1) y = sin( 5x +1) (2) 2 100 y = (1− x ) (3) x y x e − = cos + (4) 3 y = 1− sin x (5) y = ln ln x (6) 2 y = arcsin x (7) y x x 2 tan 2 sin = + (8) 3 y = 1+ x (9) x y 1 = ln tan (10) 3 y = sin cos x (11) ln( 1 ) 2 y = x + + x (12) 2 y = sin 1+ x (13) 2 tan x y = (14) x x y e + = 2 (15) 2 y = (arcsin x) (16) 3 y = (sin x) 4.求下列方程所确定的隐函数的导数 dx dy . (1) 3 0 3 3 x + y − xy = (2) xy xy = e (3) y = cos(x + y) (4) sin( xy) = x 6.求下列参数方程所确定函数的导数 dx dy . (1) = − = − 3 2 1 y t t x t (2) = = y e t x e t t t cos sin (3) + = + = 2 2 2 1 3 1 3 t at y t at x (4) = − = + y t t x t arctan ln(1 ) 2 7. 利用对数求导法求下列函数的导数. (1) x y x sin = (2) 5 4 ( 1) 2(3 ) + + − = x x x y 8. 求下列函数的高阶导数. （1） 已知 y 4x ln x 2 = + ，求 y
(2)已知y=x3hx,求y (3)己知f(x)=(x+10)6,求f"(2). (4)已知y=n(1-x2),求y” 9.求下列函数的n阶导数. (1)y=e2 (②)y=(1+x) 习题2.2答案 1.求下列函数的导数. (1)y=2F-3r2+x 2)y=产-F+1 解y=(2F-3到2+x 解y=(x2-x号+x =(2-(3Fy+(xy =(x2y-(x)y+(x3) 左2安1 2x*2 (3)y=3+x3+3 ④=+左- 解y=(3+x3+3y 解-G+存旷 =(3y+(x3y+(33y + =3n3+3x2 =r*( 11 =22 (5)y=x2e (6)y=e'Inx 解y-(x2ey 解y'-(ehx =(x2)'e*+x2(e")' =(e*)'In x+e"(In x)
4 (2) 已知 y x ln x 3 = ，求 y . (3) 已知 6 f (x) = (x +10) ，求 f (2) . （4） 已知 ln(1 ) 2 y = − x ，求 y . 9. 求下列函数的 n 阶导数. (1) x y e 2 = (2) y = ln(1+ x) 习题 2.2 答案 1.求下列函数的导数. (1) y = x − x + x 3 2 2 3 (2) 3 5 1 x x x y − + = 解 (2 3 ) 3 2 y = x − x + x 解 ( ) 2 2 3 5 = − + − − y x x x =(2 ) (3 ) ( ) 3 2 x − x + x ( ) ( ) ( ) 2 2 3 5 = − + − − x x x 1 1 2 1 3 = − + x x 3 4 3 2 5 2 x x x = x + − （3） 3 3 y = 3 + x + 3 x （4） 1) 1 = ( +1)( − x y x 解 (3 3 ) 3 3 y = + x + x 解 1) 1 = (1− + − x y x (3 ) ( ) (3 ) 3 3 = + x + x ) 1 = (− + x x 2 3 ln 3 3x x = + ) 1 = (− ) + ( x x x 2x x 1 2 1 = − − （5） x y x e 2 = （6） y e x x = ln 解 ( ) 2 = x y x e 解 y = (e ln x) x =( ) ( ) 2 2 + x x x e x e =(e )ln x + e (ln x) x x
=2xe'+x2e' =e'hxte'l =xe'(2+x) -e(hx+) (7)y=2*cosxlg:x 解y=(2cosx10g2x) =(2)'cosx lgx+2*(cosx)'logx+2*cosx(og2 x)' =2rn2cosxbg2x-2snxbg2x+2cosxxh2 解y=0 _smx水x2-snx-2y -xcosx-2xsin x (9)y=3x'In xsin x 解y'=(3x3 n xsin x)' =(3x5)'In xsin x+3x5 (In x)'sin x+3x5 In x(sin x)' =3x(5In xsin x+sin x+xInxcosx) (10)y=1+x (11)y=e'cosx-x'na+ 解广= 解y'=(e2cosx)'-(x3nay+(π2)y -0+)-x0+x2y =e*cosx-e*sin x-3x2 In a (1+x2)月 (12) y=x2 arctanx 解y'=(x2 arctanx)
5 = x x xe x e 2 2 + x e x e x x 1 = ln + xe (2 x) x = + ) 1 (ln x e x x = + （7） y x x x 2 = 2 cos log 解 (2 cos log ) 2 y = x x x (2 ) cos log 2 (cos ) log 2 cos (log ) 2 2 2 = x x + x x + x x x x x ln 2 1 2 ln 2cos log 2 sin log 2 cos 2 2 x x x x x x x x x = − + （8） 2 sin x x y = 解 ) sin ( 2 = x x y 4 2 2 (sin ) sin ( ) x x x − x x = 4 2 cos 2 sin x x x − x x = (9) y 3x ln xsin x 5 = 解 (3 ln sin ) 5 y = x x x (3 ) ln sin 3 (ln ) sin 3 ln (sin ) 5 5 5 = x x x + x x x + x x x 3 (5ln sin sin ln cos ) 4 = x x x + x + x x x (10) 2 1 x x y + = （11） 3 2 y = e cos x − x ln a + x 解 ) 1 ( 2 + = x x y 解 y ( cos ) ( ln ) ( ) 3 2 = e x − x a + x 2 2 2 2 (1 ) ( ) (1 ) (1 ) x x x x x + + − + = e x e x x a x x cos sin 3 ln 2 = − − 2 2 2 (1 ) 1 x x + − = （12） y x arctan x 2 = 解 ( arctan ) 2 y = x x