《数学分析》上册教案 第六章微分中值定理及其应用 海南大学数学系 §6.3泰勒公式 教学章节：第六章微分中值定理及其应用一一§6.3泰勒公式 教学目标：掌握Taylor公式，并能应用它解决一些有关的问题， 教学要求：(1)深刻理解Taylor定理，学握Taylor公式，熟悉两种不同余项的Taylor公式及其 之间的差异：(2)掌握并熟记一些常用初等函数和Taylor展开公式，并能加以应用. (3)会用带Taylor型余项的Taylor公式进行近似计算并估计误差：会用代Peanlo 余项的Taylor公式求某些函数的极限. 教学重点：Taylor公式 教学难点：Taylor定理的证明及应用， 教学方法：系统讲授法 教学过程： 引言 不论在近似计算或理论分析中，我们希望能用一个简单的函数来近似一个比较复杂的函数， 这将会带来很大的方便.一般来说，最简单的是多项式，因为多项式是关于变量加、减、乘的运算， 但是，怎样从一个函数本身得出我们所需要的多项式呢？ 上一节中，讨论过“微分在近似计算中的应用”从中我们知道，如果函数f在点x可导，则有 有限存在公式： f(x)=f(xo)+f(xoX(x-xo)+O(x-xo) 即在x,附近，用一次多项式B(x)=f(x)+f(x-x)逼近函数f(x)时，其误差为0(x-x). 然而，在很大场合，取一次多项式逼近是不够的，往往需要用二次或高于二次的多项式去逼 近，并要求误差为0(x-x),其中n为多项式次数.为此，有如下的n次多项式： P()=4+a,(x-x)+.+a(x-x)° 易见： 4=.k),4=P,4=,a,-(多项式的系数由其各阶导数在的 11 2 取值唯一确定)， 对于一般的函数，设它在x点存在直到n阶导数，由这些导数构造一个n次多项式如下：
《数学分析》上册教案 第六章 微分中值定理及其应用 海南大学数学系 3 §6.3 泰勒公式 教学章节：第六章 微分中值定理及其应用——§6.3 泰勒公式 教学目标：掌握 Taylor 公式,并能应用它解决一些有关的问题. 教学要求：（1）深刻理解 Taylor 定理,掌握 Taylor 公式,熟悉两种不同余项的 Taylor 公式及其 之间的差异；（2）掌握并熟记一些常用初等函数和 Taylor 展开公式,并能加以应用. （3）会用带 Taylor 型余项的 Taylor 公式进行近似计算并估计误差；会用代 Peanlo 余项的 Taylor 公式求某些函数的极限. 教学重点：Taylor 公式 教学难点：Taylor 定理的证明及应用. 教学方法：系统讲授法. 教学过程： 引 言 不论在近似计算或理论分析中,我们希望能用一个简单的函数来近似一个比较复杂的函数, 这将会带来很大的方便.一般来说,最简单的是多项式,因为多项式是关于变量加、减、乘的运算, 但是,怎样从一个函数本身得出我们所需要的多项式呢？ 上一节中,讨论过“微分在近似计算中的应用”从中我们知道,如果函数 f 在点 0 x 可导,则有 有限存在公式； 0 0 0 0 f x f x f x x x x x ( ) ( ) ( )( ) 0( ) = + − + − 即在 0 x 附近,用一次多项式 1 0 0 0 p x f x f x x x ( ) ( ) ( )( ) = + − 逼近函数 f(x)时,其误差为 0 0( ) x x − . 然而,在很大场合,取一次多项式逼近是不够的,往往需要用二次或高于二次的多项式去逼 近,并要求误差为 0 0( ) x x − ,其中 n 为多项式次数.为此,有如下的 n 次多项式： 0 1 0 0 ( ) ( ) ( )n n n p x a a x x a x x = + − + + − 易见： 0 0 ( ) n a p x = , 0 1 ( ) 1! n p x a = , 0 2 ( ) 2! n p x a = ,., ( ) 0 ( ) ! n n n p x a n = （多项式的系数由其各阶导数在 0 x 的 取值唯一确定）. 对于一般的函数,设它在 0 x 点存在直到 n 阶导数,由这些导数构造一个 n 次多项式如下：
