《数学分析》教案 第九章定积分 海南大学数学系 *§9.6可积性理论的补叙 这一节，我们从理论上研究函数可积准则，给出函数在某一区间上可积的 充分必要条件。 一、达布(Darboux1842~1917法国数学家)上和与下和的性质 1、思路与方案： 思路：鉴于积分和与分法和介点有关，先简化积分和.用相应于分法 T的 “最大”和“最小”的两个“积分和”去双逼一般的积分和，即用极限的双逼 原理考查 积分和有极限，且与分法T及介点5无关的条件， 方案：定义上和S(T)和下和(T).研究它们的性质和当T→0时有相 同极限的充要条件 2.Darboux和： 以下总设函数f(x)在区间[a,b]上有界.并设m≤f(x)≤M, 其中m和M分别是函数f(x)在区间【a,b]上的下确界和上确界. 定义Darboux和，指出Darboux和未必是积分和·但Darboux和由分法T 唯一确定， 分别用S(T)、s(T和∑(T)记相应于分法T的上（大）和、下（小）和与 积分和. 积分和∑(T是数集（多值）·但总有s(T≤∑T≤S(T),因此有
《数学分析》教案 第九章 定积分 海南大学数学系 1 *§9．6 可积性理论的补叙 这一节，我们从理论上研究函数可积准则，给出函数在某一区间上可积的 充分必要条件。 一、 达布(Darboux 1842～1917 法国数学家) 上和与下和的性质 1、思路与方案： 思路: 鉴于积分和与分法和介点有关, 先简化积分和. 用相应于分法 T 的 “最大”和“最小”的两个“积分和”去双逼一般的积分和 , 即用极限的双逼 原理考查 积分和有极限, 且与分法 T 及介点 i 无关的条件 . 方案: 定义上和 ( ) _ S T 和下和 s(T) . 研究它们的性质和当 T → 0 时有相 同极限的充要条件 . 2. Darboux 和: 以下总设函数 f (x) 在区间 [ a , b ] 上有界. 并设 m f (x) M , 其中 m 和 M 分别是函数 f (x) 在区间 [ a , b ] 上的下确界和上确界 . 定义 Darboux 和, 指出 Darboux 和未必是积分和 . 但 Darboux 和由分法 T 唯一确定. 分别用 ( ) _ S T 、 s(T) 和 (T) 记相应于分法 T 的上（大）和、下（小）和与 积分和. 积分和 (T) 是数 集( 多值) . 但 总有 s(T) (T) ( ) _ S T , 因此有
《数学分析》教案 第九章定积分 海南大学数学系 s(T)≤ST). sT)和5(T)的几何意义. 3.Darboux和的性质： 本段研究Darboux和的性质，目的是建立Darboux定理. 先用分点集定义分法和精细分法：T≤T'表示T'是T的加细· 性质1：若T≤T',则s(T)≤(T),ST)≥5(T).即：分法加细，大 和不增， 小和不减.（证） 性质2：对任何T,有mb-a)≤S(T),M(b-a)2s(T.即：大和 有下界， 小和有上界.（证） 性质3：对任何T和I,总有(T)≤S(T).即：小和不会超过大和 证：sT)≤sT+I)≤5(I+T)≤T) 性质4：设T'是T添加p个新分点的加细.则有 s(T)≤s(T)≤s(T)+p(M-m)Tl, S(T)2S(T)2S(T)-p(M-m)T. 证：设T是只在T中第i个区间[x,x,]内加上一个新分点x所成的分 法，分别设 M=黑，/，=牌，4，=即f· 显然有m≤M和M,≤M,≤M.于是
《数学分析》教案 第九章 定积分 海南大学数学系 2 s(T) ( ) _ S T . s(T) 和 ( ) _ S T 的几何意义 . 3. Darboux 和的性质: 本段研究 Darboux 和的性质, 目的是建立 Darboux 定理. 先用分点集定义分法和精细分法: T T 表示 T 是 T 的加细 . 性质 1： 若 T T , 则 s(T) s(T), ( ) _ S T ( ) _ S T . 即 : 分法加细, 大 和不增, 小和不减 . ( 证 ) 性质 2： 对任何 T , 有 m(b − a) ( ) _ S T , M (b − a) s(T) . 即 : 大和 有下界, 小和有上界. ( 证 ) 性质 3： 对任何 T1 和 T2 , 总有 ( ) T1 s ( ) 2 _ S T . 