海南大学：《数学分析》课程教学资源（教案讲义）第八章 不定积分 8.2 换元积分法与分部积分法

《数学分析》教案 第八章不定积分 海南大学数学系 §8.2换元积分法与分部积分法 教学目标：掌握第一、二换元积分法与分部积分法， 教学内容：第一、二换元积分法：分部积分法 基本要求：熟练掌握第一、二换元积分法与分部积分法。 教学建议： (1)布置足量的有关换元积分法与分部积分法的计算题， (②)总结分部积分法的几种形式：升幂法，降幂法和循环法。 散学过程： 一、第一类换元法一一凑微分法： 有一些不定积分，将积分变量进行适当的变换后，就可利用基本积分表求出积分。例如， 求不定积分c0s2迹，如果凑上一个常数因子2，使成为 fcos2xdbx-fc0sx*2xdk-3fcos2xd(2x) 令2x=u则上述右端积分 fcos2xd(2x)-fcosud-sinw+C 然后再代回原来的积分变量x,就求得原不定积分 jos2-m2x+ 更一般的，若函数F国是函数的一个原函数，“0（④是可微函数，_ 并且复合运算F[(]有意义，根据复合函数求导法则 {F[p(x)]=F[p(x)]o'(x)=f[p(x)]o'(x) 及不定积分的定义，有 [fo(x)o(x)dx=F[o(x)+c 由于 f(u)du=F(u)+C 从

《数学分析》教案 第八章 不定积分 海南大学数学系 1 §8.2 换元积分法与分部积分法 教学目标：掌握第一、二换元积分法与分部积分法． 教学内容：第一、二换元积分法；分部积分法． 基本要求：熟练掌握第一、二换元积分法与分部积分法． 教学建议： (1) 布置足量的有关换元积分法与分部积分法的计算题． (2) 总结分部积分法的几种形式：升幂法，降幂法和循环法． 教学过程： 一、第一类换元法 ——凑微分法： 有一些不定积分，将积分变量进行适当的变换后，就可利用基本积分表求出积分。例如， 求不定积分 cos 2xdx  ，如果凑上一个常数因子 2，使成为 ( ) 1 1 cos 2 cos 2 cos 2 2 2 2 xdx x xdx xd x = • =    令 2x u = 则上述右端积分 ( ) 1 1 1 cos 2 2 cos sin 2 2 2 xd x udu u C = = +   然后再代回原来的积分变量 x ，就求得原不定积分 1 cos 2 sin 2 2 xdx x C = +  更一般的，若函数 F x( ) 是函数 f x( ) 的一个原函数，  = ( x) 是可微函数， 并且复合运算 F x    ( )   有意义，根据复合函数求导法则 F x F x x f x x      ( )  ( ) ( ) ( ) ( )        = =          及不定积分的定义，有 f x x dx F x C        ( ) ( ) = + ( )      由于 f u du F u C ( ) = + ( )  从

《数学分析》教案 第八章不定积分 海南大学数学系 而 fr[o(x)b(x)d=(Jf(u)du) (1) 综上所述，可得如下结论 定理8.4：（第一换元积分法）设四是连续函数，F(四是四的一个原函数。又若 “=()连续可微，并且复合运算/儿(]有意义，则 f[o(x)b(x)dx=(f(u)du)=F[o(x)]+c 2) 第一换元积分公式(2)说明如果一个不定积分∫8（达的被积表达式8）本能够写成 [(】]()本的形式，可通过变量代换“=p()把被积表达式等同于四血，若不定积分 f(u)du=F(u)+c 容易求得，那么再将“=（四代入F(四，便求出原不定积分 ∫g(x)k=F[p(x]+C 由于第一换元积分法的基本手段就是将被积表达式8()本变为 了[(]()本=f[p(]do()的形式。也就是把被积函数8四分解成两个因子的乘积，其 中一个因子与本凑成某一函数()的微分，而另一因子是()的函数[（刃，且经过这样 的微分变形后被积表达式[(]40（四变为容易积分的形式，所以人们也经常称第一换元积 分法为“凑微分法”。凑微分法技巧性强，无一般规律可循，因而不易掌握，初学者只有多做练 习，不断总结经验，才能运用自如。 凑徽分法1：far+b)d=二far+b)d(cx+b)=f)du 例1、利期-2(+)(a6eRa0,求下列积分 05x=j6x+4号a(6x+),令u=3x+4有 6*=d=+c=+c 再将u=3x+4代入，有

