第章群、环和域 证明:由表7.1可以看出,*运算 表71 是封闭的和可结合的,在G中有关于* 6 c 米的单位元e。G中每个元素都是自 bc 己的逆元,即e-l=e,arl=a,bl=b, c1=c。所以<G*>是群 ae c b 例72中的群<G,*叫做 Klein四 6 e 元群,简称四元群。Kein四元群有 ccba 以下4个特点: (1)e为G中的单位元 (2)*运算是可交换的。 (3)G中每个元素的逆元都是自己 (4)a,b,c三个元素中任何两个元素的*运算结果都等于第 三个元素 由于群G中有幺元且每一个元素都有逆元,所以可以定 义G中元素的0次幂和负整数次幂。定义x=e,x∈G,n∈l 定义xn=(x)y
第7章 群、环和域 证明：由表7.1可以看出，*运算 是封闭的和可结合的，在G中有关于 *的单位元e。 G中每个元素都是自 己的逆元，即e –1=e，a –1=a，b –1=b， c –1=c。所以G, *是群。 例7.2中的群G,*叫做Klein 四 元群，简称四元群。Klein 四元群有 以下4个特点： 表7.1 * e a b c e e a b c a a e c b b b c e a c c b a e ⑴ e为G中的单位元。 ⑵ *运算是可交换的。 ⑶ G中每个元素的逆元都是自己。 ⑷ a,b,c三个元素中任何两个元素的*运算结果都等于第 三个元素。 由于群G中有幺元且每一个元素都有逆元，所以可以定 义G中元素的0次幂和负整数次幂。定义x 0=e，xG，nI +， 定义x –n＝(x –1 ) n
第章群、环和域 这样以来,可以将62节中关于x的定义推广为: X-x x+1=x*xn为正整数 xn=(x1ym为正整数 定义722设<G,*>是群,如果它的子代数<H,*>也是群, 则称<H,*>是<G,*>的子群。 定义72.3设<G,*>是群,如果G是有限集,则<G,*>称 为有限群,如果G是无限集,则<G*>称为无限群。基数G 称为群<G,*>的阶数,简称群G的阶 定理72.1群中不可能有零元 证明:当群的阶为1时,惟一元素为幺元。设G>1且群 <G,米有零元O。那么对群中任何元素x∈G,都有x*0米x =0e,所以,零元0就不存在逆元,这与<G,*>是群相矛盾
第7章 群、环和域 这样以来，可以将6.2节中关于x n的定义推广为： x 0=e x 1=x x n+1=x n *x n为正整数。 x –n＝(x –1 ) n n为正整数。 定义7.2.2 设<G,*>是群，如果它的子代数<H,*>也是群， 则称<H,*>是<G,*>的子群。 定义7.2.3 设<G,*>是群，如果G是有限集，则<G,*>称 为有限群，如果G是无限集，则<G, *>称为无限群。基数|G| 称为群<G,*>的阶数，简称群G的阶。 定理7.2.1 群中不可能有零元。 证明：当群的阶为1时，惟一元素为幺元。设|G|＞1且群 <G,*>有零元θ。那么对群中任何元素xG，都有x∗θ=θ∗x =θ≠e，所以，零元θ就不存在逆元，这与<G,*>是群相矛盾
第章群、环和域 定理72.,2设<G,*是群,对于a,b∈G,必存在惟一的 x∈G,使得a*x=b 证明:设a的逆元是a-1,令x=a-1*b,则 a米x=a米(1*b)=(a米a-1)*b=e*b=b 若另有一解x1,满足a*x1=b,则a-1*(a米x1)=a-1*b 米b=x 定理72.3设<G,*>是群,对于任意的a,b,C∈G,如果有 米b=米C 或者b*a=C*a,则必有b=c 证明:设a为=aC,且a的逆元是a-1,则有 a-1*(a*b)=a-1米(a*C) (a-1*a)*b=(a-1米a)米*C 即e*b=e*C,故b=c;当b*a=c*a时,同样可证得b=c “对于任意的a,b,c∈G,如果有a米b=a*C或者ba=C米a,贝 必有b=c。″就是第6章讲的消去律。所以,定理72.3可理解 为:群中满足消去律
