海南大学：《数学分析》课程教学资源（教案讲义）第六章 微分中值定理及其应用 6.2 Rolle Lagrange Cauchy定理的进一步应用

《数学分折》上册教案 第六章微分中值定理及其应用 海南大学数学系 §6.2 Rolle Lagrange Cauchy定理的进一步应用 教学章节：第六章微分中值定理及其应用-6.2 Rolle Lagrange Cauchy定理的进一步应用 教学目标：掌握讨论函数单调性方法：掌握L'Hospital法则，或正确运用后求某些不定式的极 限 教学要求：熟练掌握L'Hospital法则，并能正确运用后迅速正确地求某些不定式的极限，深刻 理解函数在一区间上单调以及严格单调的意义和条件：熟练掌握运用导数判断函数 单调性与单调区间的方法：能利用函数的单调性证明某些不等式 教学重点：利用函数的单调性，L'Hospital法则 教学难点：L'Hospital法则的使用技巧：用辅助函数解决问题的方法： 教学方法：问题教学法，结合练习 教学过程： 一、中值定理与函数的单调性 定理1设f(x)在区间I上可导，则f(x)在I上递增（减）一f(x)≥0（≤0）： 注1这个定理的主要用途在于用它研究函数的单调性，确定单调区间. 例1设f(x)=x-x,试讨论函数f的单调区间. 注2从实现充分性的证明中发现，若f(x)>0(<0)→fx)>fx)x)<fx》,即f严 格递增（减），从而有如下推论： 推论设函数f在区间I上可微，若∫'(x)>0(<0),则f在I上严格递增（减）. 注3上述推论是严格递增（减）的一个充分非必要条件. 定理2若函数f在(a,b)内可导，则f在(a,b)内严格递增（减）的充要条件是：(i)对 一切x∈(a,b),有f'(x)≥0（≤0）：(i)在(a,b)内的任何子区间上f"(x)≠0. 注4一个问题：f(x)在[a,b]上有定义，在(a,b)内严格递增（减），那么f(x)在[a,b]上是 否一定严格递增（减）呢？ 答案：不一定。 推论若f(x)在(a,b)内可导，f(x)在(a,b)内严格递增（减），且y=f(x)在右端点a右连续， 则f在[a,b]上变为严格递增（减），对左端点b也有类似讨论. 例2证明等式：当x≠0时，e>1+x 3

《数学分析》上册教案 第六章 微分中值定理及其应用 海南大学数学系 3 §6.2 Rolle Lagrange Cauchy 定理的进一步应用 教学章节：第六章 微分中值定理及其应用—6.2 Rolle Lagrange Cauchy 定理的进一步应用 教学目标：掌握讨论函数单调性方法；掌握 L’Hospital 法则,或正确运用后求某些不定式的极 限. 教学要求：熟练掌握 L’Hospital 法则,并能正确运用后迅速正确地求某些不定式的极限,深刻 理解函数在一区间上单调以及严格单调的意义和条件；熟练掌握运用导数判断函数 单调性与单调区间的方法；能利用函数的单调性证明某些不等式. 教学重点: 利用函数的单调性,L’Hospital 法则 教学难点: L’Hospital 法则的使用技巧；用辅助函数解决问题的方法；. 教学方法: 问题教学法,结合练习. 教学过程: 一、中值定理与函数的单调性 定理 1 设 f(x)在区间 I 上可导,则 f(x)在 I 上递增（减）    f x ( ) 0( 0) . 注 1 这个定理的主要用途在于用它研究函数的单调性,确定单调区间. 例 1 设 3 f x x x ( ) = − ,试讨论函数 f 的单调区间. 注 2 从实现充分性的证明中发现,若 2 1 f x f x f x ( ) 0( 0) ( ) ( )     2 1 ( ( ) ( )) f x f x  ,即 f 严 格递增（减）,从而有如下推论： 推论 设函数 f 在区间 I 上可微,若 f x ( ) 0( 0)   ,则 f 在 I 上严格递增（减）. 注 3 上述推论是严格递增（减）的一个充分非必要条件. 定理 2 若函数 f 在(a,b)内可导,则 f 在(a,b)内严格递增（减）的充要条件是：（ⅰ）对 一切 x a b ( , ) ,有 f x ( ) 0( 0)   ；（ⅱ）在(a,b)内的任何子区间上 f x ( ) 0  . 注 4 一个问题：f(x)在[a,b]上有定义,在(a,b)内严格递增（减）,那么 f(x)在[a,b]上是 否一定严格递增（减）呢？ 答案：不一定. 推论 若 f(x)在(a,b)内可导,f(x)在(a,b)内严格递增（减）,且 y=f(x)在右端点 a 右连续, 则 f 在[a,b]上变为严格递增（减）,对左端点 b 也有类似讨论. 例 2 证明等式：当 x  0 时, 1 x e x  +

