《数学分析》教案 第十章定积分的应用 海南大学数学系 第十章定积分的应用 在上一章引入定积分概念时，曾把曲边梯形的面积、变速直线运动的路程表 示为积分和的极限，即要用定积分来加以度量。事实上，在科学技术中采用“分 割、作和、取极限”的方法去度量实际量得到了广泛的应用。本章意在建立度量 实际量的积分表达式的一种常用方法一一微元法，然后用微元法去阐述定积分在 某些几何、物理问题中的应用。 §1平面图形的面积 教学目标：掌握平面图形面积的计算公式。 教学内容：平面图形面积的计算公式. ()基本要求：掌握平面图形面积的计算公式，包括参量方程及极坐标方程 所定义的平面图形面积的计算公式. (②)较高要求：提出微元法的要领。 教学建议： (1)本节的重点是平面图形面积的计算公式，要求学生必须熟记并在应用中 熟练掌握。 (2)领会微元法的要领. 教学过程 1、微元法 众所周知，定积分 是由积分区间a,及被积函数f)所决定 的，而定积分对积分区间具有可加性，即如果把积分区间作为任意划分 A:=a<<x3<.<x<xn=b 记aM=fxd k=12,.,n
《数学分析》教案 第十章 定积分的应用 海南大学数学系 1 第十章 定积分的应用 在上一章引入定积分概念时，曾把曲边梯形的面积、变速直线运动的路程表 示为积分和的极限，即要用定积分来加以度量。事实上，在科学技术中采用“分 割、作和、取极限”的方法去度量实际量得到了广泛的应用。本章意在建立度量 实际量的积分表达式的一种常用方法——微元法，然后用微元法去阐述定积分在 某些几何、物理问题中的应用。 §1 平面图形的面积 教学目标：掌握平面图形面积的计算公式． 教学内容：平面图形面积的计算公式． (1) 基本要求：掌握平面图形面积的计算公式，包括参量方程及极坐标方程 所定义的平面图形面积的计算公式． (2) 较高要求：提出微元法的要领． 教学建议： (1) 本节的重点是平面图形面积的计算公式，要求学生必须熟记并在应用中 熟练掌握． (2) 领会微元法的要领． 教学过程： 1、微元法 众所周知，定积分 ( ) b a I f x dx = 是由积分区间 a b, 及被积函数 f x( ) 所决定 的，而定积分对积分区间具有可加性，即如果把积分区间作为任意划分 0 1 2 1 : n n x a x x x x b = = − 记 1 ( ) k k x k x I f x dx − = k n =1, 2,
《数学分析》教案 第十章定积分的应用 海南大学数学系 把积分值看作是分布在a上的总量，△山看作是在[]上的局部量，由积 分性质 1-2M 可见总量等于各个子区间上对应的局部量之和。因此，凡是用定积分描述的量都 应具有这种基本特征一一对积分区间的可加性。 另一方面，若f)eC.月，则积分上限函数国)=广四关于积分上限 x的导数'()=(x),于是用定积分度量的量 I(d()Ax 在[a,)上的任意标准子区同飞x+A上所对应的局部量△N的近似值()△r就 是()在点x处的微分d山，即 M≈f(x)△r=d (10.1) 且N-d=W-/()Ar=0Ay),所以，用定积分度量的量1在上x+△上的局 部量1所需要的近似值应是(10.1)表示的△x的线性函数)Ar,并且与△M 之差为Ar的高阶无穷小，通常，把式(10.1)冲的局部量△1的近似值山=f()本 称为积分微元。此时总量 I=[di=["f(x)dx 这种建立总量的积分表达式的方法，通常称为微元法。 2、平面图形的面积 下面我们根据不同坐标系下的曲线方程来建立平面图形面积公式。 (1)直角坐标系下计算平面图形的面积，首先考虑介于两曲线 y=fx)(∈C[a,b
《数学分析》教案 第十章 定积分的应用 海南大学数学系 2 把积分值看作是分布在 a b, 上的总量， k I 看作是在 x x k k −1 , 上的局部量，由积 分性质 1 n k k I I = = 可见总量等于各个子区间上对应的局部量之和。因此，凡是用定积分描述的量都 应具有这种基本特征——对积分区间的可加性。 另一方面，若 f x C a b ( ) , ，则积分上限函数 ( ) ( ) x a I x f u du = 关于积分上限 x 的导数 I x f x ( ) ( ) = ，于是用定积分度量的量 ( ) ( ) 0 1 ( ) lim n b k k a d k I f x dx f x → = = = 在 a b, 上的任意标准子区间 x x x , + 上所对应的局部量 I 的近似值 f x x ( ) 就 是 I x( ) 在点 x 处的微分 dI ，即 = I f x x dI ( ) （10.1） 且 − = − = I dI I f x x x ( ) ( ) 。所以，用定积分度量的量 I 在 x x x , + 上的局 部量 I 所需要的近似值应是（10.1）表示的 x 的线性函数 f x x ( ) ，并且与 I 之差为 x 的高阶无穷小。通常，把式（10.1）中的局部量 I 的近似值 dI f x dx = ( ) 称为积分微元。此时总量 ( ) b b a a I dI f x dx = = 这种建立总量的积分表达式的方法，通常称为微元法。 2、平面图形的面积 下面我们根据不同坐标系下的曲线方程来建立平面图形面积公式。 （ 1 ） 直 角 坐 标 系 下 计 算 平 面 图 形 的 面 积 ， 首 先 考 虑 介 于 两 曲 线 y f x C a b = ( ) , ( )