第7章 群、环和域 定理7.2.2 设<G,*>是群，对于a, bG，必存在惟一的 xG，使得a∗x=b。 证明：设a的逆元是a –1 ，令x= a –1∗b，则 a∗x=a∗(a –1∗b)=(a∗a –1 )∗b=e∗b=b 若另有一解x1，满足a∗x1=b，则a –1∗(a∗x1 )=a –1∗b 即x1=a –1∗b=x。 定理7.2.3 设<G,*>是群，对于任意的a,b,cG，如果有 a∗b=a∗c或者b∗a=c∗a，则必有b=c。 证明：设a∗b=a∗c，且a的逆元是a –1 ，则有 a –1∗(a∗b)=a –1∗(a∗c) (a –1∗a)∗b=(a –1∗a)∗c 即e∗b=e∗c，故b=c；当b∗a=c∗a时，同样可证得b=c。 “对于任意的a,b,cG，如果有a∗b=a∗c或者b∗a=c∗a，则 必有b=c。 ”就是第6章讲的消去律。所以，定理7.2.3可理解 为：群中满足消去律
第章群、环和域 定理724在群<G,*中,除幺元e外,不可能有别的幂 等元 证明:因为e*e=e,所以e是幂等元。设a∈G且a=a, 则有a=e*=(a-1*a)*a=a-1*(a*a)=a-1米=e a-e 7.22阿贝尔群 定义72.4设<G,*是群,如果二元运算*是可交换的, 则称该群为阿贝尔(Abel)群,或称可交换群 整数加法群<I,十>中的加法运算是可交换的,所以,整 数加法群是阿贝尔群,群<R0},>中的乘法运算也是可交 换的,所以,<R0},>也是阿贝尔群 定理72.5设<G*>是群,则<G*>是阿贝尔群的充要条件 是对任意的ab∈G,有(a*b)米(a米b)=(a米()米(b*b (c王明:→设<G*是阿贝尔群,下证对任意的ab∈G,有 )*(a*b)=(*a)*(b*b)
第7章 群、环和域 定理7.2.4 在群<G,*>中，除幺元e外，不可能有别的幂 等元。 证明：因为e∗e=e，所以e是幂等元。设aG且a∗a=a， 则有a=e∗a=(a –1∗a)∗a=a –1∗(a∗a)=a –1∗a=e 即a=e。 7.2.2阿贝尔群 定义7.2.4 设<G,*>是群，如果二元运算*是可交换的， 则称该群为阿贝尔(Abel)群，或称可交换群。 整数加法群I,＋中的加法运算是可交换的，所以，整 数加法群是阿贝尔群，群R-0,·中的乘法运算也是可交 换的，所以，R-0,·也是阿贝尔群。 定理7.2.5设<G, *>是群，则<G, *>是阿贝尔群的充要条件 是对任意的a,bG,有(a*b)*(a*b)=(a*a)*(b*b) 证明：设<G, *>是阿贝尔群，下证对任意的a,bG,有 (a*b)*(a*b)=(a*a)*(b*b)
第章群、环和域 对任意的a,b∈G,有a米b=ba,因此, (a*b)*(a*b)=c*(b*a)*b=*(ab)*b=(a*a)*(b*b) 即(a米b)米(a米b)=(米a)*(b来b) ←设对任意a,b∈G,有(a*b)*(ab)=(a米a)米(b米b),下证 <G,*>是阿贝尔群 a*b=e兴a*b)*e (a*a)*(a*b)(bb1) a-1米(a*(ab)b)*b-1 a-1*(a米a)*(b*b)*b-1 =a1*(a*b)(a*b)*b1 (a-1*a)*(b米a)米(b米b1 =e*(b*a)米e=b*a 即得a*b=b*a,因此群<G,*>是阿贝尔群 返回章目录
第7章 群、环和域 对任意的a, bG，有a*b=b*a，因此， (a*b)*(a*b)=a*(b*a)*b=a*(a*b)*b=(a*a)*(b*b) 即(a*b)*(a*b)=(a*a)*(b*b) 设对任意a, bG，有(a*b)*(a*b)=(a*a)*(b*b)，下证 <G,*>是阿贝尔群。 a∗b=e*(a*b)*e =(a –1*a)*(a*b)*(b*b –1 ) =a –1∗(a∗(a*b)*b)*b –1 =a –1*((a*a)*(b*b))*b –1 =a–1∗((a*b)*(a*b))*b –1 =(a –1∗a)*(b*a)*(b*b –1 ) =e*(b*a)*e=b*a 即得a*b=b*a，因此群<G,*>是阿贝尔群。 返回章目录