《数学分析》教案 第八章 不定积分 海南大学数学系 2 而 ( ) ( ) ( ( ) ) u x( ) f x x dx f u du   =    =     （1） 综上所述，可得如下结论 定理 8.4：（第一换元积分法） 设 f u( ) 是连续函数， F u( ) 是 f u( ) 的一个原函数。又若 u x = ( ) 连续可微，并且复合运算 f x    ( )   有意义，则 ( ) ( ) ( ( ) ) ( ) ( ) u x f x x dx f u du F x C    =      = = +       （ 2） 第一换元积分公式（2）说明如果一个不定积分 g x dx ( )  的被积表达式 g x dx ( ) 能够写成 f x x dx     ( ) ( )   的形式，可通过变量代换 u x = ( ) 把被积表达式等同于 f u du ( ) ，若不定积分 f u du F u C ( ) = + ( )  容易求得，那么再将 u x = ( ) 代入 F u( ) ，便求出原不定积分 g x dx F x C ( ) = +    ( )    由于第一换元积分法的基本手段就是将被积表达式 g x dx ( ) 变为 f x x dx f x d x         ( ) ( ) = ( ) ( )     的形式。也就是把被积函数 g x( ) 分解成两个因子的乘积，其 中一个因子与 dx 凑成某一函数  ( x) 的微分，而另一因子是  ( x) 的函数 f x    ( )   ，且经过这样 的微分变形后被积表达式 f x d x     ( ) ( )   变为容易积分的形式，所以人们也经常称第一换元积 分法为“凑微分法”。凑微分法技巧性强，无一般规律可循，因而不易掌握，初学者只有多做练 习，不断总结经验，才能运用自如。 凑微分法 1： ( ) . 1 ( ) ( ) 1 ( ) f u du a f ax b d ax b a f ax + b dx = + + = 例１、利用 ( ) ( ) 1 dx d ax b a b R a , , 0 a = +   ，求下列积分 ( ) ( ) ( ) 1 3 3 1 1 3 4 3 4 3 4 3 x dx x d x + = + +   ，令 u x = + 3 4 有 1 4 4 3 3 3 3 1 1 3 1 3 4 3 3 4 4 x dx u du u C u C + = =  + = +   再将 u x = + 3 4 代入，有

《数学分析》教案 第八章不定积分 海南大学数学系 ∫3x+4d=3x+4)+C ∫产产=+c 再将后代入 i+a'1+宫 j岛m+c 再将“-a代入，有 如果运算比较熟练，为了简化解题步骤，变量代换“=()可以不写出米，只需默记在头脑中 就可以了。 凑微分法2、 r一=ae)=o咖，特别地，有 dd(x)udu2 例2、利用 au+可a+(a.bHeR.ar*0ra-)） 1 x“k 求下列积分

《数学分析》教案 第八章 不定积分 海南大学数学系 3 ( ) 4 3 3 1 3 4 3 4 4 x dx x C + = + +  ( ) ( ) 2 2 2 2 1 2 ( ) 0 1 ( ) 1 ( ) dx dx x d a a x x x a a a a = =  − − −    令 x u a = ，有 2 2 2 arcsin 1 dx du u C a x u = = + − −   再将 x x a = 代入， 有 2 2 arcsin dx x C a x a = + −  ( ) 2 2 2 2 2 ( ) 1 3 [(1 ( ) )] 1 ( ) x d dx dx a a x a x x a a a = = + + +    令 x u a = 2 2 2 1 1 arctan 1 dx du u C a x a u a = = + + +   再将 x u a = 代入，有 2 2 1 arctan dx x C a x a = + +  如果运算比较熟练，为了简化解题步骤，变量代换 u x = ( ) 可以不写出来，只需默记在头脑中 就可以了。 凑微分法 2、 f u du k f x d x k x f x dx k k k k ( ) 1 ( ) ( ) 1 ( ) 1 = = − . 特别地, 有 f x xdx f x d x f (u)du 2 1 ( ) ( ) 2 1 ( ) 2 2 2 = = 和 dx f ( x )d x x f x 2 ( ) = . 例２、利用 ( ) ( ) ( ) 1 1 , , , 0, 1 1 x dx d ax b a b R a a      + = +    − + ， 求下列积分

《数学分析》教案 第八章不定积分 海南大学数学系 （f5xr+7小d=j65x2+7)2d65x+7） 06r+7列ar+7列-06r+7+c_动5x+7+c (a-(-c j流司-可 2arctan+C 1+( 产 (x>0) 解：(4) 得的 府 -c何c 例3、若被积函数 得有用o咖器得.有下式 jrow得可铝±npoc 求下列积分 盒-nrc (ajm达高=-has+c jm-m产-haC 以上3例都是直接利用“凑微分法”求不定积分。如果进一步把“凑微分法”与不定积分 的运算性质结合起来，就可以利用基本积分表来处理非常广泛的初等函数的积分。 例4、将下列被积函数先作代数恒等变形再求其不定积分