《数学分析》上册教案 第六章微分中值定理及其应用 海南大学数学系 Z=+x-++62x-y 1 称为函数f在点处泰勒多项式.的各项函数，)(k=1,2,)称为泰勒系数 问题当用泰勒多项式通近f(x)时，其误差为f(x)-T(x)=0(x-x)) 一、带有皮亚诺余项的泰勒公式 定理1若函数f在点x存在直至n阶导数，则有fx)=T,(x)+0(x-x)),即 =)4/2x-04-r+0- n！ 即函数f在点处的泰勒公式：R(x)=f(x)-T(x)称为泰勒公式的余项. 证明设R,(x)=fx)-T.(x),G(x)=(x-a)”.应用L6 spital法则n-1次，并注意到 f(a)存在，就有 8片g图中mao n-1).2(x-a） -a-ro小o x-a 称R,(x)=(x-a)”)为Taylor公式的Peano型余项，相应的Maclaurin公式的Peano型余 项为R.(x)=(x").并称带有这种形式余项的Taylor公式为具Peano型余项的Taylor公式 （或Maclaurin公式) 注1、若f(x)在点x附近函数满足f(x)=P(x)+0(x-x)》),其中 P(x)=a+a(x-xo)++a(x-)°，这并不意味着p(x)必定是f的泰勒多项式Tn(x).但 p,(x)并非f(x)的泰勒多项式T(x).(因为除∫"(0)=0外，f在x=0出不再存在其它等于一阶的 导数.)； 注2、满足条件f(x)=P.(x)+0(x-x))的n次逼近多项式p(x)是唯一的.由此可知，当f 满足定理1的条件时，满足要求fx)=P.(x)+0(x-x))的多项式P.(x)一定是f在x点的泰勒 多项式T(x): 注3、泰勒公式x=0的特殊情形-一麦克劳林(Maclauyin)公式：
《数学分析》上册教案 第六章 微分中值定理及其应用 海南大学数学系 4 ( ) 0 0 0 0 0 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 1! ! n n n f x f x T x f x x x x x n = + − + + − 称为函数 f 在点 0 x 处泰勒多项式, ( ) T x n 的各项函数, ( ) 0 ( ) ! k f x k （k＝1,2,.,n）称为泰勒系数. 问题 当用泰勒多项式逼近 f(x)时,其误差为 0 ( ) ( ) 0(( ) ) n n f x T x x x − = − 一、带有皮亚诺余项的泰勒公式 定理 1 若函数 f 在点 0 x 存在直至 n 阶导数,则有 0 ( ) ( ) 0(( ) ) n n f x T x x x = + − ,即 ( ) 0 0 0 0 0 0 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 0(( ) ) 1! ! n n n f x f x f x f x x x x x x x n = + − + + − + − 即函数 f 在点 0 x 处的泰勒公式； ( ) ( ) ( ) R x f x T x n n = − 称为泰勒公式的余项. 证明 设 ( ) ( ) ( ) R x f x T x n n = − , n G(x) = (x − a) . 应用 L Hospital 法则 n −1 次, 并注意到 ( ) ( ) f a n 存在, 就有 ==== = − − → → ( ) ( ) lim ( ) ( ) lim ( 1) ( 1) 0 0 G x R x G x R x n n n x a n x a ( 1) 2( ) ( ) ( ) ( )( ) lim ( 1) ( 1) ( ) n n x a f x f a f a x a n n n x a − − − − − − − → = ( ) 0 ( ) ( ) lim ! 1 ( ) ( 1) ( 1) = − − − = − − → f a x a f x f a n n n n x a . 称 ( ) n Rn (x) = (x − a) 为 Taylor 公式的 Peano 型余项, 相应的 Maclaurin 公式的 Peano 型余 项为 ( ) ( ) n n R x = x . 并称带有这种形式余项的 Taylor 公式为具 Peano 型余项的 Taylor 公式 ( 或 Maclaurin 公式 ). 