《数学分析》教案 第九章定积分 海南大学数学系 第九章定积分 §9.1定积分概念 教学目标：理解定积分思想：掌握定积分概念，会用定义计算、证明某些定积分： 加深对数学的抽象性特点的认识：体会数学概念形成的抽象化思维方法：体验数 学符号化的意义及数形结合方法：了解近代积分学的发展，激发学习数学的兴趣。 教学内容：问题的提出：定积分的定义（重点）：定积分的定义的一些直接应用。 教学过程； 一、课题引入 1、预备知识：矩形面积公式，常力沿直线做功公式，函数的连续性、极限 思想。 2、问题背景：下面通过两个例子来看定积分的概念是如何提炼出来的。 实例1：求曲边梯形的面积 设feCld,.】,且fx)20。由曲线y=f),直线x=ax=b以及x轴所围 成的平面图形（如图9-1），称为曲边梯形。下面求曲边梯形的面积S。 y不 y=fla) b 9-1 图9-2 分析：在初等几何中，我们只会计算由直线段和圆弧所围成的平面图形的面 积，现在计算曲边梯形的面积，由于y'=()表示廿非负连续函数，因而这是 1
《数学分析》教案 第九章 定积分 海南大学数学系 1 第九章 定积分 §9.1 定积分概念 教学目标：理解定积分思想；掌握定积分概念，会用定义计算、证明某些定积分； 加深对数学的抽象性特点的认识；体会数学概念形成的抽象化思维方法；体验数 学符号化的意义及数形结合方法；了解近代积分学的发展，激发学习数学的兴趣。 教学内容：问题的提出；定积分的定义（重点）；定积分的定义的一些直接应用。 教学过程： 一、课题引入 1、预备知识：矩形面积公式，常力沿直线做功公式，函数的连续性、极限 思想。 2、问题背景：下面通过两个例子来看定积分的概念是如何提炼出来的。 实例 1：求曲边梯形的面积 设 f C[a,b] ，且 f (x) 0 。由曲线 y = f (x) ，直线 x = a, x = b 以及 x 轴所围 成的平面图形（如图 9-1），称为曲边梯形。下面求曲边梯形的面积 S。 分析：在初等几何中，我们只会计算由直线段和圆弧所围成的平面图形的面 积，现在计算曲边梯形的面积，由于 y = f (x) 表示 非负连续函数，因而这是一
《数学分析》教案 第九章定积分 海南大学数学系 个一般的几何问题，只有用极限的方法才能得到完满的解决。在初等数学中，圆 面积是用一系列边数无限增加的内接或外切正多边形面积的极限来定义，现在用 类似的方法，即借助于己已知的矩形的面积定义曲边梯形的面积。 具体做法如下（图9-2）： 1°分制。在区间[a,b]内任取m-1个分点，依次为a=xo<x1<<x n-1<xn=b,这些点把[a,b]分割成n个小区间[xi-l,xi],il,2,n: 再用直线x=xi,i,2n-1,把曲边梯形分割成n个小曲边梯形。记Si为第 1个小曲边梯形的面积，则曲边梯形的面积S=S 2°近似求和。在每个小区间[]上任取一点，作以传)为高， [x-]为底的小矩形。当分割[a,b]的分点较多又分割的较细时，可用第i个 小矩形的面积()A,近似代替第i个小曲边梯形的面积S,即 S,≈f传)△x,(问为什么？) 于是这个小矩形面积之和可作为该曲边梯形面积S的近似值，即 S=S≈8f5)Ax,(△=x-x,-1) (1) 3°取极限。我们注意到(1)式右边的和式既依赖于对[a,b]的分割（△）， 又与所选中间点：(i1、2、.、n)有关(，)。可以看出，将[a,b]逐 次分下去，使小区间的长度△，→小，则不论5如何选取，n个小矩形面积之和 昌f八G,)4越接近于S,而在任何有限过程中，n个小矩形面积之和昌八)A 总是曲边梯形面积$的近似值，只有在无限过程中，应用极限方法才能过渡到曲 边梯形的面积。这样，当分点无限增加，且对[a,b]无限细分时，若此和式与某 一常数无限接近，而且与分点和中间点i的选取无关，则把此常数作为曲边梯 形的面积S。 实例2变力所做的功 设质点受力F的作用沿x轴由点a移动到b,并设F处处平行x轴（图9-3）