《数学分析》上册教案 第六章微分中值定理及其应用 海南大学数学系 卵证明>0时，m>- 例4已知f+∫≠0，证明：f(x)=0至多只有一个根 证明方程：x-0只有-个根x=0: 二、中值定理与不定式极限 (一)什么是不定式极限 在第3章函数的根限的学习中我们肉道：000)=0，但册不一定是无穷小量，甚至 于两个无穷小量极限不存在，例如： )当x→0，sm=00.=00,g=10,即-0： 2当x0f-0.=00.=00： (3)当x→0，x=00x=00,m不存在. 由此可见，两个无穷小量之比的极限是不确定的，于是我们把这种类型的极限称为“。”型 的不等式极限. 除了型不等式极限外，还有许多类型的不等式极限，如：(i)二型：(i)0-∞型：（甜） 0∞型：(iv)0°型：(v)广型：(vi)0,∞型等，其中最基本的是。型和型，其它类型都 可化成这两种基本类型来解决 (仁)。不定式极限的计算 当只得号时因意在于极果自的层失效！务母一学，在之能我是 助于一1政等价变换来解决这两种解决有些同医是有效的，但造墙的是起一得化为 一类型时，或寻求等价变换时往往需要很大的运算量，甚至很难找到等价量 州= 州 为此，我们引进求解这类极限的更为有效的工具-L'Hospital(洛必达法则).（有的同学 4

《数学分析》上册教案 第六章 微分中值定理及其应用 海南大学数学系 4 例3 证明： x  0 时, 3 sin 3! x x x  − 例4 已知 f f +  0 ,证明： f x( ) 0 = 至多只有一个根 例5 证明方程： sin 0 2 x x − = 只有一个根 x = 0 . 二、中值定理与不定式极限 (一) 什么是不定式极限 在第 3 章函数的极限的学习中我们知道：0(1)+0(1)=0(1),但 0(1) 0(1) 不一定是无穷小量,甚至 于两个无穷小量极限不存在,例如： （1）当 x →0 , sin 0(1) x = , x = 0(1) , 0 sin lim 1 0 x x → x =  ,即 sin 0(1) x x  ； （2）当 x →0 , 2 x = 0(1) , x = 0(1) , 2 0 lim 0 x x → x = ,即 0(1) x x = ； （3）当 x →0 , 2 x = 0(1) , x = 0(1) , 2 0 lim x x → x 不存在. 由此可见,两个无穷小量之比的极限是不确定的,于是我们把这种类型的极限称为“ 0 0 ”型 的不等式极限. 除了 0 0 型不等式极限外,还有许多类型的不等式极限,如：（ⅰ）   型；（ⅱ）  −  型；（ⅲ） 0 型；（ⅳ） 0 0 型；（ⅴ） 1  型；（ⅵ） 0  , 0  型等,其中最基本的是 0 0 型和   型,其它类型都 可化成这两种基本类型来解决. (二) 0 0 不定式极限的计算 当 0 ( ) lim ( ) x x f x → g x 是 0 0 型时,困难在于极限商的运算失效！例： 2 0 1 cos lim x x → x − . 在此之前,我们是借 助于 0 sin lim 1 x x → x = 或等价变换来解决.这两种解决有些问题是有效的,但遗憾的是把 0 ( ) lim ( ) x x f x → g x 化为 0 sin lim x x → x 类型时,或寻求等价变换时往往需要很大的运算量,甚至很难找到等价量. 例 2 1 cos lim x x → tan x + . 例 1/ 2 2 0 (1 2 ) lim ln(1 ) x x e x → x − + + . 为此,我们引进求解这类极限的更为有效的工具－L’Hospital（洛必达法则）.（有的同学

