电子工业出版社：计算机类本科规划教材《离散数学》课程教学资源（PPT课件讲稿）第7章 群、环和域

第章群、环和域 7.3子群 731子群的概念 定义7.3.1设<G*>是群,H是G的非空子集,如果<H*> 也构成群,则称<H*>是<G*>的子群 由子群的定义可以看出,如果H是G的非空子集,考察 <H,*是否是群<G,*>的子群,应当验证: (1)运算*在H封闭 (2)群G中的幺元e∈H。 (3)∨x∈S,有xl∈H 定理7.3.1设<G*>是一个群,<H*>是<G*>的子群, 则<G*>中的幺元e必定也是<H*>中的幺元。 证明:设<H*>中的幺元为e1,对于任意a∈HG,有 e1米=a=e*a 由消去律得e1=e

第7章 群、环和域 7.3 子群 7.3.1子群的概念 定义7.3.1 设<G, *>是群，H是G的非空子集，如果<H, *> 也构成群，则称<H, *>是<G, *>的子群。 由子群的定义可以看出，如果H是G的非空子集，考察 H,*是否是群G,*的子群，应当验证： ⑴运算*在H上封闭。 ⑵群G中的幺元eH。 ⑶xS，有x –1H 定理7.3.1 设<G, *>是一个群，<H, *>是<G, *>的子群， 则<G, *>中的幺元e必定也是<H, *>中的幺元。 证明：设<H, *>中的幺元为e1，对于任意aHG，有 e1 *a=a=e*a 由消去律得e1=e

第章群、环和域 如果<G,*是群,其中e单位元。e}和G都是G的非空子 集,<e},*和<G,*也都构成群,它们是<G,*的子群,这 是两个特殊的子群。 定义7.32设<G,*是群,<e},*和<G,*是<G,*的 子群,称为群<G,*>的平凡子群。 732子群的判定 用定义证明<H,*>是群<G*>的子群,要验证三个条件。 下面的定理说明,在有限群中,只需验证一个条件也能证明 <H,*是群<G,*>的子群。 定理7.3,2设<G*>是群,A是G的非空子集,如果A是 个有限集,只要运算*在A上封闭,则<4*>是<G米>的子群。 证明:<G,*是群,则<G,*是半群,由定理7.1.1知 <A,*>是半群。以下证明A中有幺元e且A中每一个元素都有逆 元 (1)证明A中有幺元e

第7章 群、环和域 如果G,*是群，其中e单位元。e和G都是G的非空子 集，e,*和G,*也都构成群，它们是G,*的子群，这 是两个特殊的子群。 定义7.3.2 设G,*是群，e,*和G,*是G,*的 子群，称为群G,*的平凡子群。 7.3.2 子群的判定 用定义证明H,*是群G, *的子群，要验证三个条件。 下面的定理说明，在有限群中，只需验证一个条件也能证明 H,*是群G,*的子群。 定理7.3.2 设G, *>是群，A是G的非空子集，如果A是一 个有限集，只要运算*在A上封闭，则<A, *>是G, *>的子群。 证明：G,*是群，则G,*是半群，由定理7.1.1知 A, *是半群。以下证明A中有幺元e且A中每一个元素都有逆 元。 ⑴ 证明A中有幺元e

第章群、环和域 Vb∈a,因为运算*在a上封闭,所以 b2=b水b∈a b3=b2*b∈a 由于A是有限集,所以必存在正整,不妨设i<j,使 得b=b 从而有b=b*b和bb*b 根据群中的消去律得b=e,即b是群<G*>的幺元。且 这个幺元也在G的非空子集4中。 (2)证明S中每一个元素都有逆元。 如果产1>1,那么b=b*b1和b=b1*,即b41是b 的逆元,b1=b-+1且b-+-1∈eA 如果产=1,b=b,那么b是幺元。所以b-1=b 【例73】求群<N,+。>的所有非平凡子群