《数学分析》教案 第九章 定积分 海南大学数学系 2 个一般的几何问题，只有用极限的方法才能得到完满的解决。在初等数学中，圆 面积是用一系列边数无限增加的内接或外切正多边形面积的极限来定义，现在用 类似的方法，即借助于已知的矩形的面积定义曲边梯形的面积。 具体做法如下（图 9-2）： 1°分割。在区间[a，b]内任取 n-1 个分点，依次为 a=χo＜χ1＜.＜χ n-1＜χn=b，这些点把[a，b]分割成 n 个小区间[χi-1,χi]，i=1，2，.n； 再用直线χ=χi,i=1,2.n-1，把曲边梯形分割成 n 个小曲边梯形。记 Si 为第 i 个小曲边梯形的面积，则曲边梯形的面积 = = n i S Si 1 。 2°近似求和。在每个小区间[ i i x , x −1 ]上任取一点 i ，作以 ( )i f 为高， [ i i x , x −1 ]为底的小矩形。当分割[a，b]的分点较多又分割的较细时，可用第 i 个 小 矩 形 的 面 积 f ( i ) i x 近似代替第 i 个 小 曲 边 梯 形 的 面 积 i S ， 即 i i i S f ( )x （问为什么？） 于是这 n 个小矩形面积之和可作为该曲边梯形面积 S 的近似值，即 = = = n i n i i i i S S f x 1 1 ( ) （ = − i −1 x x x i i ） （1） 3°取极限。我们注意到（1）式右边的和式既依赖于对[a,b]的分割（ i x ）， 又与所选中间点 i （i=1、2、.、n）有关（ ( ) i f ）。可以看出，将[a，b]逐 次分下去，使小区间的长度 xi → 小，则不论 i 如何选取，n 个小矩形面积之和 = n i 1 i i f ( )x 越接近于 S，而在任何有限过程中，n 个小矩形面积之和 = n i 1 i i f ( )x 总是曲边梯形面积 S 的近似值，只有在无限过程中，应用极限方法才能过渡到曲 边梯形的面积。这样，当分点无限增加，且对[a，b]无限细分时，若此和式与某 一常数无限接近，而且与分点 i x 和中间点 i 的选取无关，则把此常数作为曲边梯 形的面积 S。 实例 2 变力所做的功 设质点受力 F 的作用沿χ轴由点 a 移动到 b，并设 F 处处平行χ轴（图 9-3）
《数学分析》教案 第九章定积分 海南大学数学系 , 图93 (i)若F为常力，则力F对质点所做的功为W=F(b-a)。 (ⅱ)若F为变力，它连续依赖于质点所在位置的坐标x,即 F=F(以x∈a,)为一连续函数，此时F对质点所做的功W该如何计算？类似求 曲边梯形面积的方法，即利用“分割、近似求和、取极限”三个步骤进行。 1°分割。在[a,b]内任取n-1个分点a=x0<x1<x2.<xn-1<xn=b, 把a,b]分度a个小区间，i1,2、,则=形，两为F在 上对质点所做功。 2°近似求和。当各个小区间的长度都很小时，在小区间上的力F由于变化 不大，而近似看作常量F=F(5i),5∈-4小il、2n。于是当质点从点x 1-1到xi时力下所做的功为， 形*F5,A,于是P=言形*昌FEA (2) 当分点一多时，同时各个小区间的长度一小时，(2)的近似程度越精确。 3°取极限。于是当对[a,b]作无限细分时，若(2)式右边的和式与某一常 数无限接近，则把此常数作为变力所做的功。 说明：上面两个例子，一个是计算曲边梯形面积的几何问题，另一个是求变力做 功的力学问题，它们都是通过“分割，近似求和、取极限”这种思想化为形如 怎G,)A的和式极限问题。在科学技术中还有很多问题也都归结为求这种特定 形式的和式的极限，这就是产生定积分概念的背景，将其一般化，即引出“定积 分”的概念 二、定积分的定义 将上述实例一般化、抽象化，加上必需的符号（尤其对3°取极限一步）， 可得定积分的定义。由于定义中涉及的量，记号较多，在正式给出定义之前，先 3