《数学分折》上册教案 第六意微分中值定理及其应用 浙南大学数学系 可能会有疑问：既然这么好的工具，为什么不早介绍呢？因为L'Hospital法则要使用函数的导 数，而且其理论依据在中值定理，所以放在中值定理的应用中来讲)， (型极限的)洛必达法则 定理1设 1Df,8)在U,(c⊙)上连续，且m)=8)=0, 2)f(x),g(x)在U(a)上可导，且8'(x)≠0， 得 (k为有限或±0)， 一得-得-大 f()=k 正明先证丹gW ,由1)，我们补充定义fa=a)=0,则f,8成为在[a-6,d连 续，(a-d,a上可导函数.x∈(a-d,a,x),(x)在x,a满足 Cauchy中值定理条件，所以有 f(x)f(x)-f(a)fla+ax-a)] gx)g(x)-g(a)g1a+x-a】,0<0<1, 巴 网腿得经地来有侣 注把x→a改为x→a+0或x→a-0结论也成立. 定理2设 1)f),86)在(a,+o)连续，且血④)=血8)=0 2)f,g)在a+o)可导，且gx)≠0， ”(k为有限或±0,0)， f(x)=k 证明先算极限，然后再验证条件

《数学分析》上册教案 第六章 微分中值定理及其应用 海南大学数学系 5 可能会有疑问：既然这么好的工具,为什么不早介绍呢？因为 L’Hospital 法则要使用函数的导 数,而且其理论依据在中值定理,所以放在中值定理的应用中来讲）. （ 0 0 型极限的）洛必达法则 定理 1 设 1） f (x) , g(x) 在 ( ; ) U0 a  上连续,且 = → lim f (x) x a lim ( ) = 0 → g x x a , 2） f (x) , g(x) 在 ( ; ) U0 a  上可导,且 g(x)  0 , 3） k g x f x x a =   → ( ) ( ) lim （ k 为有限或   ）, 则 k g x f x g x f x x a x a =   = → → ( ) ( ) lim ( ) ( ) lim . 证明 先证 k g x f x x a = → ( ) ( ) lim ,由 1）,我们补充定义 f (a) = g(a) = 0 ,则 f , g 成为在 [a − ,a] 连 续, (a −  ,a) 上可导函数.x (a − ,a) , f (x) , g(x) 在 [x,a] 满足 Cauchy 中值定理条件,所以有 [ ( )] [ ( )] ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) g a x a f a x a g x g a f x f a g x f x  + −  + − = − − =   , 0  1, 由 3）, k g a x a f a x a x a =  + −  + − → − [ ( )] [ ( )] lim 0   ,所以 k g x f x x a = → − ( ) ( ) lim 0 . 同理 k g x f x x a = → + ( ) ( ) lim 0 ,综合起来有 k g x f x x a = → ( ) ( ) lim . 注 把 x →a 改为 x →a + 0 或 x →a −0 结论也成立. 定理 2 设 1） f (x) , g(x) 在 (a,+) 连续,且 = →+ lim f (x) x lim ( ) = 0 →+ g x x , 2） f (x) , g(x) 在 (a,+) 可导,且 g(x)  0 , 3） k g x f x x =   →+ ( ) ( ) lim （ k 为有限或  , ）, 则 k g x f x x = →+ ( ) ( ) lim . 证明 先算极限,然后再验证条件

《数学分析》上册教案 第六章微分中值定理及其应用 海南大学数学系 L re- 瑞 其中只有第二个等式需要说明它满足定理的条件.不妨设a>0,(),在0，》上连续，且 m=m8)=0,且f,8》在0，)可导，且 [gr=g}X-)0,有 注把x→+换成x→-0和x→0也有相应的结论 若函数f和g满足：（)m)=m8)=0:(2)在点，的某空心邻城内两者都可导， 且：o=得A得得A 例1=？ shx-x chx-1 shx 解 例2虫- 1 解 m1e2证卿1-e产m-20=克x=. 例3m写-arcdg)=? 他写0m哪e子： 1 1+x2=1 要 例4椰-e 例5 子、巴型不定式极限的'Hospital法则