注 1、若 f(x)在点 0 x 附近函数满足 0 ( ) ( ) 0(( ) )n n f x P x x x = + − ,其中 0 1 0 0 ( ) ( ) ( )n n n p x a a x x a x x = + − + + − ,这并不意味着 ( ) n p x 必定是 f 的泰勒多项式 ( ) T x n .但 ( ) n p x 并非 f(x)的泰勒多项式 ( ) T x n .（因为除 f (0) 0 = 外,f 在 x＝0 出不再存在其它等于一阶的 导数.）； 注 2、满足条件 0 ( ) ( ) 0(( ) )n n f x P x x x = + − 的 n 次逼近多项式 ( ) n p x 是唯一的.由此可知,当 f 满足定理 1 的条件时,满足要求 0 ( ) ( ) 0(( ) )n n f x P x x x = + − 的多项式 ( ) n p x 一定是 f 在 0 x 点的泰勒 多项式 ( ) T x n ； 注 3、泰勒公式 0 x ＝0 的特殊情形――麦克劳林（Maclauyin）公式：
《数学分析》上册教案 第六章微分中值定理及其应用 海南大学数学系 =j0+f0x++@x+0r 1Ⅱ n! 引申定理1给出了用泰勒多项式来代替函数y=f(x)时余项大小的一种估计，但这种估计 只告诉我们当x→时，误差是较(x一x)高阶的无穷小量，这是一种“定性”的说法，并未从“量” 上加以描述；换言之，当点给定时，相应的误差到底有多大？这从带Peano余项的泰勒公式上看 不出来为此，我们有有必要余项作深入的讨论，以便得到一个易于计算或估计误差的形式 二、带有Lagrange型余项的Taylor公式 定理2（泰勒）若函数f在[a,b]上存在直到n阶的连续导函数，在(a,b)内存在n十1阶导 函数，则对任意给定的x,x∈[a,b],至少存在一点5∈(a,b)使得： m-e-e-r9-xr (1) 1！ n! 证明记R(x)=fx)-T(x),要证 得-r ,记 Q()=x-“,不妨设名<x,则R(2.(闭在6上有直到n阶的连续导数，在化，)内存 在n+1阶导数，又因为 R()=R'(x）=.=R(x)=0Q(x)=Q(x)=.=Qn(x)=0 故在区间氏，上连续运用Cac中值定理m+l次，就有 R(x)_R(x)-R(x)_R'(5)_R(5)-R(x) Q.(x)0x)-0.()Q.'(5)Q(5)-Q(x) R52= =R(5)-R_Ra(位 ."(5) 2.(5)-2.(x)2,+(5) 其中，七5<5<5<<<xR(5)=f(⑤)，Q.(⑤)=n+1川， 从而得到
《数学分析》上册教案 第六章 微分中值定理及其应用 海南大学数学系 5 ( ) (0) (0) ( ) (0) 0( ) 1! ! n n n f f f x f x x x n = + + + + 引申 定理 1 给出了用泰勒多项式来代替函数 y＝f(x)时余项大小的一种估计,但这种估计 只告诉我们当 0 x x → 时,误差是较 0 ( )n x x − 高阶的无穷小量,这是一种“定性”的说法,并未从“量” 上加以描述；换言之,当点给定时,相应的误差到底有多大？这从带 Peano 余项的泰勒公式上看 不出来.为此,我们有有必要余项作深入的讨论,以便得到一个易于计算或估计误差的形式. 二、带有 Lagrange 型余项的 Taylor 公式 定理 2（泰勒） 若函数 f 在[a,b]上存在直到 n 阶的连续导函数,在(a,b)内存在 n＋1 阶导 函数,则对任意给定的 0 x x a b , [ , ] ,至少存在一点 ( , ) a b 使得： ( ) ( 1) 0 0 1 0 0 0 0 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 1! ! ( 1)! n n n n f x f x f f x f x x x x x x x n n + + = + − + + − + − + （1） 证明 记 ( ) ( ) ( ) R x f x T x n n = − ,要证 ( 1) 1 0 ( ) ( ) ( ) ( 1)! n n n f R x x x n + + = − + ,记 1 0 ( ) ( )n Q x x x n + = − ,不妨设 0 x x ,则 ( ), ( ) R x Q x n n 在 0 [ , ] x b 上有直到 n 阶的连续导数,在 0 ( , ) x b 内存 在 n+1 阶导数,又因为 ( ) 0 0 0 ( ) ( ) ( ) 0 n R x R x R x n n n = = = = , ( ) 0 0 0 ( ) ( ) ( ) 0 n Q x Q x Q x n n n = = = = . 