《数学分析》教案 第九章 定积分 海南大学数学系 3 （i）若 F 为常力，则力 F 对质点所做的功为 W=F(b-a)。 （ ii ） 若 F 为 变 力 ， 它 连 续 依 赖 于 质 点 所 在 位 置 的 坐 标 x ， 即 F = F(x), x[a,b] 为一连续函数，此时 F 对质点所做的功 W 该如何计算？类似求 曲边梯形面积的方法，即利用“分割、近似求和、取极限”三个步骤进行。 1°分割。在[a，b]内任取 n-1 个分点 a=χ0＜χ1＜χ2.＜χn-1＜χn=b， 把[a，b]分成 n 个小区间[ i i x , x −1 ]，i=1、2、.n，则 = = n i W Wi 1 ，wi 为 F 在[ i i x , x −1 ] 上对质点所做功。 2°近似求和。当各个小区间的长度都很小时，在小区间上的力 F 由于变化 不大，而近似看作常量 F=F（ i ）， [ , ], i i 1 i x x − i=1、2.n。于是当质点从点χ i-1 到χi 时力 F 所做的功为， i i i W F( )x ，于是 i n i i n i i W = W F x =1 =1 ( ) （2） 当分点→多时，同时各个小区间的长度→小时，（2）的近似程度越精确。 3°取极限。于是当对[a，b]作无限细分时，若（2）式右边的和式与某一常 数无限接近，则把此常数作为变力所做的功。 说明：上面两个例子，一个是计算曲边梯形面积的几何问题，另一个是求变力做 功的力学问题，它们都是通过“分割，近似求和、取极限”这种思想化为形如 = n i i i f x 1 ( ) 的和式极限问题。在科学技术中还有很多问题也都归结为求这种特定 形式的和式的极限，这就是产生定积分概念的背景，将其一般化，即引出“定积 分”的概念。 二、定积分的定义 将上述实例一般化、抽象化，加上必需的符号（尤其对 3°取极限一步）， 可得定积分的定义。由于定义中涉及的量，记号较多，在正式给出定义之前，先
《数学分析》教案 第九章定积分 海南大学数学系 介绍两个相关定义：分割（模）：积分和。 定义1、设闭区间[a,b]内有n-1个点，依次为，a=x0<x1<x2<.x n-1<xn=b,它们把[a,b]分成n个小区间△i=[xi-l,xi门，il、2、n。 这些分点或这些闭子区间构成对[a,b的一个分割，记为T=,)或 ,△2，.A,}。小区间△i的长度为 △xi-xi-xi-并记门1△xil,称为分制T的模。 注：1°由于△xi≤门，il、2、n,因此可用来反映[a,b1被分 割的细密程度。 唯一确定) 2°分割1与其模门的关系：T不随定川。 即分割T一且给出，门就随之确定，但是具有同一细度门的分制T却有无限多 个。 定义2、设f是定义在[a,b]上的一个函数。对于[a,b]的一个分割 =A4a,任取5△，i1、2-n并作和式二/GA,则称和式为 函数f在[a,b]上的一个积分和，也称Riemann和（因由Riemann提出）。 注：显然积分和既与分割T有关，又与所选取的点集}有关，有了上述两个定 义，可简洁地写出定积分的定义。 定义3、设f是定义在[a,b]上的一个函数，J是一个确定的实数。若对c >0,总存在某一正数6，使得对于[a,b]的任何分割T,以及在其上任意选取的 点集怎，只要<6，则有GA-<6,则称函数在a,上可积或 Riemann可识。数J称为f在[a,b]上的定积分或Riemann积分， 记作J=白fx)达 (3) 其中f称为被积函数，x为积分变量，[a,b]为积分区间，a,b分别称为这个定 积分的下限和上限。 以上定义1~定义3是定积分抽象概念的完整叙述。下面是与定积分概念的
《数学分析》教案 第九章 定积分 海南大学数学系 4 介绍两个相关定义：分割（模）；积分和。 定义 1、设闭区间[a，b]内有 n-1 个点，依次为，a=χ0＜χ1＜χ2＜.χ n-1＜χn=b，它们把[a，b]分成 n 个小区间△i=[χi-1,χi] ,i=1、2、.n。 这些分点或这些闭子区间构成对[a，b]的一个分割，记为 T = x0, x1 , xn 或 1 ,2 , n 。小区间△i 的长度为 △χi=χi-χi-1,并记 T = 1in max │△χi│,称为分割 T 的模。 注：1°由于△χi≤ T ，i=1、2、.n，因此 T 可用来反映[a，b]被分 割的细密程度。 2°分割 T 与其模 T 的关系：T ⎯⎯ ⎯⎯ ⎯⎯⎯⎯→ 不唯一确定 唯一确定 T 。 即分割 T 一旦给出， T 就随之确定，但是具有同一细度 T 的分割 T 却有无限多 个。 定义 2、 设 ƒ是定义在[a,b]上的一个函数。