《数学分析》上册教案 第六章 微分中值定理及其应用 海南大学数学系 6 ( ( ) ( ( ) lim [ ( [ ( lim ( ( lim ( ) ( ) lim 2 2 0 0 0 1 ) 1 1 ) 1 )] 1 )] 1 ) 1 ) 1 t t t t t t t t g f g f g f g x f x x t t t  −  − =   = = →+ → + → + → + ) 1 ( ( ) ( ) lim ( ) ( ) lim 1 1 0 t k x g x f x g f t x t t = =   =   = → + →+ 。 其中只有第二个等式需要说明它满足定理的条件.不妨设 a  0 , ( ) 1 t f , ( ) 1 t g 在 (0, ) 1 a 上连续,且 0 0 1 1 lim ( ) lim ( ) 0 t t t t f g → + → + = = ,且 ( ) 1 t f , ( ) 1 t g 在 (0, ) 1 a 可导,且 [ ( )] ( )( ) 0 2 1 1 1  =  −  t t t g g ,有 k g f t t t =   → + [ ( )] [ ( )] lim 1 1 0 . 注 把 x → + 换成 x →− 和 x → 也有相应的结论. 若函数 f 和 g 满足：（1） 0 0 lim ( ) lim ( ) 0 x x x x f x g x → → = = ；（2）在点 0 x 的某空心邻域内两者都可导, 且 g x ( ) 0  ；（3） 0 ( ) lim ( ) x x f x A → g x  =  ,则 0 0 ( ) ( ) lim lim ( ) ( ) x x x x f x f x A → → g x g x  = =  . 例 1 ? sin lim 0 = − − → x x shx x x 解 1 cos lim sin lim cos 1 1 lim sin lim 0 0 0 0 = − − = − = − − = − − → → → → x chx x shx x chx x x shx x x x x x . 例 2 ? 1 lim 0 2 = − x→ + x e x 解 2 1 2 1 lim 1 lim 1 lim 2 0 2 0 2 0 = − − = − = − → + → + → + t t t x x t e e t e x ( ) 2 x = t . 例 3 lim ( ) ? 2 − = →+ x arctg x x  解 1 1 1 1 lim ( ) lim lim 2 2 1 2 2 = − + − = − − = →+ →+ →+ x x arctg x x arctg x x x x x   . 例 4 0 lim 1 x x x e → + − 例 5 3 0 1 lim x x e → x − 3、   型不定式极限的 L’Hospital 法则

《数学分析》上册教案 第六章微分中值定理及其应用 海南大学数学系 定理3设 1)f),8()在U,(a上连续，且f闭=0，mg)=∞ 2)f(x,()在U(a)可导，且g'(x)≠0， 得 、(有限或士∞，0)， 则中得 证明只对闪<心和x→a-0情况证明。 6>0,由3)，6>0，当a-8<5<a时，有 f"且-<E g'5)"3 x∈(a-d,a),在[a-d,上应用Cauchy中值定理，得 f)-f-k=f但-k g(x)-g(x) 8)，这里￥=a-, 即 f-kg-)-gx川=[组-klg-gs】 故 Lg(5) 得-[得-} 8(x) 又于品，=有-0点0g 8(r) ,所以36，使得当a-d<x<a 时，有 s号 g(x) 令6=mim6,6),当a-6<x<a时，有 -器-a ≤骨+号-8

《数学分析》上册教案 第六章 微分中值定理及其应用 海南大学数学系 7 定理 3 设 1） f (x) , g(x) 在 ( ; ) U0 a  上连续,且 =  → lim f (x) x a , =  → lim g(x) x a , 2） f (x) , g(x) 在 ( ; ) U0 a  可导,且 g(x)  0 , 3） k g x f x x a =   → ( ) ( ) lim （有限或  , ）, 则 k g x f x x a = → ( ) ( ) lim . 证明 只对 k   和 x →a −0 情况证明.   0,由 3）,  1  0,当 a − 1    a 时,有 ( ) 3 ( )    −    k g f , ( , ) x a − 1 a ,在 [ , ] 1 a − x 上应用 Cauchy 中值定理,得 k g f k g x g x f x f x −   − = − − ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 1 1   , 这里 1 = a − 1 x , 即 [ ( ) ( )] ( ) ( ) ( ) ( ) [ ( ) ( )] 1 1 1 k g x g x g f f x f x k g x g x −       −   − − − =   故 [ ( ) ( )] ( ) ( ) ( ) ( ) [ ( ) ( )] 1 1 1 k g x g x g f f x k g x f x k g x −       −   − − − =   ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 1 ( ) ( ) ( ) ( ) 1 1 1 g x f x k g x g x g x k g f k g x f x − +      −       −   − =   . 又由于 =  → − lim ( ) 0 g x x a ,有 0 ( ) ( ) ( ) lim 1 1 0 = − → − g x f x kg x x a , 0 ( ) ( ) lim 1 0 = → − g x g x x a ,所以  2 ,使得当 a − 2  x  a 时,有 ( ) 2 ( ) ( ) 1 1   − g x f x kg x , 2 1 ( ) ( )1  g x g x 令 min( , )  =  1  2 ,当 a −  x  a 时,有 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 1 ( ) ( ) ( ) ( ) 1 1 1 g x f x k g x g x g x k g f k g x f x − − − +   −         + = 2 3 2 3