故在区间 0 [ , ] x x 上连续运用 Cauchy 中值定理 n+1 次,就有 0 1 0 0 1 0 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) n n n n n n n n n n n n R x R x R x R R R x Q x Q x Q x Q Q Q x − − = = = − − ( ) ( ) ( 1) 2 0 ( ) ( ) ( 1) 0 2 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) n n n n n n n n n n n n n n n n R R R x R Q Q Q x Q + + − = = = = − , 其中, 0 1 1 n n x x − , ( 1) ( 1) ( ) ( ) n n R f n + + = , ( 1) ( ) ( 1)! n Q n n + = + , 从而得到
《数学分析》上册教案 第六章微分中值定理及其应用 海南大学数学系 R=组x-xy (2) 5介于与x之间. 注1、当=0时，泰勒公式即为拉格朗日公式，所以泰勒定理可以看作拉格朗日定理向高阶 导数方向的推广： 2、当x。=0时，则变为带拉格朗日型余项的麦克劳林公式 =0+0x++f0r+g2g0e0 n! (n+1)1 称这种形式的余项R,(x)为Lagrange型余项。并称带有这种形式余项的Taylor公式为具 Lagrange型余项的Taylor公式。Lagrange型余项还可写为 R.()f((a).1). (n+11 a=0时，称上述Taylor公式为Maclaur in公式，此时余项常写为 1 R.()(n( 三、函数的Taylor公式（或Maclaurin公式）展开 (一)直接展开 例1求fx)=e的Maclaurin公式. 、解e=1t+++0<0< 例2求f(x)=sinx的Maclaurin公式. x3,x5 解mx=-写+(- x2m-1 （2m-+R.()
《数学分析》上册教案 第六章 微分中值定理及其应用 海南大学数学系 6 ( 1) 1 0 ( ) ( ) ( ) ( 1)! n n n f R x x x n + + = − + , （2） 介于 0 x 与 x 之间. 注 1、当 n＝0 时,泰勒公式即为拉格朗日公式,所以泰勒定理可以看作拉格朗日定理向高阶 导数方向的推广； 2、当 0 x = 0 时,则变为带拉格朗日型余项的麦克劳林公式 ( ) ( 1) 1 (0) (0) ( ) ( ) (0) 1! ! ( 1)! n n n n f f f x f x f x x x n n + + = + + + + + (0,1) 称这种形式的余项 R (x) n 为 Lagrange 型余项. 并称带有这种形式余项的 Taylor 公式为具 Lagrange 型余项的 Taylor 公式. Lagrange 型余项还可写为 ( ) , ( 1)! ( ( )) ( ) 1 ( 1) + + − + + − = n n n x a n f a x a R x (0 ,1) . a = 0 时, 称上述 Taylor 公式为 Maclaurin 公式, 此时余项常写为 ( ) , ( 1)! 1 ( ) ( +1) +1 + = n n n f x x n R x 0 1. 三、 函数的 Taylor 公式( 或 Maclaurin 公式 )展开 (一) 直接展开 例 1 求 x f (x) = e 的 Maclaurin 公式. 解 , ( 0 1) 1! 2! ! ( 1)! 1 1 2 + = + + + + + + n n x x x n e n x x x e . 例 2 求 f (x) = sin x 的 Maclaurin 公式. 解 ( ) (2 1)! ( 1) 3! 5! sin 2 2 1 1 3 5 R x m x x x x x m m m + − = − + − + − − −