第7章 群、环和域 ba，因为运算*在a上封闭，所以 b 2=b*ba b 3=b 2*ba … 由于A是有限集，所以必存在正整i和j，不妨设i＜j，使 得b i=b j 从而有 b i=b i*b j–i和b i=b j–i*b i 根据群中的消去律得b j–i=e，即b j–i是群G,*的幺元。且 这个幺元也在G的非空子集A中。 ⑵ 证明S中每一个元素都有逆元。 如果j–i＞1，那么b j–i=b*b j–i–1和b j–i=b j–i–1*b，即b j–i–1是b 的逆元，b –1= b j–i–1且b j–i–1A。 如果j–i=1，b=b j–i ，那么b是幺元。所以b –1= b。 【例7.3】求群<N6 ,＋6>的所有非平凡子群

第章群、环和域 解:作N=0,1,2,34.5 表72 上模6加法+的运算表,+。012345 如表72所示。取N的子集00 23 45 S=024}和S2=0.3},它1123450 们的运算表是表73和表742234501 从表中可以看出模6加法3345012 +6在S和S2上封闭。所以4450 23 S1,+。>和S2+6>是群65501234 十。>的子群 表74 表73 +024 0 4 003 330 2 240 0 4 4 2

第7章 群、环和域 解: 作N6 =0,1,2,3,4,5 上模6加法＋6的运算表， 如表7.2所示。取N6的子集 S1 =0,2,4和S2 =0,3，它 们的运算表是表7.3和表7.4。 从表中可以看出,模6加法 ＋6在S1和S2上封闭。所以 <S1 ,＋6>和<S2 ,＋6>是群<N6 , ＋6>的子群。 表7.2 +6 0 1 2 3 4 5 0 0 1 2 3 4 5 1 1 2 3 4 5 0 2 2 3 4 5 0 1 3 3 4 5 0 1 2 4 4 5 0 1 2 3 5 5 0 1 2 3 4 表7.3 +6 0 3 0 0 3 3 3 0 表7.4 +6 0 2 4 0 0 2 4 2 2 4 0 4 4 0 2

第章群、环和域 定理7.3.3设<G*>是群,H是G的非空子集,如果对于H 中的任意两元素a和b有a米b-1∈H,则<H*>是<G*的子群。 证明:首先证明G中的幺元e也是H中的幺元 任取H中的元素a,因为a∈HcG,所以e=a*a-1∈H且 a*已=e*a=a,即e是H中的幺元。 其次证明在H中的每一元素都有逆。对任意a∈H,因为 e∈H,所以e*a-1∈H,即a-1∈H 最后证明*在H上封闭。对任意的a,b∈H,由上可知 b-l∈H,而b=(b-1)-1,所以a米b=a*(b-1)-1∈H 因此,<H*>是<G,*>的子群 733元素的阶及其性质 定义7.3.3设<G*是群,a是G中的元素。如果存在正整 数n,使得φ=e,则称元素a为有限阶元素,满足上述条件的 最小正整数n称为元素a的阶数,记为amn;如果不存在这样 的正整数n,则称a为无限阶元素

第7章 群、环和域 定理7.3.3 设G, *>是群，H是G的非空子集，如果对于H 中的任意两元素a和b有a*b –1H，则<H, *>是G, *>的子群。 证明：首先证明G中的幺元e也是H中的幺元。 任取H中的元素a，因为aHG，所以e=a*a –1H且 a*e=e*a=a，即e是H中的幺元。 其次证明在H中的每一元素都有逆。对任意aH，因为 eH，所以e*a –1H，即a –1H。 最后证明*在H上封闭。对任意的a,bH，由上可知 b –1H，而b=(b –1 ) –1 ，所以a*b=a *(b –1 ) –1H。 因此，H, *>是G, *>的子群。 7.3.3 元素的阶及其性质 定义7.3.3 设G, *是群，a是G中的元素。如果存在正整 数n，使得a n=e，则称元素a为有限阶元素，满足上述条件的 最小正整数n称为元素a的阶数，记为|a|=n；如果不存在这样 的正整数n，则称a为无限阶元素