即: 小和不会超过大和 . 证： ( ) T1 s ( ) T1 T2 s + ( ) 1 2 _ S T +T ( ) 2 _ S T . 性质 4： 设 T 是 T 添加 p 个新分点的加细. 则有 s(T) s(T) s(T) + p (M − m) T , ( ) _ S T ( ) _ S T ( ) _ S T − p(M − m) T . 证： 设 T1 是只在 T 中第 i 个区间 [ , ] i 1 i x x − 内加上一个新分点 x 所成的分 法, 分别设 sup ( ) [ , ] 1 1 M f x x x i− = , sup ( ) [ , ] 2 M f x i x x = , sup ( ) [ , ] 1 M f x i i x x i − = . 显然有 m M1 和 M2 Mi M . 于是
《数学分析》教案 第九章定积分 海南大学数学系 0≤ST-S(T)=M,(x,-x-)-M1(-x-)-M2(x-x) =(M,-Mx-x-)+(M,-M2x-x)≤ ≤(M-m(x-x-)+(M-m(x,-x)=(M-mx,-x)≤(M-m)T 添加p个新分点可视为依次添加一个分点进行p次.即证得第二式。 可类证第一式. 推论：设分法T'有p个分点，则对任何分法T,有 S(T)-p(M-m)lTllsS(T),s(T)+p(M-m)Tllzs(T). 证：S(T)-pM-m)Tl≤ST+T')≤S(T)· s(T)+p(M-m)ITI≥s(T+T')≥s(T). 4、上积分和下积分： 设函数f(x)在区间[a,b]上有界.由以上性质2， ()有上界，S(T)有下界.因此它们分别有上确界和下确界 定义：记fd=S),广fxd=spT).分别称和 心为 函数f(x)在区间【a,b]上的上积分和下积分. 对区间[口，b1上的有界函数f,工和广存在且有限，厂≥止 并且 对任何分法T,有T)s心ssS. 上、下积分的几何意义
《数学分析》教案 第九章 定积分 海南大学数学系 3 0 ( ) ( ) ( ) ( ) 2 ( ) 1 1 1 1 S T S T M x x M x x M x x − = i i − i− − − i− − i − = (Mi − M1 )(x − xi−1 ) + (Mi − M 2 )(xi − x) ( )( ) ( )( ) ( )( ) − − i−1 + − i − = − i − i−1 M m x x M m x x M m x x (M − m) T . 添加 p 个新分点可视为依次添加一个分点进行 p 次. 即证得第二式. 可类证第一式. 推论： 设分法 T 有 p 个分点，则对任何分法 T ，有 S(T) − p(M − m) || T || S(T) ， s(T) + p(M − m) || T || s(T ) . 证： S(T) − p(M − m) || T || S(T + T) S(T) . s(T) + p(M − m) || T || s(T + T) s(T) . 4、上积分和下积分: 设函数 f (x) 在区间 [ a , b ] 上有界. 由以上性质 2 ， s(T) 有上界 ， ( ) _ S T 有下界 . 因此它们分别有上确界和下确界. 定义： 记 b a f (x)dx inf S(T) T = , b a f (x)dx sup s(T) T = . 分别称 b a 和 b a 为 函数 f (x) 在区间 [ a , b ] 上的上积分和下积分. 对区间 [ a , b ] 上的有界函数 f (x) , b a 和 b a 存在且有限 , b a b a . 并且 对任何分法 T , 有 s(T) b a b a ( ) _ S T . 上、下积分的几何意义
