《数学分析》教案 第八章不定积分 海南大学数学系 §8.3几类可积的初等函数 教学目标：会计算有理函数和可化为有理函数的不定积分。 载学内容：有理函数的不定积分：三角函数有理式的不定积分；某些无理根式的不定积分. 基本要求：(1)有理函数的不定积分：三角函数有理式的不定积分；某些无理根式的不定积分. (②)较高要求：利用欧拉代换求某些无理根式的不定积分. 教学建议：()适当布置有理函数的不定积分，三角函数有理式的不定积分，某些无理根式的 不定积分的习题. (2)本节的难点是利用欧拉代换求某些无理根式的不定积分，可要求较好学生掌握。 教学过程： 8.3.1 有理函数的积分法 称形如 P(x)=ax"+ax-+.+a (3.1) 的函数为多项式函数。其中4，∈Rk=0,L.”,用dcgP()表示多项式P()的关于变量x的次 数。 设P(x)与Q()是任意两个互质的多项式函数，称形如 P(x) Qx) (Qx)≠0) (3.2) P(x) 的函数为有理函数，记作Rx)=Q(),当degP()<degQ()时，称R()为有理真分式，当 degP(x)≥degQ(x)时，称R()为有理假分式。 P(x) 显然任何一个有理假分式)=Q田，用多项式函数P(x)除以多项式函数Q),总能将 R(x)表示成为一个多项式函数与一个有理真分式之和。即
《数学分析》教案 第八章 不定积分 海南大学数学系 1 §8.3 几类可积的初等函数 教学目标：会计算有理函数和可化为有理函数的不定积分． 教学内容：有理函数的不定积分；三角函数有理式的不定积分；某些无理根式的不定积分． 基本要求：(1)有理函数的不定积分；三角函数有理式的不定积分；某些无理根式的不定积分． (2) 较高要求：利用欧拉代换求某些无理根式的不定积分． 教学建议：(1) 适当布置有理函数的不定积分，三角函数有理式的不定积分，某些无理根式的 不定积分的习题． (2) 本节的难点是利用欧拉代换求某些无理根式的不定积分，可要求较好学生掌握． 教学过程： 8.3.1 有理函数的积分法 称形如 1 0 1 ( ) n n P x a x a x an − = + + + （3.1） 的函数为多项式函数。其中 , 0,1, , k a R k n = ，用 deg ( ) P x 表示多项式 P x( ) 的关于变量 x 的次 数。 设 P x( ) 与 Q x( ) 是任意两个互质的多项式函数，称形如 ( ) ( ) P x Q x (Q x( ) 0 ) （3.2） 的函数为有理函数，记作 R x( ) = ( ) ( ) P x Q x ，当 deg ( ) deg ( ) P x Q x 时，称 R x( ) 为有理真分式，当 deg ( ) deg ( ) P x Q x 时，称 R x( ) 为有理假分式。 显然任何一个有理假分式 R x( ) = ( ) ( ) P x Q x ，用多项式函数 P x( ) 除以多项式函数 Q x( ) ，总能将 R x( ) 表示成为一个多项式函数与一个有理真分式之和。即
《数学分析》教案 第八章不定积分 海南大学数学系 P)P()+SG) R(x)=O(x) O(x) 其中户x)与S(x)均为多项式函数，且degS)<degQ(x)。例如 x3+1 所以讨论有理函数的积分，由于多项式函数是可积的，故只须讨论有理真分式是否可积。 我们首先考虑如下最简分式 A 1)x-a (2)(r-a,n=23 A Ax+B Ax+B (3)x2+m+g （④)+m+9,1=23 的积分方法。其中A,B,P,q皆为实常数，二次三项式x+瓜+q不能分解为实一次多项式之积， 即p2-4g<0。 显然 ()n-dc 而 4x+)+(B-9) (3) x++g+) 号有 g小染-
《数学分析》教案 第八章 不定积分 海南大学数学系 2 R x( ) = ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) P x S x P x Q x Q x = + 其中 P x( ) 与 S x( ) 均为多项式函数，且 deg ( ) deg ( ) S x Q x 。例如 3 2 2 1 1 1 1 x x x x x + − = − + + 所以讨论有理函数的积分，由于多项式函数是可积的，故只须讨论有理真分式是否可积。 我们首先考虑如下最简分式 （1） A x a − （2） , 2,3, ( )n A n x a = − （3） 2 Ax B x px q + + + （4） 2 , 2,3, ( )n Ax B n x px q + = + + 的积分方法。其中 A B p q , , , 皆为实常数，二次三项式 2 x px q + + 不能分解为实一次多项式之积， 即 2 p q − 4 0。 显然 （1） ln A dx A x a C x a = − + − （2） 1 1 ( ) 1 ( ) n n A A dx C x a n x a − = + − − − 而 （3） 2 2 2 ( ) ( ) 2 2 ( ) ( ) 2 4 p Ap A x B Ax B dx dx x px q p p x q + + − + = + + + + + 设 2 p u x = + ， 2 4 p a q = − ，有 2 Ax B dx x px q + = + + 2 2 2 2 ( ) 2 udu Ap du A B u a u a + − = + + 2 2 1 ln( ) ( )arctan 2 2 A Ap u u a B C a a + + − + =