《数学分析》上册教紫 第六章微分中值定理及其应用 海南大学数学系■ x21 尼.国=2+nma+m+与0<0<1. 例3求函数f(x)=n(1+x)的具Peano型余项的Maclaurin公式， 解()=1) +0=1)产a-g. 1(n-1 x2,x3 例4把函数fx)=gr展开成含x'项的具Peano型余项的claurin公式.（教材P179E5, 留为阅读。) (二)间接展开 利用已知的展开式，施行代数运算或变量代换，求新的展开式. 例5把函数f(x)=sinx2展开成含x4项的具Peano型余项的胎claurin公式 例6把函数f(x)=cos2x展开成含xs项的具Peano型余项的服claurin公式 解m1号+号言 m2-20+弩答+（注意四a0） w心-0+w2=1-+2苔-2若+0 例？先把函数/中：民开成具P心型余项的6car加公式。利用得到的民开 式把函数g)-3中5在点6=2展开成具Pa00型余项的1a1or公式 解了o=)”川 1+x) 。f(0)=(-1)N. fx)=1-x+x2-x3++(-lx+o(x方
《数学分析》上册教案 第六章 微分中值定理及其应用 海南大学数学系 7 ) , 0 1 2 1 sin ( (2 1)! ( ) 2 1 2 + + + = + x m m x R x m m . 例 3 求函数 f (x) = ln(1+ x) 的具 Peano 型余项的 Maclaurin 公式 . 解 , (0) ( 1) ( 1)! (1 ) ( 1)! ( ) ( 1) ( ) 1 ( ) 1 = − − + − = − − − f n x n f x n n n n n . ( 1) ( ) 2 3 ln(1 ) 1 2 3 n n n x n x x x + x = x − + −+ − + − . 例4 把函数 f (x) = tgx 展开成含 5 x 项的具Peano 型余项的Maclaurin 公式 .( 教材P179 E5, 留为阅读. ) (二) 间接展开 利用已知的展开式, 施行代数运算或变量代换, 求新的展开式. 例 5 把函数 2 f (x) = sin x 展开成含 14 x 项的具 Peano 型余项的 Maclaurin 公式 . 解 ( ) 3! 5! 7! sin 7 3 5 7 x x x x x = x − + − + , ( ) 3! 5! 7! sin 14 6 10 14 2 2 x x x x x = x − + − + . 例 6 把函数 f x x 2 ( ) = cos 展开成含 6 x 项的具 Peano 型余项的 Maclaurin 公式 . 解 ( ) 2! 4! 6! cos 1 6 2 4 6 x x x x x = − + − + , ( ), 6! 2 3! 4 cos 2 1 2 6 4 6 6 2 x x x x = − x + − + ( 注意, (kx) = (x), k 0 ) ( ) 6! 2 3! 2 (1 cos 2 ) 1 2 1 cos 6 4 5 6 2 2 x x x x = + x = − x + − + . 例 7 先把函数 x f x + = 1 1 ( ) 展开成具 Peano 型余项的 Maclaurin 公式 . 利用得到的展开 式,把函数 x g x 3 5 1 ( ) + = 在点 x0 = 2 展开成具 Peano 型余项的 Taylor 公式. 解 , (1 ) ( 1) ! 1 ( ) + + − = n n n x n f (0) ( 1) ! ( ) f n n n = − . ( ) 1 ( 1) ( ); 2 3 n n n f x = − x + x − x ++ − x + x