《数学分析》教案 第八章 不定积分 海南大学数学系 4 ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 2 1 1 5 7 5 7 5 7 5 2 x xdx x d x + = + + =    ( ) ( ) ( ) 2 1 1 1 2 2 2 5 7 5 7 5 7 10 10 2 x d x x C + + =  + +  ＝ ( ) 2 1 2 5 7 20 X C + + ( ) ( ) 1 1 1 2 1 1 2 1 ( ) x x x e dx e d e C x x = − = − +   ( ) ( ) ( ) 2 3 2 2 2arctan 1 1 1 dx d x d x x C x x x x = = = + + + +    ( ) ( ) 2 2 4 0 1 dx x x x  +  解：（4） 2 2 2 2 1 1 1 1 1 1 1 1 1 dx d d x x x x x x x   = − = − =   + +     +        2 2 1 1 1 2 1 1 d x x     − =             +      1 2 2 2 1 1 1 1 1 2 d x x −         − + +                      1 2 2 2 1 1 1 2 1 1 2 C C x x       = −  + + = − + +               例 ３ 、 若被积函数 ( ) ( ) ( ) , x f x x    =  利 用 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) x d x f x dx dx x x      =  =  ，有如下公式 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ln ( ) x d x f x dx dx x C x x       =  =  =  +    求下列积分 ( ) ln 1 ln ln ln ln dx d x x C x x x = = +   ( ) sin cos 2 tan ln cos cos cos x d x xdx dx x C x x = = − = − +    ( ) cos sin 3 cot ln sin sin sin x d x xdx dx x C x x = = = +    以上３例都是直接利用“凑微分法”求不定积分。如果进一步把“凑微分法”与不定积分 的运算性质结合起来，就可以利用基本积分表来处理非常广泛的初等函数的积分。 例４、将下列被积函数先作代数恒等变形再求其不定积分

《数学分析》教案 第八章不定积分 海南大学数学系 h w 高子会 j (c sin'x 凑微分法3：f(sinx)cosxdx=fsnx)dsnx=fu)dh f(cosx)sin xdx=-f(cosx)dcosx=-f(u)du. f(igx)secxdx=f(igx)digx=f(u)du. 例5、对于5厂s血'迹与厂cos (n∈川形式的积分，当”是偶数，时可利用三角恒等式 sinx=(1-cos2x)cosx=(1+cos2x) 来降低三角函数的幂，当”是奇数时，变正（余）弦函数的积分为余（正）弦函数的积分。 0jsn达=月-cos2jk-=0-2os2x+os2h -2oas2h++cas4树] -sin2xsind C 追x-sm2x+安m4c

《数学分析》教案 第八章 不定积分 海南大学数学系 5 ( ) 2 2 1 1 1 1 2 dx dx a x a a x a x   = + =   − − +     1 1 ( ) ( ) ln 2 2 d x a d x a x a C a x a x a a x a   + − +   − = +   + − −    ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 2 1 1 2 1 1 1 1 x x x x x x x dx e e dx d e dx e e e e + − + = = − = + + + +     1 1 1 (1 ) 1 1 1 1 x x x x x x x e e d e dx dx e e e e + − + + = − + = + + + +    ( ) 2 1 ln 1 1 x x e C e − + + + + ( ) 2 2 2 2 2 sin 1 1 1 3 1 1 sin 1 sin sin 1 1 sin x dx dx dx dx x x x x   = − = −   + +   +     ＝ 2 cot cot 1 2 2 cot 2 cot 1 2 x d d x x x x x + = + +   +       ＝ 1 cot arctan 2 2 x x C   + +     凑微分法 3： f (sin x) cos xdx = f (sin x)d sin x = f (u)du; f (cos x)sin xdx = − f (cos x)d cos x = − f (u)du; ( )sec ( ) ( ) . 2 f tgx xdx = f tgx dtgx = f u du 例５、对于 sinn xdx  与 cosn xdx  (n N  ) 形式的积分，当 n 是偶数时，可利用三角恒等式 ( ) ( ) 2 2 1 1 sin 1 cos 2 cos 1 cos 2 2 2 x x x x = − = + 来降低三角函数的幂，当 n 是奇数时，变正（余）弦函数的积分为余（正）弦函数的积分。 ( ) ( ) ( ) 2 4 2 1 1 1 sin 1 cos 2 1 2cos 2 cos 2 2 4 xdx x dx x x dx   = − = − +        ＝ ( ) 1 1 2 cos 2 1 cos 4 4 2 dx xdx x dx   − + + =        1 1 sin 2 sin 4 4 2 8 x x x x C     − + + +   ＝ 1 3 1 sin 2 sin 4 4 2 8 x x x C     − + +  