《数学分析》教案 第九章定积分 海南大学数学系 例1、求Dx)d和∫Dxt.其中Dx)是Dirichlet函 数. 5、Darboux定理： 定理1：设函数f(x)在区间[a,b]上有界，T是区间【a,b]的分法 则有 R5=xd,e)=止fx 证：（只证第一式.要证：对>0,36>0，使当T<6时有 0≤5)-<6.0≤5)-是显然的.因此只证)-广<8.) 工=时50.对ve>0.3r,使3<+气 设T'有p个分点，对任何分法T,由性质4的系，有S(T)-p(M-m)T≤ S(T), 由*式得5)-p(M-ms5T)<+5即 5m-pM-mk+号 亦即 50-<+pw-m 于是取6 2M-m·（可设M>m,否则/)为常值函数，厂=5 对任何 分法T成立.对任何分法T,只要T<6,就有
《数学分析》教案 第九章 定积分 海南大学数学系 4 例 1、 求 1 0 D(x)dx 和 1 0 D(x)dx . 其中 D(x) 是 Dirichlet 函 数 . 5、 Darboux 定理 : 定理 1： 设函数 f (x) 在区间 [ a , b ] 上有界, T 是区间 [ a , b ] 的分法 . 则有 0 lim T → ( ) _ S T = b a f (x)dx , 0 lim T → s(T) = b a f (x)dx . 证： ( 只证第一式 . 要证 : 对 0 , 0 , 使当 T 时有 0 ( ) − _ S T b a . 0 ( ) − _ S T b a 是显然的. 因此只证 ( ) − _ S T b a . ) b a inf S(T) T = , 对 0 , T , 使 ( ) _ S T < b a *) , 2 + 设 T 有 p 个分点, 对任何分法 T , 由性质 4 的系, 有 ( ) − _ S T p (M − m) T ( ) _ S T , 由* ) 式, 得 ( ) − _ S T p (M − m) T ( ) _ S T < b a , 2 + 即 ( ) − _ S T p (M − m) T < b a , 2 + 亦即 ( ) _ S T − b a < 2 + p (M − m) T . 于是取 2 p(M − m) = , ( 可设 M m, 否则 f (x) 为常值函数, b a = ( ) _ S T 对任何 分法 T 成立. ) 对任何分法 T , 只要 T , 就有
《数学分析》教案 第九章定积分 海南大学数学系 0s5n)-工<+5=. 此即肥。5=fx本. 二、可积的充要条件： 定理2（充要条件1）：设函数f(x)在区间[a,b]上有界. fx)∈R[a,b]台 - 证：)设∫/x达=1，则有肥∑f,Ay,=1.即对 c>0,36>0,使当7<6时有 I∑f,)A,-1川<号对，eAx,成立. 在每个1止取，使0sM-)0。于是 150-∑f)A1=(M-fm》A< 因此，<6时有 |5T)-1|≤|5(T)-∑f5)Ax|+|∑fcA-1|<号+号= 此即肥5)=1.由Darboux定理，。广=1. 同理可证上：1.→上：厂， )对任何分法T,有s(T)≤∑(T)≤S(T),而
《数学分析》教案 第九章 定积分 海南大学数学系 5 0 ( ) − _ S T b a + = 2 2 . 此即 0 lim T → ( ) _ S T = b a f (x)dx . 二、 可积的充要条件: 定 理 2 （ 充要条件 1 ）： 设函数 f (x) 在区间 [ a , b ] 上有界 . f (x) R[ a , b ] b a = b a . 证 ： ) 设 b a f (x)dx = I , 则 有 0 lim T → i i f (x ) x = I . 即 对 0 , 0 , 使当 T 时有 | i i f (x ) x − I | < 2 对 i i x 成立. 在每个 [ , ] i 1 i x x − 上取 i , 使 0 ( ) i i M − f 2(b − a) , 于是, | ( ) _ S T − ( ) i f i x | = ( ( )) i i M − f i x < 2 . 因此, T 时有 | ( ) _ S T − I | | ( ) _ S T − ( ) i f i x | + | i i f (x ) x − I | < 2 + 2 = . 此即 0 lim T → ( ) _ S T = I . 由 Darboux 定理 , b a = I . 同理可证 b a = I . b a = b a . ) 对任何分法 T , 有 s(T) (T) ( ) _ S T , 而