《数学分析》教案 第八章不定积分 海南大学数学系 n)2 anctan 2x+p+C 4q-p 4q-p 女- [+m++(B- 1 2+m+g]本 +m+gr+a-判 dx +r+g5 (3.3) 在试右9含号写.有 dx 根据式(2.7)，积分有如下递推公式 4。ra- n-2,3,. (3.4) 且 从出安，或复购用5的维公式a用代园限安量=叶号发-一号。阳可求类 型(4)的最简分式的不定积分。 关于有理真分式的分解，我们有如下定理。 P(x) 定理3.1设()=Q()是一个有理真分式，且分母多项式函数 Q(x)=(x-a,).(x-a,)(x2+px+g)(x2+p,x+g,) 其中4，.，aA,4,P4∈R,p2-4<0,k=12,1,则()有下列最简分式分解式 .*+a+高 A
《数学分析》教案 第八章 不定积分 海南大学数学系 3 2 2 2 2 2 ln( ) arctan 2 4 4 A B Ap x p x px q C q p q p − + + + + + − − 又 2 ( )n Ax B dx x px q + = + + 2 2 2 ( ) 1 ( ) 2( ) 2 ( )n A x px q Ap B dx x px q x px q + + + − = + + + + 2 1 2 2 1 ( ) ( ) 2 1 2 ( ) ( ) 2 4 n n A Ap dx x px q B n p p x q − + + + − − + + − （3.3） 在式（3.3）右端积分中，令 2 p u x = + ， 2 4 p a q = − ，有 2 2 ( ) ( ) 2 4 n dx p p x q = + + − 2 2 ( )n n du I u a = + 根据式（2.7），积分 n I 有如下递推公式 n I = 2 2 2 1 2 1 1 2 3 2 ( 1) ( ) 2 ( 1) n n u n I a n u a a n − − − + − + − ， n = 2,3, （3.4） 且 1 2 2 1 arctan du u I C u a a a = = + + 从 1 I 出发，重复应用 n I 的递推公式（3.4），再代回原变量 2 p u x = + 及 2 4 p a q = − ，即可求出类 型（4）的最简分式的不定积分。 关于有理真分式的分解，我们有如下定理。 定理 3.1 设 R x( ) = ( ) ( ) P x Q x 是一个有理真分式，且分母多项式函数 1 1 2 2 1 1 1 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) s t r l r l Q x x a x a x p x q x p x q = − − + + + + s t t 其中 1 1 1 , , ; , , , , s t t a a p q p q R ， 2 4 0 k k p q − ，k t =1,2, , ，则 R x( ) 有下列最简分式分解式 R x( ) = 1 1 1 1 1 1 1 1 ( ) ( ) s s s s r r r r s s A A A A x a x a x a x a + + + + + + + − − − −
《数学分析》教案 第八章不定积分 海南大学数学系 Bx+C Bx+C! (x+px+q) -+.+ x+px+9 Bx+Ci B'x+C +p+9+.+r+Px+q 其中4.44BC,CR,CB,C4eR 定理3.1说明任何有理真分式一定可以分解为若干个最简分式之和，而上面的讨论展示了 ()~(④)种类型的最简分式的可积性。从而可知有理函数一定是可积的。 例3.1、把函数 (x-1)(x+3)(x2+2x+2 分解为最简分式之和，并求其不定积分。 解：由定理3.1知，给定函数的最简分式分解式应为 -+r+2+习.++410 Cx+D 消去分母，有 x=Ax+3(x2+2x+2)+B(x-1)(x2+2x+2)+(Cx+D(x-1x+3) 比较上式两端同次幂系数，有 A +B +C =0 5A+B+2C+D=0 8A -3C+2D=1 6A-2B-3D=0 解此代数方程，有 1 11311 于是(-l0x+训r+2x+2.20x+20x+357+2x+2 从霜-e*2可动高+易引年密。 动-邮22