《数学分析》教案 第十章定积分的应用 海南大学数学系 y=g(x(∈Ca,b)及直线x=a,x=b所围成的平面图形（图6.1）的面积o。 由于面积c是非均匀连续分布在区间血，)上 且对区间具有可加性的量，所以面积σ可以用定积 分来计算。 根据微元法，取【血)上的标准子区间 A1B y-g0) [区，x+△，在其上小曲边梯形ABCD的高可近似看 Oa xx+Ax 图 成不变的，它的面积△o可以用高为AD,宽为△r的 小矩形的面积近似代替，即 △o≈f(x)-g(x△r=da 于是所求图形的面积 G=Ido=f(x)-g(x)dx (10.2) 特别，如果8()=0，由连续函数y=f()、x轴及二直线x=a与x=b所围 成的平面图形（图6.2）的面积 o=∫fx (10.3) 例1、求由抛物线y=r与y=x所围成的平面图形（图6.3）的面积o。 图6.2 图6.3 x=y 求得交点(0,0)与，)，由公式(6.1)知此图形的面积 3
《数学分析》教案 第十章 定积分的应用 海南大学数学系 3 y g x C a b = ( ) , ( ) 及直线 x a = ， x b = 所围成的平面图形（图 6.1）的面积 。 由于面积 是非均匀连续分布在区间 a b, 上 且对区间具有可加性的量，所以面积 可以用定积 分来计算。 根 据 微 元 法 ， 取 a b, 上 的 标 准 子 区 间 x x x , + ，在其上小曲边梯形 ABCD 的高可近似看 成不变的，它的面积 可以用高为 AD ，宽为 x 的 小矩形的面积近似代替，即 − = f x g x x d ( ) ( ) 于是所求图形的面积 ( ) ( ) b b a a = = − d f x g x dx （10.2） 特别，如果 g x( ) = 0 ，由连续函数 y f x = ( ) 、x 轴及二直线 x a = 与 x b = 所围 成的平面图形（图 6.2）的面积 ( ) b a = f x dx （10.3） 例 1、求由抛物线 2 y x = 与 2 y x = 所围成的平面图形（图 6.3）的面积 。 【解】 解联立方程 2 2 y x x y = = 求得交点 (0,0) 与 (1,1) ，由公式（6.1）知此图形的面积
《数学分析》教案 第十章定积分的应用 海南大学数学系 g=-r妆=小-恤 后6月 例2、求由抛物线x=1-2少与直线y=x所围成的平面图形（图6.）的面 积。 解：解联立方程 x=1-2y1 y=x 求得交点1-)和宁。此时，取为积分变量比较方便，相应的积分区间为 σ=-2y2-=-y-2y= 〔-号 例3：求血+血=l所围图形的面积。 解，方程血+山包括两条双曲线-与广 x和两条直线y=ex与 图6
《数学分析》教案 第十章 定积分的应用 海南大学数学系 4 1 1 1 2 2 2 0 0 = − = − = x x dx x x dx 3 3 2 2 2 1 1 1 3 3 3 3 3 0 x x − = − = 例 2、求由抛物线 2 x y = −1 2 与直线 y x = 所围成的平面图形（图 6.4）的面 积。 解：解联立方程 2 x y 1 2 y x = − = 求得交点 (− − 1, 1) 和 1 1 ( , ) 2 2 。此时，取 y 为积分变量比较方便，相应的积分区间为 1 1, 2 − ，于是 1 1 2 2 2 2 1 1 1 2 1 2 y y dy y y dy − − = − − = − − = 2 3 1 2 8 2 2 3 9 1 y y y − − = − 例 3：求 ln ln 1 x y + = 所围图形的面积。 解：方程 ln ln 1 x y + = 包括两条双曲线 e y x = 与 1 y ex = 和两条直线 y ex = 与
《数学分析》教案 第十章定积分的应用 海南大学数学系 。它们所成的平面形如国65所示 解联立方程 y=ex 解得交点e,》、Le)、,e)、e,),故所求面积 o+妆 1(ex-s+e-e 例4、设xca,a>0,x+g≥lnx,求使 I=∫(e+g-lnxk 最小的k与9。 解：若使积分I最小，此时直线y=+q应与曲线y=血x相切，故 k=(Inx)= ,切点坐标为《'，-血，故切线方程为 y=kx-1-Ink (g=-1-ln) 从而 I=[(kx+q-InxXdx=*(b2-a2)-(1+InkX(b-a)-(blnb-alna-b+a) 令 盟-0-62-0 2 2
《数学分析》教案 第十章 定积分的应用 海南大学数学系 5 x y e = 。它们所围成的平面图形如图 6.5 所示。 解联立方程 1 e y x y ex y ex x y e = = = = 解得交点 1 ( ,1) e − 、 1 (1, ) e − 、(1, ) e 、( ,1) e ，故所求面积 1 1 1 1 e e x e ex dx dx ex e x − = − + − = 1 1 1 1 1 ( ) ( ) e e e x ex dx dx e e ex x e − − − + − = − 例 4、设 x a b , ，a 0，kx q x + ln ，求使 ( ln ) b a I kx q x dx = + − 最小的 k 与 q 。 解 ：若使积 分 I 最小，此 时直 线 y kx q = + 应与曲线 y x = ln 相切 ，故 1 k x (ln ) x = = ，切点坐标为 1 ( , ln ) k k − − ，故切线方程为 y kx k q k = − − = − − 1 ln ( 1 ln ) 从而 2 2 ( ln ) ( ) (1 ln )( ) ( ln ln ) 2 b a k I kx q x dx b a k b a b b a a b a = + − = − − + − − − − + 令 1 2 2 ( ) 0 2 dI b a b a dk k − = − − = 解得驻点 2 k a b = + ，此时 ln 1 2 a b q + = − ， 2 2 2 0 d I b a dk k − = ，所以当 2 k a b = +