对于[a，b]的一个分割 T= 1 ,2 , n ，任取 i △i,i=1、2.n，并作和式 = n i i i f x 1 ( ) ，则称和式为 函数ƒ在[a，b]上的一个积分和，也称 Riemann 和（因由 Riemann 提出）。 注：显然积分和既与分割 T 有关，又与所选取的点集 i 有关，有了上述两个定 义，可简洁地写出定积分的定义。 定义 3、 设ƒ是定义在[a，b]上的一个函数，J 是一个确定的实数。若对 ＞0，总存在某一正数δ,使得对于[a，b]的任何分割 T，以及在其上任意选取的 点集 i ，只要 T ＜δ，则有 = − n i i i f x J 1 ( ) ＜ ，则称函数ƒ在[a,b]上可积或 Riemann 可识。数 J 称为ƒ在[a，b]上的定积分或 Riemann 积分， 记作 = b a J f (x)dx （3） 其中ƒ称为被积函数，χ为积分变量，[a,b ]为积分区间，a，b 分别称为这个定 积分的下限和上限。 以上定义 1～定义 3 是定积分抽象概念的完整叙述。下面是与定积分概念的
《数学分析》教案 第九章定积分 海南大学数学系 有关的几点补充注释。 注1：表达定积分的极限形式： 界，=8达 (4) 把定积分定义的ε一6说法和函数极限的ε一6说法对照，便会发现两者有相似 的陈述方式，因此可写作(4)式，然而积分和的极限与函数的极限之间有着极 大的区别：在函数极限血田中，对每一个极限变量×来说，(x)的值是 唯一确定的：而对于积分和的极限而言，每一个并不唯一对应积分和的一个 值。这使得积分和极限要比通常的函数极限复杂得多。 注2：可积性是函数的又一分析性质（连续，可导为以前学过的另外两个 分析性质) 据§3的T9.3知，连续函数是可积的.于是本节开头两个实例都可用定积分记号 来表示 )连续函数y(x)≥0在[a,b]上形成的曲边梯形面积为S=治fx本： 2)在连续变力F(x)作用下，质点从a到b所做的功为W=白F(x迹 注3：定积分的几何意义 由注2中知，对于[a,b]上的连续函数f,当 (i)f(x)≥0，xe[a,b]时，定积分(3)的几何意义是：该曲边梯形 的面积。 (ii)f(x）≤0，xe[a,b]时，J=启f6达=-8-x达是位于x 轴下方的曲边梯形面积的相反数，定为“负面积”。 (iii)对于一般非定号的f(x)而言，定积分J的值是曲线y=时(x)在 x轴上方部分所有曲边梯形的正面积与下方部分所有曲边梯形的负面积的代数 和（图9-4）。 5
《数学分析》教案 第九章 定积分 海南大学数学系 5 有关的几点补充注释。 注 1：表达定积分的极限形式： x dx b a f i x n i i J f T ( ) 1 lim ( ) 0 = = = → （4） 把定积分定义的ε—δ说法和函数极限的ε—δ说法对照，便会发现两者有相似 的陈述方式，因此可写作（4）式，然而积分和的极限与函数的极限之间有着极 大的区别：在函数极限 lim f (x) x→a 中，对每一个极限变量χ来说，ƒ（χ）的值是 唯一确定的；而对于积分和的极限而言，每一个 T 并不唯一对应积分和的一个 值。这使得积分和极限要比通常的函数极限复杂得多。 注 2： 可积性是函数的又一分析性质（连续，可导为以前学过的另外两个 分析性质） 据§3 的 TH9.3 知,连续函数是可积的.于是本节开头两个实例都可用定积分记号 来表示. 1)连续函数 y=ƒ(χ)≥0 在[a,b]上形成的曲边梯形面积为 = b a S f (x)dx ; 2)在连续变力 F(χ)作用下，质点从 a 到 b 所做的功为 = b a W F(x)dx。 注 3： 定积分的几何意义 由注 2 中知，对于[a，b]上的连续函数ƒ，当 （i）ƒ（χ）≥0，χ [a，b]时，定积分（3）的几何意义是：该曲边梯形 的面积。 （ii）ƒ（χ）≤0，χ [a，b]时， = = − − b a x dx f x dx b a J f ( ) [ ( )] 是位于χ 轴下方的曲边梯形面积的相反数，定为“负面积”。 （iii）对于一般非定号的ƒ（χ）而言，定积分 J 的值是曲线 y=ƒ（χ）在 χ轴上方部分所有曲边梯形的正面积与下方部分所有曲边梯形的负面积的代数 和（图 9-4）