《数学分析》教案 第八章 不定积分 海南大学数学系 4 1 1 1 1 1 1 1 1 1 2 2 1 1 1 1 ( ) l l l B x C B x C x p x q x p x q + + + + + + + + + + 1 1 2 2 ( ) t t t t t t t l l l t t t t B x C B x C x p x q x p x q + + + + + + + + 其中 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 , , ; ; , , ; , , ; , ; ; , , , , s t t s s t t t t A A A A B C B C B C B C R r r l l l l 。 定理 3.1 说明任何有理真分式一定可以分解为若干个最简分式之和，而上面的讨论展示了 ⑴～⑷种类型的最简分式的可积性。从而可知有理函数一定是可积的。 例 3.1、把函数 ( )( )( ) 2 1 3 2 2 x x x x x − + + + 分解为最简分式之和，并求其不定积分。 解：由定理 3.1 知，给定函数的最简分式分解式应为 ( )( )( ) 2 1 3 2 2 x x x x x − + + + = 2 1 3 2 2 A B Cx D x x x x + + + − + + + 消去分母，有 2 2 x A x x x B x x x Cx D x x = + + + + − + + + + − + ( 3)( 2 2) ( 1)( 2 2) ( )( 1)( 3) 比较上式两端同次幂系数，有 5 8 6 A A A A 2 B B B + + − 2 3 C C C + + − 2 3 D D D + + − 0 0 1 0 = = = = 解此代数方程，有 1 3 1 , , , 0 20 20 5 A B C D = = = − = 于是 ( )( )( ) 2 1 3 2 2 x x x x x − + + + = 2 1 1 3 1 1 20 1 20 3 5 2 2 x x x x x + − − + + + 从而 ( )( )( ) 2 1 3 2 2 xdx x x x x = − + + + 2 1 3 1 20 1 20 3 5 2 2 dx dx xdx x x x x + − − + + + = 2 2 1 3 1 ( 2 2) ln 1 ln 3 20 20 10 2 2 d x x x x x x + + − + + − + + +
《数学分析》教案 第八章不定积分 海南大学数学系 动别. arctan(x+1)+C 2x 例2、计算(+F+ 2x A Bx+C Dx+E 解：设 ++x*+i++ 消去分母，有 2x=Ax2+1)+(Bx+C)(x+I)(x2+)+(Dx+E)(x+1) (3.6) 在式（3.6)中令x=-,有-2=4h,即A=-2,令x=1,有21=D+E0+ (D+E)i+(E-D),于是 [D+E=2 -D+E=0 D=E=1 将1分0=6 代入式(3.6)，并令x=0,有 0=-+C+1c=-月 再令x=1,有 2=4+B-4+4B=月 于是 2x +
《数学分析》教案 第八章 不定积分 海南大学数学系 5 2 1 ( 1) 5 ( 1) 1 d x x + + + = 3 2 2 1 ( 1)( 3) ln 20 ( 2 2) x x x x − + + + + 1 arctan( 1) 5 x C + + 例 3.2、计算 ( )( ) 2 2 2 1 1 x dx x x + + 。 解：设 ( )( ) ( ) 2 2 2 2 2 2 1 1 1 1 1 x A Bx C Dx E x x x x x + + = + + + + + + + 消去分母，有 ( ) ( )( )( ) ( )( ) 2 2 2 2 1 1 1 1 x A x Bx C x x Dx E x = + + + + + + + + （3.6） 在式（3.6）中令 x =−1 ，有 − = 2 4A ，即 1 2 A = − ；令 x i = ，有 2 ( )( 1) i Di E i = + + = (D E i E D + + − ) ( ) ，于是 2 0 D E D E + = − + = D E = =1 将 1 , 1 2 A D E = − = = 代入式（3.6），并令 x = 0 ，有 1 1 0 1, 2 2 = − + + = − C C 再令 x =1 ，有 1 1 1 2 4 ( ) 4 4, 2 2 2 = − + − + = B B 于是 ( )( ) 2 2 2 1 1 x dx x x + + = 2 2 2 1 1 1 1 2 1 2 1 ( 1) dx x x dx dx x x x − + − + + = + + + 2 2 1 1 2 1 ln 1 2 4 1 2 1 x dx x dx x x − + + − + + +